Номер 5, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Что такое асимптота графика функции $y = f(x)$?

Асимптота графика функции $y = f(x)$ (от греческого слова ἀσύμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) — это прямая, обладающая свойством, что расстояние от точки на графике функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Простыми словами, это прямая, к которой кривая графика "подходит" всё ближе и ближе, но никогда её не пересекает (хотя в некоторых случаях пересечение возможно в конечной части графика, но не на бесконечности).

Асимптоты являются важным инструментом при исследовании поведения функции и построении её графика. Существует три вида асимптот.

Вертикальная асимптота

Прямая $x = a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y = f(x)$, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке $a$ равен бесконечности. Это означает, что при приближении аргумента $x$ к значению $a$, значение функции $y$ неограниченно возрастает или убывает.

Условие существования вертикальной асимптоты: $$ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{или} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty $$ Вертикальные асимптоты обычно ищут в точках, где функция не определена (точках разрыва), например, в точках, где знаменатель дробно-рациональной функции обращается в ноль.

Горизонтальная асимптота

Прямая $y = b$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), если предел функции при стремлении $x$ к плюс или минус бесконечности равен конечному числу $b$.

Условие существования горизонтальной асимптоты: $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \quad \text{или} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b $$ Функция может иметь одну горизонтальную асимптоту, две разные (одну на $+\infty$, другую на $-\infty$) или не иметь их вовсе.

Наклонная асимптота

Прямая $y = kx + b$ (где $k \neq 0$) называется наклонной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), если разность между ординатой графика функции и ординатой соответствующей точки на прямой стремится к нулю при $x \to \infty$.

Коэффициенты $k$ и $b$ для наклонной асимптоты находятся с помощью следующих пределов: $$ k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} $$ $$ b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) $$ Если оба предела существуют и конечны, и при этом $k \neq 0$, то прямая $y = kx + b$ является наклонной асимптотой. Если $k=0$, то асимптота является горизонтальной. Пределы могут вычисляться отдельно для $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$, что может привести к разным асимптотам.

Ответ: Асимптота графика функции $y=f(x)$ — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда его точка удаляется в бесконечность. Различают три вида асимптот: вертикальные (прямые вида $x=a$, возникающие в точках разрыва функции, где $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$), горизонтальные (прямые вида $y=b$, к которым график стремится на бесконечности, т.е. $\lim_{x\to \infty} f(x) = b$) и наклонные (прямые вида $y=kx+b$, к которым график стремится на бесконечности, где $k = \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x\to \infty} (f(x) - kx)$).