Номер 9, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

9. Если $k > 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения выпуклости функции $y = \frac{k}{x}$ необходимо исследовать знак ее второй производной. По условию задачи $k > 0$.

1. Нахождение производных
Запишем функцию в виде $y = kx^{-1}$.
Первая производная: $y' = (kx^{-1})' = k \cdot (-1)x^{-2} = -kx^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.
Вторая производная: $y'' = (-kx^{-2})' = -k \cdot (-2)x^{-3} = 2kx^{-3} = \frac{2k}{x^3}$.

2. Анализ знака второй производной
Направление выпуклости графика определяется знаком ее второй производной: если $y'' > 0$ на интервале, то функция на этом интервале выпукла вниз (вогнута), а если $y'' < 0$ — то выпукла вверх.

Рассмотрим знак $y'' = \frac{2k}{x^3}$ на двух промежутках области определения ($x \neq 0$):

При $x > 0$:
На этом интервале $x^3 > 0$. Поскольку по условию $k > 0$, числитель $2k$ также положителен. Следовательно, $y'' = \frac{2k}{x^3}$ является отношением двух положительных величин, значит $y'' > 0$.
Это означает, что при $x > 0$ функция выпукла вниз.

При $x < 0$:
На этом интервале $x^3 < 0$. Числитель $2k$ положителен ($k > 0$). Следовательно, $y'' = \frac{2k}{x^3}$ является отношением положительной величины к отрицательной, значит $y'' < 0$.
Это означает, что при $x < 0$ функция выпукла вверх.

3. Вывод
Мы установили, что функция $y = \frac{k}{x}$ (при $k > 0$) выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$. Это в точности соответствует утверждению из пункта в).

Ответ: в)