Номер 14, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

14. Вычислите:

а) $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$;

б) $\sqrt{(\pi-2)^2}$.

Для решения этой задачи используется основное свойство арифметического квадратного корня: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль (абсолютная величина) числа $|a|$ раскрывается в зависимости от знака $a$:

• если $a \geq 0$, то $|a| = a$;
• если $a < 0$, то $|a| = -a$.

Таким образом, для каждого случая нам необходимо сначала применить свойство корня, а затем определить знак выражения под модулем, чтобы правильно его раскрыть.

а) $\sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2}$

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2} - 2$, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2} = |\sqrt{2} - 2|$

Далее определим знак выражения в скобках: $\sqrt{2} - 2$. Для этого сравним числа $\sqrt{2}$ и $2$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $2^2 = 4$. Так как $2 < 4$, то и $\sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{2} < 2$.

Следовательно, разность $\sqrt{2} - 2$ является отрицательным числом.

По определению модуля для отрицательного числа ($|x| = -x$ при $x < 0$), имеем:

$|\sqrt{2} - 2| = -(\sqrt{2} - 2) = -\sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2}$

б) $\sqrt{(\pi - 2)^2}$

Используя то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \pi - 2$, получаем:

$\sqrt{(\pi - 2)^2} = |\pi - 2|$

Теперь определим знак выражения $\pi - 2$. Число $\pi$ является иррациональным числом, приблизительно равным $3.14159...$. Поскольку $\pi > 2$, разность $\pi - 2$ является положительным числом.

По определению модуля для положительного числа ($|x| = x$ при $x \geq 0$), имеем:

$|\pi - 2| = \pi - 2$.

Ответ: $\pi - 2$