Номер 7, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Какова вероятность того, что в вопросе Б первый и третий выбор будут одинаковыми между собой?

Для решения этой задачи необходимо знать общее количество элементов, из которых производится выбор, и правила выбора (с возвращением или без). Эти данные должны содержаться в условии "вопроса 5 б", которое не представлено. Однако, можно решить задачу в общем виде, сделав наиболее вероятные предположения.

Предположение: Выбор производится из $N$ различных элементов, и каждый выбор является независимым событием (выбор с возвращением). Если бы выбор был без возвращения, то после первого выбора элемент изымался бы из набора, и вероятность выбрать его же в третий раз была бы равна нулю.

Решение:

Обозначим событие, вероятность которого мы ищем, как $A$ — "первый и третий выбор одинаковы".

Рассмотрим процесс по шагам:

1. Первый выбор. Мы выбираем один элемент из $N$ доступных. Неважно, какой именно элемент будет выбран. Зафиксируем результат этого выбора.

2. Второй выбор. Условие задачи не накладывает никаких ограничений на второй выбор, поэтому результат этого шага не влияет на искомую вероятность и может быть любым.

3. Третий выбор. На этом шаге нам нужно, чтобы был выбран тот же самый элемент, что и на первом шаге. Поскольку мы предположили, что выбор производится с возвращением, в наборе по-прежнему находятся все $N$ элементов. Благоприятным для нас является выбор только одного конкретного элемента (того, что был выбран первым).

Вероятность любого события определяется по классической формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

Применительно к нашему третьему выбору:

• Число благоприятных исходов $m = 1$ (нужно выбрать тот же элемент, что и в первый раз).
• Общее число исходов $n = N$ (можно выбрать любой из $N$ элементов).

Следовательно, вероятность того, что третий выбор совпадет с первым, равна:

$P(A) = \frac{1}{N}$

Альтернативный метод (через формулу полной вероятности):

Пусть $H_i$ — гипотеза, что при первом выборе был выбран элемент с номером $i$ (где $i$ может быть от 1 до $N$). Вероятность любой такой гипотезы $P(H_i) = \frac{1}{N}$.

Условная вероятность события $A$ (совпадения первого и третьего выбора) при условии, что произошла гипотеза $H_i$ (в первый раз выбрали элемент $i$), равна вероятности выбрать элемент $i$ и в третий раз. Так как выбор с возвращением, $P(A|H_i) = \frac{1}{N}$.

По формуле полной вероятности, полная вероятность события $A$ равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе:

$P(A) = \sum_{i=1}^{N} P(H_i) \cdot P(A|H_i) = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{N^2}$

Так как мы суммируем $N$ одинаковых слагаемых, получаем:

$P(A) = N \cdot \frac{1}{N^2} = \frac{N}{N^2} = \frac{1}{N}$

Оба метода приводят к одинаковому результату. Итоговый ответ зависит от числа $N$, которое должно быть определено в условии предыдущей задачи.

Ответ: Вероятность того, что первый и третий выбор будут одинаковыми, равна $\frac{1}{N}$, где $N$ — это общее количество элементов, из которых производится выбор (данное из "вопроса 5 б").