Номер 7, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Чему равны $y_{\text{наим}}$ и $y_{\text{наиб}}$ для функции $y = kx^2$, если $k > 0$?

Чему равны $y_{\text{наим}}$ и $y_{\text{наиб}}$ для функции $y = kx^2$, если $k < 0$?

Чему равны $y_{наим}$ и $y_{наиб}$ для функции $y = kx^2$, если $k > 0$?

Рассмотрим функцию $y = kx^2$ при условии $k > 0$. Графиком данной функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент $k$ положителен, ветви параболы направлены вверх.

1. Наименьшее значение ($y_{наим}$): Выражение $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$). Так как $k > 0$, то произведение $kx^2$ также будет всегда больше или равно нулю ($kx^2 \ge 0$). Самое маленькое значение, которое может принять $y$, достигается, когда $x^2$ минимально, то есть при $x=0$.
$y_{наим} = k \cdot 0^2 = 0$.
Таким образом, наименьшее значение функции равно 0.

2. Наибольшее значение ($y_{наиб}$): Поскольку ветви параболы уходят вверх в бесконечность, значения функции $y$ могут быть сколь угодно большими. Когда $x$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$, $y$ стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху, и у нее нет наибольшего значения.

Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб}$ не существует.

Чему равны $y_{наим}$ и $y_{наиб}$ для функции $y = kx^2$, если $k < 0$?

Рассмотрим функцию $y = kx^2$ при условии $k < 0$. Графиком этой функции также является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Но так как коэффициент $k$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

1. Наибольшее значение ($y_{наиб}$): Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Поскольку $k < 0$, произведение $kx^2$ будет всегда меньше или равно нулю ($kx^2 \le 0$). Самое большое значение, которое может принять $y$, достигается, когда $x^2$ минимально, то есть при $x=0$.
$y_{наиб} = k \cdot 0^2 = 0$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно 0.

2. Наименьшее значение ($y_{наим}$): Поскольку ветви параболы уходят вниз в бесконечность, значения функции $y$ могут быть сколь угодно малыми (сколь угодно большими по модулю отрицательными числами). Когда $x$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$, $y$ стремится к $-\infty$. Это означает, что функция не ограничена снизу, и у нее нет наименьшего значения.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб} = 0$.