Номер 9, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

9. Приведите пример, когда соотношение $|a| - |b| = |a - b|$ является верным, и пример, когда оно неверно.

Рассмотрим данное соотношение: $|a| - |b| = |a - b|$.

Это равенство является частным случаем неравенства треугольника, которое для любых чисел $x$ и $y$ записывается как $|x| - |y| \le |x - y|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $x$ и $y$ имеют одинаковый знак (или $y=0$), и при этом $|x| \ge |y|$.

В нашем случае, чтобы равенство $|a| - |b| = |a - b|$ было верным, необходимо выполнение двух условий одновременно:

1. Числа $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак, либо одно из них (или оба) должно быть равно нулю. Математически это записывается как $a \cdot b \ge 0$.
2. Модуль числа $a$ должен быть больше или равен модулю числа $b$. Математически: $|a| \ge |b|$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, соотношение будет неверным.

Пример, когда соотношение является верным

Выберем значения, которые удовлетворяют обоим условиям. Например, пусть $a = 8$ и $b = 3$.

Здесь $a \cdot b = 8 \cdot 3 = 24 > 0$ (знаки одинаковые) и $|8| \ge |3|$ (условие на модули выполняется).

Проверим равенство:

Левая часть: $|a| - |b| = |8| - |3| = 8 - 3 = 5$.

Правая часть: $|a - b| = |8 - 3| = |5| = 5$.

Поскольку $5 = 5$, для данных значений $a$ и $b$ соотношение является верным.

Ответ: например, $a = 8$ и $b = 3$.

Пример, когда оно неверно

Выберем значения, которые не удовлетворяют условиям. Например, пусть числа имеют разные знаки. Возьмем $a = 8$ и $b = -3$.

Здесь условие $a \cdot b \ge 0$ не выполняется, так как $8 \cdot (-3) = -24 < 0$.

Проверим равенство:

Левая часть: $|a| - |b| = |8| - |-3| = 8 - 3 = 5$.

Правая часть: $|a - b| = |8 - (-3)| = |8 + 3| = |11| = 11$.

Поскольку $5 \neq 11$, для данных значений $a$ и $b$ соотношение является неверным.

Ответ: например, $a = 8$ и $b = -3$.