Номер 2, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Какова область значений функции $y = \sqrt{x}$?

2.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$. Для функции $y = \sqrt{x}$ необходимо определить все возможные значения $y$.

Данная функция представляет собой арифметический квадратный корень. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ из числа $x$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$.

Из самого определения следует, что результат вычисления корня, то есть значение $y$, не может быть отрицательным. Это означает, что для любого допустимого значения $x$ (а область определения для данной функции — это $x \ge 0$), выполняется неравенство: $y \ge 0$.

Теперь необходимо доказать, что функция действительно может принимать любое неотрицательное значение.

1. Проверим, достигается ли значение $y=0$. Да, при $x = 0$ (что входит в область определения), мы получаем $y = \sqrt{0} = 0$. Таким образом, число 0 входит в область значений функции.

2. Проверим, достигается ли любое положительное значение. Пусть $k$ — это любое положительное число ($k > 0$). Попробуем найти такое значение $x$, при котором $y=k$. Для этого решим уравнение: $\sqrt{x} = k$ Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим: $x = k^2$ Поскольку $k$ — положительное число, то $x = k^2$ также будет положительным, а значит, входит в область определения функции. Это доказывает, что функция может принимать любое положительное значение.

Объединяя оба пункта, мы приходим к выводу, что область значений функции $y = \sqrt{x}$ включает в себя 0 и все положительные числа. Это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $[0; +\infty)$.