Номер 3, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Какие из данных соотношений, где $a \ge 0$, $b \ge 0$, являются верными равенствами, а какие — нет:

а) $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$;

б) $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$;

в) $\sqrt{a - b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$;

г) $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $(b \ne 0)$;

д) $(\sqrt{a})^2 = a$;

е) $b = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$?

а) Это равенство является одним из основных свойств арифметического квадратного корня. Оно гласит, что корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Данное свойство верно для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Чтобы проверить его истинность, можно возвести обе части равенства в квадрат:
Левая часть: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b = ab$.
Правая часть: $(\sqrt{ab})^2 = ab$.
Так как квадраты обеих частей равны и сами части по определению арифметического корня неотрицательны, то равенство верно.
Ответ: Верно.

б) Это равенство в общем случае неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Возьмем числа, из которых легко извлекается корень, например, $a = 9$ и $b = 16$. Оба числа удовлетворяют условию $a \ge 0, b \ge 0$.
Подставим их в левую часть равенства: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
Подставим их в правую часть равенства: $\sqrt{a+b} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Поскольку $7 \neq 5$, исходное равенство не является тождеством.
Ответ: Неверно.

в) Это равенство, как и предыдущее, в общем случае неверно. Для его проверки необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, то есть $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a-b \ge 0$, что означает $a \ge b$. Приведем контрпример. Пусть $a = 25$ и $b = 9$. Условия $a \ge b \ge 0$ выполнены.
Левая часть: $\sqrt{a-b} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Правая часть: $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$.
Так как $4 \neq 2$, равенство неверно.
Ответ: Неверно.

г) Это равенство также является основным свойством арифметического квадратного корня. Оно утверждает, что корень из частного (дроби) равен частному корней. Условия $a \ge 0$ и $b > 0$ (так как $b \ge 0$ и $b \neq 0$) обеспечивают существование всех корней и осмысленность деления на $b$.
Проверим, возведя обе части в квадрат:
Левая часть: $(\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = \frac{a}{b}$.
Правая часть: $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$.
Квадраты частей равны, и сами части неотрицательны. Следовательно, равенство верно.
Ответ: Верно.

д) Это равенство является определением арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Таким образом, по определению, равенство верно для любого $a \ge 0$.
Ответ: Верно.

е) Данное равенство верно. Правую часть можно преобразовать: $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{b})^2$. Согласно определению арифметического квадратного корня (как в пункте д)), для любого неотрицательного числа $b$ выполняется равенство $(\sqrt{b})^2 = b$. Таким образом, исходное равенство $b = b$ является тождеством при $b \ge 0$.
Ответ: Верно.