Номер 5, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Если $k > 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, проанализируем поведение функции $y = kx^2$ при условии $k > 0$.

Данная функция является квадратичной, ее график — это парабола с вершиной в начале координат, в точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент $k$ перед $x^2$ положителен ($k > 0$), ветви параболы направлены вверх.

У параболы с ветвями, направленными вверх, есть точка минимума — ее вершина. До вершины (слева от нее) функция убывает, а после вершины (справа от нее) функция возрастает.

• На промежутке $(-\infty, 0]$, то есть при $x \le 0$, функция убывает.
• На промежутке $[0, +\infty)$, то есть при $x \ge 0$, функция возрастает.

Это можно также показать с помощью производной. Найдем производную функции $y(x) = kx^2$:

$y' = (kx^2)' = 2kx$

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$. Так как $k > 0$, неравенство $2kx > 0$ выполняется при $x > 0$. Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$. Так как $k > 0$, неравенство $2kx < 0$ выполняется при $x < 0$.

Теперь проверим каждое из предложенных утверждений.

а) функция y = kx² возрастает при x ≥ 0 и убывает при x ≤ 0;
Это утверждение полностью соответствует результатам нашего анализа. Функция действительно убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
Ответ: утверждение верно.

б) функция y = kx² возрастает при x ≥ 0 и возрастает при x ≤ 0;
Это утверждение неверно, так как при $x \le 0$ функция убывает, а не возрастает.
Ответ: утверждение неверно.

в) функция y = kx² убывает при x ≥ 0 и убывает при x ≤ 0;
Это утверждение неверно, так как при $x \ge 0$ функция возрастает, а не убывает.
Ответ: утверждение неверно.

г) функция y = kx² убывает при x ≥ 0 и возрастает при x ≤ 0?
Это утверждение неверно. Оно описывало бы поведение параболы с ветвями, направленными вниз (то есть при $k < 0$), что противоречит условию задачи.
Ответ: утверждение неверно.