Номер 5, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Известно, что $a < 0$. Верно ли, что $a\sqrt{bc} = -\sqrt{a^2bc}$?

Для того чтобы данное равенство имело смысл в действительных числах, подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
1. Для левой части $a\sqrt{bc}$ необходимо, чтобы $bc \ge 0$.
2. Для правой части $-\sqrt{a^2bc}$ необходимо, чтобы $a^2bc \ge 0$.

Поскольку по условию задачи $a < 0$, то $a \ne 0$, и, следовательно, $a^2$ всегда является положительным числом ($a^2 > 0$). Если мы разделим неравенство $a^2bc \ge 0$ на положительное число $a^2$, мы получим, что $bc \ge 0$. Таким образом, оба выражения определены при одном и том же условии: $bc \ge 0$.

Теперь проверим, является ли само равенство верным. Преобразуем правую часть равенства: $-\sqrt{a^2bc}$.

Используя свойство корня из произведения, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (которое справедливо для $x \ge 0, y \ge 0$), мы можем вынести множитель $a^2$ из-под корня. Так как $a^2 > 0$ и $bc \ge 0$, мы имеем право это сделать:

$-\sqrt{a^2bc} = -\sqrt{a^2 \cdot bc} = -(\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc})$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2}$ равно модулю числа $a$, то есть $\sqrt{a^2} = |a|$.

Значит, правая часть равна:

$-|a|\sqrt{bc}$

В условии задачи дано, что $a < 0$. По определению модуля, для любого отрицательного числа $a$ его модуль равен $|a| = -a$.

Подставим это значение модуля в наше выражение:

$-|a|\sqrt{bc} = -(-a)\sqrt{bc} = a\sqrt{bc}$

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства к виду левой части: $a\sqrt{bc}$. Это означает, что равенство $a\sqrt{bc} = -\sqrt{a^2bc}$ верно при заданном условии $a < 0$ (и необходимом условии $bc \ge 0$).

Ответ: Да, утверждение верно.