Номер 4, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Как по графику функции установить, является ли она выпуклой вверх? выпуклой вниз?

Определить выпуклость функции по её графику можно, проанализировав взаимное расположение графика и его касательных или хорд на рассматриваемом интервале.

Выпуклой вверх

Функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на некотором интервале, если её график на этом интервале "изгибается вниз", напоминая по форме холм. Чтобы это установить графически, можно использовать один из двух методов:

1. Метод касательной: Нужно мысленно или фактически провести касательную к графику в любой точке рассматриваемого интервала. Если весь этот участок графика (за исключением точки касания) лежит ниже проведённой касательной, то функция выпукла вверх. Это свойство должно выполняться для любой точки интервала.

2. Метод хорды: Нужно соединить любые две точки на рассматриваемом участке графика прямым отрезком (хордой). Если часть графика, заключённая между этими двумя точками, лежит выше построенной хорды, то функция выпукла вверх. Это должно быть справедливо для любой пары точек на интервале.

В терминах математического анализа для дважды дифференцируемой функции это означает, что её вторая производная на данном интервале не положительна: $f''(x) \le 0$.

Ответ: Функция является выпуклой вверх на интервале, если её график на этом интервале расположен ниже любой своей касательной или выше любой своей хорды.

Выпуклой вниз

Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на некотором интервале, если её график на этом интервале "изгибается вверх", напоминая по форме чашу. Критерии определения здесь противоположны:

1. Метод касательной: Нужно провести касательную к графику в любой точке рассматриваемого интервала. Если весь этот участок графика (за исключением точки касания) лежит выше проведённой касательной, то функция выпукла вниз.

2. Метод хорды: Нужно соединить любые две точки на рассматриваемом участке графика хордой. Если часть графика между этими точками лежит ниже построенной хорды, то функция выпукла вниз.

Для дважды дифференцируемой функции это означает, что её вторая производная на данном интервале не отрицательна: $f''(x) \ge 0$.

Ответ: Функция является выпуклой вниз на интервале, если её график на этом интервале расположен выше любой своей касательной или ниже любой своей хорды.