Номер 12, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

12. Какова область значений функции $y = kx^2$, если $k > 0$?

Для нахождения области значений функции $y = kx^2$ при условии $k > 0$ необходимо определить, какие значения может принимать переменная $y$.

1. Рассмотрим выражение $x^2$. Независимо от значения переменной $x$ (положительное, отрицательное или ноль), ее квадрат $x^2$ всегда будет неотрицательным числом. Это можно записать в виде неравенства: $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

2. Минимальное значение выражения $x^2$ достигается при $x=0$ и равно $0^2 = 0$. Максимального значения у $x^2$ нет, так как при $x$, стремящемся к бесконечности ($x \to \pm\infty$), $x^2$ также стремится к бесконечности ($x^2 \to +\infty$).

3. По условию задачи, коэффициент $k$ является положительным числом, то есть $k > 0$.

4. Теперь проанализируем всю функцию $y = kx^2$. Она представляет собой произведение положительного числа $k$ и неотрицательного числа $x^2$.

- Наименьшее значение $y$ будет тогда, когда $x^2$ принимает свое наименьшее значение, то есть 0. Таким образом, минимальное значение функции $y_{min} = k \cdot 0 = 0$.

- Поскольку $x^2$ может принимать сколь угодно большие положительные значения, а $k$ — это положительная константа, то произведение $kx^2$ также может принимать сколь угодно большие положительные значения.

Следовательно, функция $y$ может принимать любое значение от 0 (включительно) до положительной бесконечности.

Графически функция $y = kx^2$ при $k > 0$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Самая нижняя точка графика соответствует вершине, где $y = 0$. Ветви параболы уходят вверх бесконечно, покрывая все положительные значения по оси $y$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток от 0 до $+\infty$.

Ответ: $[0, +\infty)$