Номер 3, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Известно, что $a > 0$. Верно ли, что $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$?

Чтобы определить, является ли равенство $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$ верным при условии $a > 0$, необходимо преобразовать одну из частей равенства и сравнить с другой.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{a^2bc}$.

Воспользуемся свойством корней, согласно которому корень из произведения равен произведению корней из множителей (для неотрицательных множителей): $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.

Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{a^2bc} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc}$

Теперь упростим выражение $\sqrt{a^2}$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$). Таким образом, $\sqrt{a^2} = |a|$.

В условии задачи указано, что $a > 0$. Для любого положительного числа его модуль равен самому числу, то есть $|a| = a$.

Подставим это значение обратно в наше преобразование: $\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc} = |a| \cdot \sqrt{bc} = a\sqrt{bc}$

В результате преобразования мы получили, что правая часть равенства $\sqrt{a^2bc}$ равна левой части $a\sqrt{bc}$.

Важно также учесть область допустимых значений. Для того чтобы выражения имели смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для левой части $a\sqrt{bc}$ требуется, чтобы $bc \ge 0$. Для правой части $\sqrt{a^2bc}$ требуется, чтобы $a^2bc \ge 0$. Поскольку по условию $a > 0$, то $a^2$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $a^2bc \ge 0$ эквивалентно неравенству $bc \ge 0$. Области определения левой и правой частей совпадают.

Таким образом, при условии $a > 0$ равенство является верным.

Ответ: да, верно.