Номер 4, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Известно, что $a < 0$. Верно ли, что $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$?

Рассмотрим данное равенство: $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$. По условию задачи известно, что $a < 0$. Для того чтобы выражение $\sqrt{bc}$ имело смысл в области действительных чисел, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $bc \ge 0$.

Проанализируем правую часть равенства: $\sqrt{a^2bc}$. Используя свойство квадратного корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), мы можем преобразовать выражение:
$\sqrt{a^2bc} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{k^2} = |k|$ (модуль числа $k$).
Следовательно, $\sqrt{a^2} = |a|$.
Таким образом, правая часть равенства принимает вид: $\sqrt{a^2bc} = |a|\sqrt{bc}$.

Теперь воспользуемся условием, что $a < 0$. По определению модуля, если число отрицательное, его модуль равен этому числу, взятому с противоположным знаком: $|a| = -a$.
Подставив это в наше выражение для правой части, получаем: $|a|\sqrt{bc} = -a\sqrt{bc}$.

Теперь сравним исходную левую часть ($a\sqrt{bc}$) с преобразованной правой частью ($-a\sqrt{bc}$).
Равенство $a\sqrt{bc} = -a\sqrt{bc}$ будет верным, только если $a\sqrt{bc} = 0$. Поскольку по условию $a < 0$ ($a \neq 0$), это возможно лишь при условии $bc = 0$.

Однако, если мы рассмотрим общий случай, когда $bc > 0$, то левая часть $a\sqrt{bc}$ будет отрицательным числом (так как $a < 0$ и $\sqrt{bc} > 0$), а правая часть $\sqrt{a^2bc}$ — значением арифметического корня, которое по определению всегда неотрицательно ( $\ge 0$ ). Отрицательное число не может равняться положительному.

Чтобы окончательно убедиться в неверности утверждения, приведем контрпример.
Пусть $a = -2$, $b = 9$, $c = 1$. Условия $a < 0$ и $bc \ge 0$ выполнены.
Вычислим левую часть: $a\sqrt{bc} = -2\sqrt{9 \cdot 1} = -2\sqrt{9} = -2 \cdot 3 = -6$.
Вычислим правую часть: $\sqrt{a^2bc} = \sqrt{(-2)^2 \cdot 9 \cdot 1} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$.
Сравнивая результаты, получаем $-6 \neq 6$.

Следовательно, данное равенство неверно при $a < 0$ и $bc > 0$. Правило внесения отрицательного множителя под знак квадратного корня выглядит так: $a\sqrt{x} = -\sqrt{a^2x}$ при $a < 0$.

Ответ: утверждение неверно.