Номер 11, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

11. Как по графику функции установить, является ли она ограниченной сверху?

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Геометрически это означает, что можно найти такую горизонтальную прямую $y = M$, что весь график функции будет расположен ниже этой прямой или, в крайнем случае, будет её касаться, но ни в одной точке не будет её пересекать и уходить выше.

Таким образом, чтобы по графику установить, является ли функция ограниченной сверху, необходимо выполнить следующие действия:

1. Визуально оценить, уходит ли график функции "вверх в бесконечность" при движении вдоль оси $x$.
2. Если график не уходит в бесконечность вверх, а как бы "прижат" сверху невидимой горизонтальной линией, то функция является ограниченной сверху.
3. Если же график уходит вверх бесконечно (как, например, у параболы $y = x^2$ или экспоненты $y = e^x$), то провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график оказался под ней, невозможно. В этом случае функция не является ограниченной сверху.

Пример 1 (функция ограничена сверху): График функции $y = \sin(x)$. Все значения этой функции лежат в отрезке $[-1, 1]$. Можно провести горизонтальную прямую $y=1$ (или любую прямую $y=M$ при $M \ge 1$), и весь график будет лежать ниже этой прямой. Следовательно, функция ограничена сверху.

Пример 2 (функция не ограничена сверху): График функции $y = \ln(x)$. При $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают. Невозможно провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график оказался под ней. Следовательно, функция не ограничена сверху.

Ответ: Чтобы по графику установить, является ли функция ограниченной сверху, нужно проверить, можно ли провести горизонтальную прямую так, чтобы весь график функции оказался ниже этой прямой. Если такую прямую провести можно, то функция ограничена сверху; если нет — то не ограничена.