Номер 13, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

13. При каких значениях $a$ верно равенство:

a) $\sqrt{a^2} = a$;

б) $\sqrt{a^2} = -a$;

в) $\sqrt{a^2} = |a|$?

Для решения этой задачи необходимо использовать основное свойство арифметического квадратного корня. По определению, для любого действительного числа $a$ верно тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Напомним определение модуля:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Используя это, проанализируем каждое из равенств.

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = a$.

Заменим в нем левую часть согласно основному тождеству $\sqrt{a^2} = |a|$. Получим эквивалентное равенство:

$|a| = a$

Исходя из определения модуля, это равенство выполняется только тогда, когда число $a$ является неотрицательным.

Ответ: $a \ge 0$.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = -a$.

Аналогично пункту а), заменим $\sqrt{a^2}$ на $|a|$. Получим равенство:

$|a| = -a$

Исходя из определения модуля, это равенство выполняется только тогда, когда число $a$ является неположительным (включая ноль, так как $|0| = 0$ и $-0 = 0$).

Ответ: $a \le 0$.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Это равенство является основным тождеством для арифметического квадратного корня и, по определению, оно верно для всех действительных значений $a$.

Можно проверить это, рассмотрев два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a|=a$. Равенство принимает вид $\sqrt{a^2} = a$, что верно для $a \ge 0$.

2. Если $a < 0$, то $|a|=-a$. Равенство принимает вид $\sqrt{a^2} = -a$, что верно для $a < 0$.

Поскольку эти два случая охватывают все действительные числа, равенство справедливо при любых $a$.

Ответ: $a$ — любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).