Номер 6, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Какую операцию называют освобождением от иррациональности в знаменателе?

Освобождением от иррациональности в знаменателе называют тождественное преобразование дроби, цель которого — исключить из знаменателя иррациональные числа (чаще всего, выражения с корнями). В результате этого преобразования получается равная исходной дробь, но со знаменателем, не содержащим иррациональности. Эта операция упрощает дальнейшие вычисления и приводит выражение к стандартному виду.

Основной метод — умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение, которое подбирается таким образом, чтобы после умножения знаменатель стал рациональным числом.

Случай 1: Знаменатель содержит один квадратный корень

Если знаменатель имеет вид $\sqrt{a}$ или $b\sqrt{a}$, то для устранения иррациональности достаточно умножить числитель и знаменатель на этот же корень, то есть на $\sqrt{a}$. При этом используется свойство $(\sqrt{a})^2 = a$.

Пример: Преобразовать дробь $\frac{5}{\sqrt{3}}$.
Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.
Теперь знаменатель — рациональное число $3$.

Случай 2: Знаменатель является суммой или разностью с квадратным корнем

Если знаменатель представляет собой выражение вида $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, $a + \sqrt{b}$ или $a - \sqrt{b}$, то используется умножение на сопряженное выражение. Сопряженное выражение отличается от исходного только знаком между слагаемыми. Это позволяет применить формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

• Для выражения $a+\sqrt{b}$ сопряженным является $a-\sqrt{b}$.
• Для выражения $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ сопряженным является $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Пример: Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$.
Знаменатель равен $\sqrt{7} - \sqrt{5}$. Сопряженное ему выражение — $\sqrt{7} + \sqrt{5}$. Умножаем на него числитель и знаменатель:
$\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7} + \sqrt{5})$.
В результате знаменатель стал равен $1$, что является рациональным числом.

Ответ: Освобождением от иррациональности в знаменателе называют преобразование дроби к виду, в котором знаменатель не содержит знаков радикала (корня) или других иррациональных выражений. Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на специально подобранное выражение (часто — сопряженное к знаменателю), в результате чего значение дроби не меняется, а знаменатель становится рациональным числом.