Номер 7, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Верно ли, что $|ab| = |a| \cdot |b|$, а $\frac{|a|}{|b|} = \left|\frac{a}{b}\right|$ $(b \neq 0)$?

$|ab| = |a| \cdot |b|$

Да, данное равенство является верным. Это одно из фундаментальных свойств модуля (абсолютной величины). Чтобы доказать его, необходимо рассмотреть все возможные случаи, основанные на знаках чисел $a$ и $b$. Будем исходить из определения модуля: $|x| = x$, если $x \ge 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$.

1. Если оба числа неотрицательны: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
В этом случае их произведение $ab \ge 0$.
Левая часть равенства: $|ab| = ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = a \cdot b$.
Равенство $ab = ab$ выполняется.

2. Если оба числа отрицательны: $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае их произведение $ab > 0$.
Левая часть равенства: $|ab| = ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$.
Равенство $ab = ab$ выполняется.

3. Если числа имеют разные знаки (например, $a \ge 0$ и $b < 0$).
В этом случае их произведение $ab \le 0$.
Левая часть равенства: $|ab| = -(ab) = -ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$.
Равенство $-ab = -ab$ выполняется. Случай, когда $a < 0$ и $b \ge 0$, рассматривается аналогично и приводит к тому же результату.

Поскольку равенство справедливо для всех возможных комбинаций знаков $a$ и $b$, оно является тождественно верным.

Ответ: Верно.

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при $b \neq 0$)

Да, это равенство также является верным при условии, что знаменатель $b$ не равен нулю (что отражено в условии $b \neq 0$, так как на ноль делить нельзя). Доказательство аналогично предыдущему и основано на рассмотрении всех возможных знаков $a$ и $b$.

1. Если $a \ge 0$ и $b > 0$.
В этом случае частное $\frac{a}{b} \ge 0$.
Левая часть равенства: $|\frac{a}{b}| = \frac{a}{b}$.
Правая часть равенства: $\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{b}$.
Равенство выполняется.

2. Если $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае частное $\frac{a}{b} > 0$.
Левая часть равенства: $|\frac{a}{b}| = \frac{a}{b}$.
Правая часть равенства: $\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.
Равенство выполняется.

3. Если числа имеют разные знаки (например, $a \ge 0$ и $b < 0$).
В этом случае частное $\frac{a}{b} \le 0$.
Левая часть равенства: $|\frac{a}{b}| = -(\frac{a}{b}) = -\frac{a}{b}$.
Правая часть равенства: $\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.
Равенство выполняется. Случай, когда $a < 0$ и $b > 0$, аналогичен.

Так как равенство выполняется для всех возможных комбинаций знаков $a$ и $b$ при $b \neq 0$, оно является верным.

Ответ: Верно.