Номер 2, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Что необходимо сделать, чтобы внести множитель под знак квадратного корня?

Чтобы внести множитель под знак квадратного корня, необходимо представить этот множитель в виде квадратного корня и затем использовать свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$. При этом важно учитывать знак множителя, который стоит перед корнем. Рассмотрим два случая.

1. Если множитель неотрицателен ($a \ge 0$)

Если множитель $a$, стоящий перед корнем, является положительным числом или нулем, его нужно возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение $b$. Это следует из того, что для $a \ge 0$ справедливо равенство $a = \sqrt{a^2}$.

Формула: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$

Пример: Внести множитель под знак корня в выражении $7\sqrt{2}$.

Решение: Поскольку $7 > 0$, мы возводим 7 в квадрат и помещаем под знак корня:
$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.

2. Если множитель отрицателен ($a < 0$)

Если множитель $a$ является отрицательным числом, то под знак корня можно внести только его модуль $|a|$, а знак "минус" должен остаться перед корнем. Это необходимо, чтобы не изменить знак всего выражения, так как значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно.

Формула: $a\sqrt{b} = -|a|\sqrt{b} = -\sqrt{|a|^2 \cdot b} = -\sqrt{a^2 \cdot b}$

Пример: Внести множитель под знак корня в выражении $-3\sqrt{5}$.

Решение: Поскольку $-3 < 0$, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим число $3$, возведенное в квадрат:
$-3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45}$.
Обратите внимание, что $-3\sqrt{5} \ne \sqrt{(-3)^2 \cdot 5}$, так как $\sqrt{(-3)^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$, а исходное выражение было отрицательным.

Ответ: Чтобы внести множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести его в квадрат и записать под знаком корня в качестве сомножителя к уже существующему подкоренному выражению. Если исходный множитель был отрицательным, то перед новым выражением с корнем необходимо сохранить знак "минус".