Страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите значение коэффициента k для заданной функции $y = kx^2$:

19.1 a) $y = 2x^2$;

б) $y = -8x^2$;

в) $y = 7x^2$;

г) $y = -x^2$.

Чтобы найти значение коэффициента $k$ для функции вида $y = kx^2$, необходимо сравнить заданное уравнение с этим общим видом и определить, какое число стоит на месте $k$.

а) Для функции $y = 2x^2$.

Сравниваем данное уравнение с общей формой $y = kx^2$. В этом случае коэффициент, стоящий перед $x^2$, равен 2.

Следовательно, $k = 2$.
Ответ: $k = 2$.

б) Для функции $y = -8x^2$.

Сравниваем данное уравнение с общей формой $y = kx^2$. В этом случае коэффициент, стоящий перед $x^2$, равен -8.

Следовательно, $k = -8$.
Ответ: $k = -8$.

в) Для функции $y = 7x^2$.

Сравниваем данное уравнение с общей формой $y = kx^2$. В этом случае коэффициент, стоящий перед $x^2$, равен 7.

Следовательно, $k = 7$.
Ответ: $k = 7$.

г) Для функции $y = -x^2$.

Данное уравнение можно переписать в виде $y = -1 \cdot x^2$. Сравниваем его с общей формой $y = kx^2$. В этом случае коэффициент, стоящий перед $x^2$, равен -1.

Следовательно, $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.

19.2 a) $y = 0,2x^2$

б) $y = -\frac{x^2}{8}$

в) $y = -1,85x^2$

г) $y = -\frac{x^2}{37}$

а) Все представленные функции являются квадратичными функциями вида $y = ax^2$. Графиком такой функции является парабола с вершиной в начале координат. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$.
В функции $y = 0,2x^2$ коэффициент $a = 0,2$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: ветви параболы направлены вверх.

б) Функцию $y = -\frac{x^2}{8}$ можно переписать в виде $y = -\frac{1}{8}x^2$. В этом случае коэффициент $a = -\frac{1}{8}$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: ветви параболы направлены вниз.

в) В функции $y = -1,85x^2$ коэффициент $a = -1,85$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: ветви параболы направлены вниз.

г) Функцию $y = -\frac{x^2}{37}$ можно переписать в виде $y = -\frac{1}{37}x^2$. Здесь коэффициент $a = -\frac{1}{37}$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: ветви параболы направлены вниз.

19.3 Изобразите схематически график функции:

а) $y = -0,2x^2$;

б) $y = 10x^2$;

в) $y = -1,8x^2$;

г) $y = \frac{3}{5}x^2$.

а) $y = -0,2x^2$
Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = -0,2$. Графиком этой функции является парабола. Проанализируем её основные свойства для построения схематического графика:
1. Вершина параболы. Вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = -0,2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Ось симметрии. Парабола симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$).
4. Форма параболы. Рассмотрим модуль коэффициента: $|a| = |-0,2| = 0,2$. Поскольку $0 < |a| < 1$, график функции будет "шире" (более пологим), чем график стандартной параболы $y = -x^2$. Это происходит из-за вертикального сжатия графика к оси $Ox$.
Для наглядности можно найти пару контрольных точек: при $x = \pm 1$, $y = -0,2 \cdot (\pm 1)^2 = -0,2$; при $x = \pm 2$, $y = -0,2 \cdot (\pm 2)^2 = -0,8$.

Ответ: Схематический график — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Парабола широкая, сжата к оси абсцисс.

б) $y = 10x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = 10$. Графиком функции является парабола.
1. Вершина параболы. Вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = 10 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Ось симметрии. Парабола симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$).
4. Форма параболы. Рассмотрим модуль коэффициента: $|a| = |10| = 10$. Поскольку $|a| > 1$, график функции будет "уже" (более крутым), чем график стандартной параболы $y = x^2$. Это происходит из-за вертикального растяжения графика вдоль оси $Oy$.
Для наглядности можно найти пару контрольных точек: при $x = \pm 1$, $y = 10 \cdot (\pm 1)^2 = 10$; при $x = \pm 0,5$, $y = 10 \cdot (\pm 0,5)^2 = 2,5$.

Ответ: Схематический график — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Парабола узкая, сильно вытянута вдоль оси ординат.

в) $y = -1,8x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = -1,8$. Графиком функции является парабола.
1. Вершина параболы. Вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = -1,8 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Ось симметрии. Парабола симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$).
4. Форма параболы. Рассмотрим модуль коэффициента: $|a| = |-1,8| = 1,8$. Поскольку $|a| > 1$, график функции будет "уже", чем график стандартной параболы $y = -x^2$. Это происходит из-за вертикального растяжения графика от оси $Ox$.
Для наглядности можно найти пару контрольных точек: при $x = \pm 1$, $y = -1,8 \cdot (\pm 1)^2 = -1,8$.

Ответ: Схематический график — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Парабола узкая, вытянута вдоль оси ординат.

г) $y = \frac{3}{5}x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = \frac{3}{5} = 0,6$. Графиком функции является парабола.
1. Вершина параболы. Вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = 0,6 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Ось симметрии. Парабола симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$).
4. Форма параболы. Рассмотрим модуль коэффициента: $|a| = |\frac{3}{5}| = 0,6$. Поскольку $0 < |a| < 1$, график функции будет "шире", чем график стандартной параболы $y = x^2$. Это происходит из-за вертикального сжатия графика к оси $Ox$.
Для наглядности можно найти пару контрольных точек: при $x = \pm 1$, $y = 0,6 \cdot (\pm 1)^2 = 0,6$; при $x = \pm 2$, $y = 0,6 \cdot (\pm 2)^2 = 2,4$.

Ответ: Схематический график — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Парабола широкая, сжата к оси абсцисс.

Постройте график функции и укажите, где она убывает, где возрастает:

19.4 а) $y = 3x^2$;

б) $y = -4x^2$;

в) $y = -2x^2$;

г) $y = 5x^2$.

а) $y = 3x^2$

Графиком данной функции является парабола, которая относится к классу функций $y = ax^2$. В данном случае коэффициент $a = 3$.

1. Построение графика.

Так как коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы вида $y=ax^2$ всегда находится в точке начала координат (0, 0).

Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), то есть прямая $x=0$.

Для более точного построения графика найдём координаты нескольких точек, принадлежащих параболе. Составим таблицу значений:

При $x = 0, y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка (1, 3).
При $x = -1, y = 3 \cdot (-1)^2 = 3$. Точка (-1, 3).
При $x = 2, y = 3 \cdot 2^2 = 12$. Точка (2, 12).
При $x = -2, y = 3 \cdot (-2)^2 = 12$. Точка (-2, 12).

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции. Это будет парабола, сжатая к оси $Oy$ в 3 раза по сравнению с графиком $y=x^2$.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Вершина параболы в точке $x=0$ разделяет график на две симметричные ветви.

Поскольку ветви параболы направлены вверх:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает (с увеличением $x$ от $-\infty$ до 0, значение $y$ уменьшается от $+\infty$ до 0).
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает (с увеличением $x$ от 0 до $+\infty$, значение $y$ увеличивается от 0 до $+\infty$).

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

б) $y = -4x^2$

Графиком данной функции является парабола вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = -4$.

1. Построение графика.

Так как коэффициент $a = -4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке (0, 0). Ось симметрии — прямая $x=0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

При $x = 0, y = -4 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = -4 \cdot 1^2 = -4$. Точка (1, -4).
При $x = -1, y = -4 \cdot (-1)^2 = -4$. Точка (-1, -4).
При $x = 2, y = -4 \cdot 2^2 = -16$. Точка (2, -16).
При $x = -2, y = -4 \cdot (-2)^2 = -16$. Точка (-2, -16).

Соединив точки плавной кривой, получим параболу, ветви которой направлены вниз и которая "вытянута" вдоль оси $Oy$ в 4 раза по сравнению с $y=-x^2$.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Поскольку ветви параболы направлены вниз:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает (с увеличением $x$, значение $y$ увеличивается от $-\infty$ до 0).
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает (с увеличением $x$, значение $y$ уменьшается от 0 до $-\infty$).

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

в) $y = -2x^2$

Графиком функции является парабола вида $y = ax^2$, где $a = -2$.

1. Построение графика.

Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы — точка (0, 0). Ось симметрии — $x=0$.

Найдем несколько точек для построения:

При $x = 0, y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = -2 \cdot 1^2 = -2$. Точка (1, -2).
При $x = -1, y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка (-1, -2).
При $x = 2, y = -2 \cdot 2^2 = -8$. Точка (2, -8).
При $x = -2, y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$. Точка (-2, -8).

График — парабола с вершиной в начале координат, ветвями вниз.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Так как ветви параболы направлены вниз:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает.
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

г) $y = 5x^2$

Это функция вида $y = ax^2$, где $a = 5$.

1. Построение графика.

Коэффициент $a = 5 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы — точка (0, 0). Ось симметрии — прямая $x=0$.

Найдем координаты нескольких точек:

При $x = 0, y = 5 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
При $x = 1, y = 5 \cdot 1^2 = 5$. Точка (1, 5).
При $x = -1, y = 5 \cdot (-1)^2 = 5$. Точка (-1, 5).
При $x = 2, y = 5 \cdot 2^2 = 20$. Точка (2, 20).
При $x = -2, y = 5 \cdot (-2)^2 = 20$. Точка (-2, 20).

График — парабола, сильно "сжатая" к оси ординат.

2. Промежутки возрастания и убывания.

Так как ветви параболы направлены вверх:
- на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает.
- на промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

19.5 a) $y = -1.5x^2$;

б) $y = \frac{1}{4}x^2$;

в) $y = 2.5x^2$;

г) $y = -\frac{1}{2}x^2$.

а) $y = -1,5x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = -1,5$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = -1,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |-1,5| = 1,5 > 1$, то парабола "уже", чем парабола $y=-x^2$. Это означает, что её график получен из графика $y=-x^2$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 1,5 раза.
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Графиком функции $y = -1,5x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола растянута от оси абсцисс в 1,5 раза по сравнению с графиком $y=-x^2$.

б) $y = \frac{1}{4}x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = \frac{1}{4}$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |\frac{1}{4}| = 0,25 < 1$, то парабола "шире", чем парабола $y=x^2$. Это означает, что её график получен из графика $y=x^2$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 4 раза (или растяжением вдоль оси $Ox$ в 2 раза).
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{1}{4}x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола сжата к оси абсцисс в 4 раза по сравнению с графиком $y=x^2$.

в) $y = 2,5x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = 2,5$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = 2,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |2,5| = 2,5 > 1$, то парабола "уже", чем парабола $y=x^2$. Её график получен из графика $y=x^2$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2,5 раза.
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции $y = 2,5x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола растянута от оси абсцисс в 2,5 раза по сравнению с графиком $y=x^2$.

г) $y = -\frac{1}{2}x^2$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Проанализируем её свойства.

1. Графиком функции является парабола.
2. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
3. Осью симметрии параболы является ось ординат ($Oy$), её уравнение $x=0$.
4. Поскольку коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз.
5. Так как модуль коэффициента $|a| = |-\frac{1}{2}| = 0,5 < 1$, то парабола "шире", чем парабола $y=-x^2$. Её график получен из графика $y=-x^2$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 2 раза (или растяжением вдоль оси $Ox$ в $\sqrt{2}$ раз).
6. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Область значений функции: так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине и равно 0, то $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Графиком функции $y = -\frac{1}{2}x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола сжата к оси абсцисс в 2 раза по сравнению с графиком $y=-x^2$.