Номер 2, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, выполняется с помощью стандартных преобразований графиков или путем раскрытия модуля. Рассмотрим основные случаи и методы.

Построение графика функции y = |f(x)|

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить график исходной функции $y = f(x)$.
2. Оставить без изменений ту часть графика, которая расположена в верхней полуплоскости и на оси абсцисс (то есть, где $f(x) \ge 0$).
3. Часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси Ox).
Это правило следует напрямую из определения модуля: $$ y = |f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{если } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{если } f(x) < 0 \end{cases} $$ График функции $y = -f(x)$ является симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси Ox.

Пример: Построить график функции $y = |x^2 - 2x - 3|$.
1. Сначала строим график параболы $y = x^2 - 2x - 3$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_0 = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(1, -4)$. Найдем нули функции: $x^2 - 2x - 3 = 0$, по теореме Виета $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
2. Части параболы на интервалах $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$, где $y \ge 0$, оставляем без изменений.
3. Часть параболы на интервале $(-1, 3)$, где $y < 0$, симметрично отражаем относительно оси Ox. Вершина $(1, -4)$ перейдет в точку $(1, 4)$.

Ответ: Для построения графика $y = |f(x)|$ нужно сначала построить график $y = f(x)$, а затем часть графика, лежащую ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси.

Построение графика функции y = f(|x|)

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, необходимо:
1. Построить график функции $y = f(x)$ только для неотрицательных значений аргумента, то есть для $x \ge 0$.
2. Удалить (или не строить) часть графика, которая соответствует $x < 0$.
3. Построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично отразить относительно оси ординат (оси Oy).
Этот алгоритм основан на том, что функция $y = f(|x|)$ является четной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$. График четной функции всегда симметричен относительно оси Oy. $$ y = f(|x|) = \begin{cases} f(x), & \text{если } x \ge 0 \\ f(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases} $$

Пример: Построить график функции $y = x^2 - 4|x| + 3$.
Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно представить в виде $y = |x|^2 - 4|x| + 3$. Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(t) = t^2 - 4t + 3$.
1. Строим график функции $y = x^2 - 4x + 3$ для $x \ge 0$. Это часть параболы с вершиной в точке $x_0 = -(-4)/2 = 2$, $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Вершина $(2, -1)$. Нули функции: $x_1=1, x_2=3$.
2. Оставляем только ту часть параболы, что находится в правой полуплоскости (включая ось Oy).
3. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy. В результате в левой полуплоскости появится симметричная часть с вершиной в точке $(-2, -1)$ и нулями в точках $x=-1$ и $x=-3$.

Ответ: Для построения графика $y = f(|x|)$ нужно построить график $y = f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

Построение графика функции y = |f(|x|)|

Для построения графика такого вида нужно последовательно выполнить оба предыдущих преобразования. Порядок их применения не имеет значения.
Алгоритм 1: $y = f(x) \rightarrow y = f(|x|) \rightarrow y = |f(|x|)|$.
Алгоритм 2: $y = f(x) \rightarrow y = |f(x)| \rightarrow y = |f(|x|)|$.
Рассмотрим на примере функции $y = |\sin x|$.

Пример: Построить график функции $y = ||x| - 2|$.
Здесь $f(x) = x-2$.
1. Построим базовый график $y = x - 2$ (прямая линия).
2. Выполним первое преобразование: $y = f(|x|) \Rightarrow y = |x| - 2$. Для этого часть графика $y=x-2$ при $x \ge 0$ (луч, выходящий из точки $(0,-2)$ вправо-вверх) оставляем и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получаем график в виде "галочки" с вершиной в точке $(0,-2)$.
3. Выполним второе преобразование: $y = ||x| - 2|$. Для этого у графика $y = |x| - 2$ часть, лежащую под осью Ox (отрезок между точками $(-2,0)$ и $(2,0)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(0,-2)$ переходит в $(0,2)$. Итоговый график имеет форму буквы "W".

Ответ: График функции $y = |f(|x|)|$ получается из графика $y = f(x)$ путем последовательного применения двух преобразований: отражения относительно оси Oy для аргумента $x \ge 0$ и отражения относительно оси Ox для значений функции $y < 0$.

Общий метод (раскрытие модулей)

Если функция имеет более сложный вид и не сводится к предыдущим типам, применяется общий метод, основанный на определении модуля. 1. Найти все значения переменной, при которых выражения под каждым из модулей обращаются в ноль.
2. Эти значения разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов знаки подмодульных выражений постоянны.
3. Для каждого интервала раскрыть модули в соответствии со знаком подмодульного выражения (если выражение $\ge 0$, то $|a|=a$; если $< 0$, то $|a|=-a$).
4. В результате для каждого интервала получается своя, более простая функция. Нужно построить график этой кусочно-заданной функции.

Пример: Построить график функции $y = |x+2| - |x-1|$.
1. Нули подмодульных выражений: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
2. Точки $-2$ и $1$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $[-2, 1)$, $[1, \infty)$.
3. Раскроем модули на каждом интервале:
- При $x < -2$: оба выражения отрицательны. $y = -(x+2) - (-(x-1)) = -x-2+x-1 = -3$.
- При $-2 \le x < 1$: выражение $x+2 \ge 0$, а $x-1 < 0$. $y = (x+2) - (-(x-1)) = x+2+x-1 = 2x+1$.
- При $x \ge 1$: оба выражения неотрицательны. $y = (x+2) - (x-1) = x+2-x+1 = 3$.
4. Строим график кусочно-заданной функции: $$ y = \begin{cases} -3, & \text{если } x < -2 \\ 2x+1, & \text{если } -2 \le x < 1 \\ 3, & \text{если } x \ge 1 \end{cases} $$ График состоит из горизонтального луча $y=-3$ слева от $x=-2$, отрезка прямой $y=2x+1$ между $x=-2$ и $x=1$ (соединяет точки $(-2, -3)$ и $(1, 3)$), и горизонтального луча $y=3$ справа от $x=1$.

Ответ: Общий метод построения графика с модулями — это раскрытие модулей на интервалах, определяемых нулями подмодульных выражений, и построение полученной кусочно-заданной функции.