Страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

19.24 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -0.5x^2$:

а) на полуинтервале $(-3; 2];

б) на интервале $(-2; 1);

в) на отрезке $[-1; 4];

г) на луче $(-\infty; 2]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -0,5x^2$ на заданных промежутках, воспользуемся её свойствами. Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Следовательно, наибольшее значение функции на любом промежутке, содержащем точку $x=0$, будет равно $y(0)=0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; \infty)$.

а) на полуинтервале (-3; 2];

Наибольшее значение на этом полуинтервале достигается в вершине параболы, так как точка $x=0$ принадлежит промежутку $(-3; 2]$.
$y_{наибольшее} = y(0) = -0,5 \cdot 0^2 = 0$.

Для поиска наименьшего значения исследуем поведение функции на концах полуинтервала. На правом конце $y(2) = -0,5 \cdot 2^2 = -2$. На левом конце, при $x$, стремящемся к $-3$, функция стремится к значению $y(-3) = -0,5 \cdot (-3)^2 = -4,5$. Поскольку точка $x=-3$ не включена в промежуток, значение $-4,5$ не достигается. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение не существует.

б) на интервале (-2; 1);

Наибольшее значение на этом интервале также достигается в вершине $x=0$, так как $0 \in (-2; 1)$.
$y_{наибольшее} = y(0) = 0$.

Оба конца интервала, $x=-2$ и $x=1$, не включены. При $x \to -2$ функция стремится к $y(-2) = -0,5 \cdot (-2)^2 = -2$. При $x \to 1$ функция стремится к $y(1) = -0,5 \cdot 1^2 = -0,5$. Наименьшее из этих предельных значений равно $-2$. Так как точка $x=-2$ не принадлежит интервалу, наименьшее значение не достигается.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение не существует.

в) на отрезке [-1; 4];

Так как отрезок является замкнутым промежутком, непрерывная функция на нем достигает и наибольшего, и наименьшего значений. Эти значения могут быть в вершине (если она внутри отрезка) или на его концах.
Вершина $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$, следовательно, наибольшее значение равно $y_{наибольшее} = y(0) = 0$.

Вычислим значения на концах отрезка:
$y(-1) = -0,5 \cdot (-1)^2 = -0,5$.
$y(4) = -0,5 \cdot 4^2 = -0,5 \cdot 16 = -8$.

Сравнивая значения $y(0)=0$, $y(-1)=-0,5$ и $y(4)=-8$, находим, что наименьшее значение равно $-8$.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение -8.

г) на луче (-∞; 2].

Наибольшее значение на этом луче достигается в вершине $x=0$, так как $0 \in (-\infty; 2]$.
$y_{наибольшее} = y(0) = 0$.

Для поиска наименьшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (-0,5x^2) = -\infty$.

Поскольку функция не ограничена снизу на данном луче, наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение 0; наименьшее значение не существует.

19.25 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$:

a) на интервале $(3; 6)$;

б) на отрезке $[-3; 0]$;

в) на открытом луче $(-\infty; 3)$;

г) на полуинтервале $[-1; 4)$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{1}{3}x^2$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Вершина параболы является точкой глобального минимума функции. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

а) на интервале (3; 6)

Данный интервал $(3; 6)$ полностью лежит на промежутке возрастания функции, так как все значения $x$ в этом интервале больше 0. Следовательно, для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) < y(x_2)$. Это означает, что значения функции на интервале $(3; 6)$ будут заключены между значениями функции на его концах.

Вычислим значения функции на границах интервала:

При $x = 3$: $y(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

При $x = 6$: $y(6) = \frac{1}{3} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$.

Поскольку интервал $(3; 6)$ является открытым (концы не включаются), функция стремится к этим значениям, но никогда их не достигает. Наименьшего значения на интервале нет, так как для любого значения $y(x)$ можно найти другое, еще меньшее, взяв $x$ ближе к 3. Аналогично, наибольшего значения нет, так как можно взять $x$ ближе к 6.

Ответ: Наименьшего и наибольшего значений на данном интервале нет.

б) на отрезке [-3; 0]

Данный отрезок $[-3; 0]$ полностью лежит на промежутке убывания функции, так как все значения $x$ в этом отрезке меньше или равны 0. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в точке $a$, а наименьшее — в точке $b$.

В нашем случае $a = -3$ и $b = 0$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

Наименьшее значение функции (в вершине параболы): $y_{наим} = y(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 3.

в) на открытом луче (-∞; 3)

Данный промежуток включает в себя точку минимума функции $x = 0$. Поскольку $(0;0)$ — это вершина параболы и точка глобального минимума, то наименьшее значение функции на любом промежутке, содержащем $x=0$, будет равно $y(0)$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$.

Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на границах луча. При $x \to 3$ слева, значение функции стремится к $y(3) = 3$. При $x \to -\infty$, значение $x^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y = \frac{1}{3}x^2 \to +\infty$. Так как функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшего значения нет.

г) на полуинтервале [-1; 4)

Данный промежуток $[-1; 4)$ также содержит точку минимума функции $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение функции достигается в этой точке: $y_{наим} = y(0) = 0$.

Для нахождения наибольшего значения нужно сравнить значения функции на концах промежутка. Поскольку парабола симметрична относительно оси $y$, наибольшее значение на отрезке, содержащем 0, будет достигаться на том конце, который дальше от 0.

Сравним расстояния от концов до нуля: $|-1| = 1$ и $|4| = 4$. Так как $4 > 1$, наибольшее значение будет достигаться при $x$, близком к 4.

Вычислим значения функции на концах:

$y(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{3}$.

Значение, к которому стремится функция при $x \to 4$: $y(4) = \frac{1}{3} \cdot 4^2 = \frac{16}{3}$.

Поскольку правая граница интервала $x=4$ не включена (интервал открыт справа), функция стремится к значению $\frac{16}{3}$, но никогда его не достигает. Таким образом, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшего значения нет.

19.26 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = x^2$ и $y = 2x;$

б) $y = -0,5x^2$ и $y = 2;$

в) $y = -3x^2$ и $y = -3x;$

г) $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = 3.$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 2x$, необходимо приравнять выражения для $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

$x^2 = 2x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любую из исходных функций (например, в $y = 2x$):

При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, точки пересечения графиков: $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

б) Найдем точки пересечения графиков функций $y = -0,5x^2$ и $y = 2$. Приравняем выражения для $y$:

$-0,5x^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на $-0,5$:

$x^2 = \frac{2}{-0,5}$

$x^2 = -4$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: точек пересечения нет.

в) Найдем точки пересечения графиков функций $y = -3x^2$ и $y = -3x$. Приравняем выражения для $y$:

$-3x^2 = -3x$

Перенесем все члены в левую часть и приравняем к нулю:

$-3x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $-3x$ за скобки:

$-3x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в функцию $y = -3x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = -3 \cdot 0 = 0$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = -3 \cdot 1 = -3$.

Таким образом, точки пересечения графиков: $(0, 0)$ и $(1, -3)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, -3)$.

г) Найдем точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = 3$. Приравняем выражения для $y$:

$\frac{1}{3}x^2 = 3$

Умножим обе части уравнения на 3:

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два корня:

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Из второго уравнения $y = 3$ следует, что для обеих точек пересечения ордината равна 3.

Таким образом, точки пересечения графиков: $(3, 3)$ и $(-3, 3)$.

Ответ: $(3, 3)$ и $(-3, 3)$.

Решите графически уравнение:

19.27 a) $x^2 = x + 2;$

б) $\frac{1}{2}x^2 = x + 4;$

в) $-3x^2 = 3x - 6;$

г) $-x^2 = 2x - 3.$

а) $x^2 = x + 2$

Для графического решения уравнения представим его в виде равенства двух функций: $y = x^2$ и $y = x + 2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

1. Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для параболы:

2. Построим график функции $y = x + 2$. Это прямая. Для построения найдем две точки.

Построим оба графика в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Найдем их координаты. Из таблиц и графиков видно, что точки пересечения это $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Абсциссы точек пересечения $x = -1$ и $x = 2$ являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1; 2.

б) $\frac{1}{2}x^2 = x + 4$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = x + 4$.

1. График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Она шире, чем парабола $y = x^2$.

Составим таблицу значений для параболы:

2. График функции $y = x + 4$ — прямая.

Найдем две точки для построения прямой:

Построив графики, видим, что они пересекаются в точках $(-2, 2)$ и $(4, 8)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: -2; 4.

в) $-3x^2 = 3x - 6$

Для удобства построения разделим обе части уравнения на 3: $-x^2 = x - 2$. Решения этого уравнения будут такими же, как у исходного. Построим графики функций $y = -x^2$ и $y = x - 2$.

1. График функции $y = -x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

Составим таблицу значений для параболы:

2. График функции $y = x - 2$ — прямая.

Найдем две точки для построения прямой:

Графики пересекаются в точках $(-2, -4)$ и $(1, -1)$. Абсциссы этих точек $x = -2$ и $x = 1$ являются решениями уравнения.

Ответ: -2; 1.

г) $-x^2 = 2x - 3$

Для решения уравнения построим графики функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$.

1. График функции $y = -x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

Составим таблицу значений для параболы:

2. График функции $y = 2x - 3$ — прямая.

Найдем две точки для построения прямой:

Построив графики, находим точки их пересечения: $(-3, -9)$ и $(1, -1)$. Абсциссы этих точек $x = -3$ и $x = 1$ являются решениями уравнения.

Ответ: -3; 1.

19.28 a) $5x^2 = 5x - 6;$

б) $-\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 2;$

в) $x^2 = -x - 8;$

г) $-0,5x^2 = 0,5x + 3.$

а)

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

$5x^2 = 5x - 6$

$5x^2 - 5x + 6 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=5$, $b=-5$, $c=6$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 25 - 120 = -95$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

б)

Исходное уравнение: $-\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 2$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-2$, чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при $x^2$.

$-\frac{1}{2}x^2 \cdot (-2) = (\frac{1}{2}x + 2) \cdot (-2)$

$x^2 = -x - 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид:

$x^2 + x + 4 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=4$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

в)

Переведем уравнение $x^2 = -x - 8$ к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть.

$x^2 + x + 8 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=8$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$

Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

г)

Исходное уравнение: $-0,5x^2 = 0,5x + 3$.

Умножим обе части уравнения на $-2$, чтобы избавиться от десятичных дробей и сделать коэффициент при $x^2$ положительным.

$-0,5x^2 \cdot (-2) = (0,5x + 3) \cdot (-2)$

$x^2 = -x - 6$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + x + 6 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=6$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

Решите графически систему уравнений:

19.29 а)$\begin{cases} y = 2x^2, \\ y = 2; \end{cases}$б)$\begin{cases} y = x^2, \\ y = 6; \end{cases}$в)$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2, \\ y = 2; \end{cases}$г)$\begin{cases} y = -x^2, \\ y = -5. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 2 \end{cases} $ графически, необходимо построить графики функций $y = 2x^2$ и $y = 2$ в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. График функции $y = 2x^2$ представляет собой параболу. Ее вершина находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Она является растянутой по вертикали в два раза по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.

2. График функции $y = 2$ представляет собой прямую, которая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и проходит через точку $(0, 2)$ на оси ординат ($Oy$).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Чтобы найти их точные координаты, подставим $y = 2$ в первое уравнение:
$2 = 2x^2$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(-1; 2), (1; 2)$.

б)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 6 \end{cases} $ графически, построим графики функций $y = x^2$ и $y = 6$.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = 6$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 6)$.

На графике мы видим, что парабола и прямая пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Найдем их координаты, приравняв правые части уравнений:
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$
Ордината в обеих точках равна 6.

Ответ: $(-\sqrt{6}; 6), (\sqrt{6}; 6)$.

в)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2 \\ y = 2 \end{cases} $ графически, построим графики указанных функций.

1. График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Она является сжатой по вертикали в два раза (или "более широкой") по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.

2. График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$.

Найдем точки пересечения, подставив $y=2$ в уравнение параболы:
$2 = \frac{1}{2}x^2$
$4 = x^2$
$x = \pm 2$
Координаты точек пересечения: $(2, 2)$ и $(-2, 2)$.

Ответ: $(-2; 2), (2; 2)$.

г)

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = -x^2 \\ y = -5 \end{cases} $ графически, построим графики этих функций.

1. График функции $y = -x^2$ — это парабола, симметричная стандартной параболе $y=x^2$ относительно оси $Ox$. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вниз.

2. График функции $y = -5$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдем их точные координаты:
$-x^2 = -5$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$
Ордината точек пересечения равна -5.

Ответ: $(-\sqrt{5}; -5), (\sqrt{5}; -5)$.

19.30 a) $\begin{cases} y = 2x^2, \\ y = 4x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2, \\ x + y + 6 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x^2, \\ y = -x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 2x^2, \\ y + 2x - 4 = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = 2x^2, \\ y = 4x. \end{cases} $

Для решения системы приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):

$2x^2 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

или

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя второе уравнение $y = 4x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 4 \cdot 0 = 0$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения графиков, которые и являются решениями системы: $(0, 0)$ и $(2, 8)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(2, 8)$.

б)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = -x^2, \\ x + y + 6 = 0. \end{cases} $

Для решения этой системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения ($y = -x^2$) во второе уравнение:

$x + (-x^2) + 6 = 0$

$-x^2 + x + 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = -x^2$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = -(3)^2 = -9$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2)^2 = -4$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(3, -9)$ и $(-2, -4)$.

Ответ: $(3, -9)$, $(-2, -4)$.

в)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = -\frac{1}{3}x^2, \\ y = -x. \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$-\frac{1}{3}x^2 = -x$

Умножим обе части уравнения на $-3$, чтобы избавиться от дроби и знака минус:

$x^2 = 3x$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = -x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = -0 = 0$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = -3$.

Решениями системы являются пары чисел $(0, 0)$ и $(3, -3)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, -3)$.

г)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = 2x^2, \\ y + 2x - 4 = 0. \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим $y = 2x^2$ из первого уравнения во второе:

$(2x^2) + 2x - 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Для упрощения разделим все его члены на 2:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.

$x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = 2x^2$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 2(1)^2 = 2$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(1, 2)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-2, 8)$.

19.31 a) $\begin{cases} y = \frac{1}{8}x^2, \\ y = \sqrt{x}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 0,5x^2, \\ y = |x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 3x^2, \\ y = -\sqrt{x}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = |x|, \\ y = \frac{1}{3}x^2. \end{cases}$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \sqrt{x}$, приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{8}x^2 = \sqrt{x}$

Область допустимых значений для $x$ определяется функцией $y = \sqrt{x}$, поэтому $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\frac{1}{8}x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$

$\frac{1}{64}x^4 = x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем $x$ за скобки:

$\frac{1}{64}x^4 - x = 0$

$x(\frac{1}{64}x^3 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два решения:

1) $x_1 = 0$

2) $\frac{1}{64}x^3 - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{64}x^3 = 1 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x_2 = 4$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Первая точка пересечения: $(0; 0)$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = \sqrt{4} = 2$. Вторая точка пересечения: $(4; 2)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(4; 2)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 0,5x^2$ и $y = |x|$, приравняем правые части уравнений:

$0,5x^2 = |x|$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$0,5x^2 = x$

$0,5x^2 - x = 0$

$x(0,5x - 1) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $0,5x - 1 = 0 \Rightarrow 0,5x = 1 \Rightarrow x_2 = 2$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$0,5x^2 = -x$

$0,5x^2 + x = 0$

$x(0,5x + 1) = 0$

Отсюда $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x < 0$) или $0,5x + 1 = 0 \Rightarrow 0,5x = -1 \Rightarrow x_4 = -2$.

Мы получили три значения для $x$: $-2, 0, 2$. Найдем соответствующие значения $y$:

При $x = -2$, $y = |-2| = 2$. Точка пересечения: $(-2; 2)$.

При $x = 0$, $y = |0| = 0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

При $x = 2$, $y = |2| = 2$. Точка пересечения: $(2; 2)$.

Ответ: $(-2; 2)$, $(0; 0)$, $(2; 2)$.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 3x^2$ и $y = -\sqrt{x}$, приравняем правые части уравнений:

$3x^2 = -\sqrt{x}$

Рассмотрим области значений функций. Для $y = -\sqrt{x}$, необходимо, чтобы $x \ge 0$, при этом сам $y$ будет принимать неположительные значения ($y \le 0$).

Для функции $y = 3x^2$, $y$ принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$).

Равенство $3x^2 = -\sqrt{x}$ возможно только в том случае, когда обе части равны нулю, так как одна часть неотрицательна, а другая неположительна.

$3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

$-\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$

Единственное решение — $x = 0$.

Найдем соответствующее значение $y$:

При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения: $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = \frac{1}{3}x^2$, приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{3}x^2 = |x|$

Рассмотрим два случая:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{3}x^2 = x$

$\frac{1}{3}x^2 - x = 0$

$x(\frac{1}{3}x - 1) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $\frac{1}{3}x - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = 1 \Rightarrow x_2 = 3$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{3}x^2 = -x$

$\frac{1}{3}x^2 + x = 0$

$x(\frac{1}{3}x + 1) = 0$

Отсюда $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x < 0$) или $\frac{1}{3}x + 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = -1 \Rightarrow x_4 = -3$.

Мы получили три значения для $x$: $-3, 0, 3$. Найдем соответствующие значения $y$:

При $x = -3$, $y = |-3| = 3$. Точка пересечения: $(-3; 3)$.

При $x = 0$, $y = |0| = 0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

При $x = 3$, $y = |3| = 3$. Точка пересечения: $(3; 3)$.

Ответ: $(-3; 3)$, $(0; 0)$, $(3; 3)$.