Номер 8, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Используя геометрическую модель множества действительных чисел, объясните правило сравнения действительных чисел.

Геометрической моделью множества действительных чисел является числовая (или координатная) прямая. Это бесконечная прямая линия, на которой выбраны три основных элемента:

• Начало отсчета – точка O, которой соответствует число 0.
• Единичный отрезок (масштаб), который задает расстояние от точки 0 до точки 1 и определяет длину всех остальных отрезков.
• Положительное направление, которое обычно указывается стрелкой, направленной вправо от начала отсчета.

Такое построение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек на этой прямой. Каждому действительному числу $a$ соответствует единственная точка A на прямой (его геометрическое изображение), и наоборот, каждой точке B на прямой соответствует единственное действительное число $b$, называемое координатой этой точки.

На этой модели числа упорядочены в соответствии с их положением на прямой.

Правило сравнения действительных чисел, основанное на этой геометрической модели, заключается в следующем:

Для сравнения двух действительных чисел $a$ и $b$ необходимо найти соответствующие им точки A и B на числовой прямой.

• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит правее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ больше числа $b$. Это записывается как $a > b$.
• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит левее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ меньше числа $b$. Это записывается как $a < b$.
• Если точки, соответствующие числам $a$ и $b$, совпадают, то числа равны. Это записывается как $a = b$.

Таким образом, чем правее расположена точка на числовой прямой, тем большему числу она соответствует. Все положительные числа находятся справа от нуля, а все отрицательные – слева. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.

Пример: Сравним числа $-2$ и $1$. Точка с координатой $1$ находится на числовой прямой правее точки с координатой $-2$. Следовательно, $1 > -2$.

Ответ: Из двух действительных чисел больше то, которому на числовой прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньше то, которому соответствует точка, расположенная левее. Если точки, соответствующие числам, совпадают, то числа равны.