Номер 7, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Что такое сопряжённое выражение?

Определение

Сопряжённое выражение — это выражение, которое обычно получается из исходного двучлена (бинома) путём смены знака между двумя его членами. Если исходное выражение имеет вид $a+b$, то сопряжённым к нему будет выражение $a-b$. Основная цель использования сопряжённых выражений — упрощение исходного выражения при умножении, в частности, избавление от корней или от мнимой части в комплексных числах.

Сопряжённые выражения в алгебре (для иррациональных чисел)

В алгебре сопряжённые выражения используются для того, чтобы избавиться от иррациональности (корня) в знаменателе дроби. Этот метод основан на формуле сокращённого умножения — разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. При умножении выражения, содержащего квадратный корень, на его сопряжённое, корень исчезает, так как возводится в квадрат.

• Для выражения $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ сопряжённым является $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.
  Их произведение: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b$.
• Для выражения $c - \sqrt{d}$ сопряжённым является $c + \sqrt{d}$.
  Их произведение: $(c - \sqrt{d})(c + \sqrt{d}) = c^2 - (\sqrt{d})^2 = c^2 - d$.

Пример. Упростить дробь $\frac{5}{3+\sqrt{2}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю, то есть на $3-\sqrt{2}$. $$ \frac{5}{3+\sqrt{2}} = \frac{5 \cdot (3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2}) \cdot (3-\sqrt{2})} = \frac{5(3-\sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{5(3-\sqrt{2})}{7} $$ В результате мы получили дробь без иррациональности в знаменателе.

Сопряжённые выражения в комплексных числах

Понятие сопряжения является ключевым и при работе с комплексными числами. Для комплексного числа $z = a + bi$ (где $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая часть, $i$ — мнимая единица) комплексно-сопряжённым числом называется число $\bar{z} = a - bi$.

Основное свойство: произведение комплексного числа на его сопряжённое всегда равно действительному неотрицательному числу. $$ z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2 $$ Это свойство используется, например, при делении комплексных чисел.

Пример. Найти частное $\frac{1+3i}{2-i}$.

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, то есть на $2+i$. $$ \frac{1+3i}{2-i} = \frac{(1+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot i + 3i \cdot 2 + 3i \cdot i}{2^2 - i^2} = \frac{2+i+6i+3i^2}{4 - (-1)} = \frac{2+7i-3}{5} = \frac{-1+7i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i $$

Ответ: Сопряжённое выражение — это выражение, которое отличается от исходного двучлена знаком между его членами. Основное применение — умножение на исходное выражение с целью его упрощения, например, для избавления от корней в знаменателе дроби (для выражений вида $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$) или для получения действительного числа из комплексного (для чисел вида $a \pm bi$).