Номер 3, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Является ли функция $y = \sqrt{x}$ возрастающей; убывающей; монотонной; немонотонной?

Для анализа функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сначала определить ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции — это промежуток $[0, +\infty)$.

Далее исследуем функцию на монотонность на всей области ее определения.

возрастающей

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из области определения $[0, +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

Сравним значения функции $y_1 = \sqrt{x_1}$ и $y_2 = \sqrt{x_2}$. Для этого рассмотрим их разность:

$y_2 - y_1 = \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}$

Чтобы определить знак этой разности, умножим и разделим ее на сопряженное выражение $(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})$:

$\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \frac{(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1})(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}$

Проанализируем полученную дробь. По нашему выбору, $x_2 > x_1$, следовательно, числитель $(x_2 - x_1)$ является положительным числом. Знаменатель $(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})$ является суммой двух неотрицательных чисел (причем хотя бы одно из них, $\sqrt{x_2}$, строго положительно, так как $x_2 > x_1 \ge 0$), поэтому знаменатель также всегда положителен.

Отношение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $\frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} > 0$.

Отсюда следует, что $y_2 - y_1 > 0$, или $y_2 > y_1$. Так как для любого $x_2 > x_1$ из области определения выполняется $f(x_2) > f(x_1)$, функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: да, функция является возрастающей.

убывающей

Функция называется убывающей, если для любых $x_2 > x_1$ из области определения выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Как было доказано выше, функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Это означает, что она не может быть убывающей, так как условия возрастания и убывания на одном и том же промежутке взаимоисключающие.

Ответ: нет, функция не является убывающей.

монотонной

Функция называется монотонной на некотором промежутке, если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$, она, по определению, является монотонной функцией.

Ответ: да, функция является монотонной.

немонотонной

Функция называется немонотонной, если на ее области определения существуют промежутки как возрастания, так и убывания.

Мы установили, что функция $y = \sqrt{x}$ является монотонной (а именно, строго возрастающей) на всей своей области определения. Следовательно, она не является немонотонной.

Ответ: нет, функция не является немонотонной.