Номер 10, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

10. Как по графику функции установить, является ли она ограниченной снизу?

Чтобы по графику функции определить, является ли она ограниченной снизу, необходимо проверить, можно ли провести горизонтальную прямую так, чтобы весь график функции находился выше этой прямой.

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

С геометрической точки зрения это означает, что можно найти такую горизонтальную прямую $y = m$, что весь график функции расположен не ниже этой прямой. Эта прямая как бы служит "полом", ниже которого график не опускается.

Алгоритм проверки по графику:

1. Рассмотрите график функции. Обратите внимание на его поведение по вертикали (по оси $Oy$).
2. Мысленно проведите горизонтальную линию на графике.
3. Попробуйте переместить эту линию вниз. Если вы сможете найти такое положение для линии (например, на уровне $y=m$), что все без исключения точки графика функции будут находиться над этой линией или на ней, то функция ограничена снизу.
4. Если же график уходит бесконечно вниз (то есть, для некоторых $x$ значения $y$ стремятся к $-\infty$), то такой "пол" найти невозможно, и функция не является ограниченной снизу.

Пример: Парабола $y = x^2$ ограничена снизу, так как весь её график лежит выше горизонтальной прямой $y=0$ (оси абсцисс). Здесь можно взять $m=0$. А функция $y = -x^2$ не ограничена снизу, так как её ветви уходят в минус бесконечность.

Ответ: Функция является ограниченной снизу, если существует горизонтальная прямая $y=m$, ниже которой не лежит ни одна точка графика функции. То есть, весь график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой.