Номер 1, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Что необходимо сделать, чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня?

Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, необходимо выполнить последовательность действий, основанную на свойстве корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для неотрицательных $a$ и $b$).

Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня:

1. Представить подкоренное выражение (радиканд) в виде произведения множителей. Главная задача на этом этапе — выделить множители, являющиеся полными квадратами. Полный квадрат — это число, которое является квадратом другого целого числа (например, $9=3^2$, $49=7^2$), или переменная в четной степени (например, $x^2$, $y^4 = (y^2)^2$, $a^{10}=(a^5)^2$).
2. Применить свойство корня из произведения, разбив исходный корень на произведение корней из найденных множителей.
3. Извлечь корень из тех множителей, которые являются полными квадратами. Результат этого извлечения записывается перед знаком корня. Для переменных важно помнить правило $\sqrt{a^2}=|a|$.
4. Множители, которые не являются полными квадратами, остаются под знаком корня.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1: Вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{50} $.

1. Разложим число 50 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом. $50 = 25 \cdot 2$. Число 25 является полным квадратом, так как $25=5^2$.

2. Применяем свойство корня: $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} $.

3. Извлекаем корень из 25: $ \sqrt{25} = 5 $.

4. Получаем итоговое выражение: $ 5\sqrt{2} $.

Пример 2: Вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{12a^5b^2} $ (считая, что $ a \ge 0, b \ge 0 $).

1. Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами: $ 12a^5b^2 = (4 \cdot 3) \cdot (a^4 \cdot a) \cdot b^2 = (4 \cdot a^4 \cdot b^2) \cdot (3a) $. Здесь $4=2^2$, $a^4=(a^2)^2$ и $b^2$ — полные квадраты.

2. Применяем свойство корня: $ \sqrt{12a^5b^2} = \sqrt{(4a^4b^2) \cdot (3a)} = \sqrt{4a^4b^2} \cdot \sqrt{3a} $.

3. Извлекаем корень из части с полными квадратами: $ \sqrt{4a^4b^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2} = 2 \cdot a^2 \cdot b $. (Поскольку $a \ge 0$ и $b \ge 0$, мы можем опустить знаки модуля: $\sqrt{b^2}=|b|=b$).

4. Записываем конечный результат, объединяя вынесенный множитель и оставшуюся часть под корнем: $ 2a^2b\sqrt{3a} $.

Ответ: Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, нужно разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы среди них были полные квадраты. Затем, используя свойство $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, извлечь корень из множителей, являющихся полными квадратами, и записать результат перед знаком корня, оставив под корнем те множители, которые не являются полными квадратами.