Страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

19.14 Постройте график функции $y = 0,5x^2$.

а) Найдите, при каких значениях $x$ значение функции равно $2$.

б) Выделите ту часть графика, которая соответствует условию $y < 2$. Найдите, при каких значениях $x$ выполняется это условие.

в) Укажите, при каких значениях $x$ выполняется условие $y > 2$.

г) Укажите, какие значения функции соответствуют условию $x \le -2$.

Для построения графика функции $y = 0,5x^2$ необходимо составить таблицу значений. Графиком данной функции является парабола, симметричная относительно оси $Oy$, с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

Составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы.

а) Найдем значения $x$, при которых значение функции равно 2. Для этого решим уравнение:

$0,5x^2 = 2$

Умножим обе части на 2:

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

На графике это точки пересечения параболы с горизонтальной прямой $y=2$.
Ответ: при $x = -2$ и $x = 2$.

б) Выделим часть графика, соответствующую условию $y < 2$, и найдем соответствующие значения $x$. Для этого решим неравенство:

$0,5x^2 < 2$

$x^2 < 4$

Решением этого неравенства является интервал $-2 < x < 2$.

На графике это часть параболы, расположенная ниже прямой $y=2$, между точками $(-2, 2)$ и $(2, 2)$, не включая сами точки.
Ответ: при $x \in (-2; 2)$.

в) Укажем значения $x$, при которых выполняется условие $y > 2$. Для этого решим неравенство:

$0,5x^2 > 2$

$x^2 > 4$

Решением этого неравенства является объединение двух интервалов: $x < -2$ или $x > 2$.

На графике это две части параболы (ветви), расположенные выше прямой $y=2$.
Ответ: при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

г) Укажем значения функции, которые соответствуют условию $x \le -2$.

Функция $y = 0,5x^2$ на промежутке $(-\infty; 0]$ является убывающей. Это значит, что для любого $x_1 < x_2 \le 0$ будет выполняться $y(x_1) > y(x_2)$.

Найдем значение функции на границе указанного промежутка, то есть при $x = -2$:

$y(-2) = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$.

Так как при $x \le -2$ мы рассматриваем значения $x$, которые меньше или равны -2, то соответствующие значения функции будут больше или равны значению в точке $x=-2$. То есть, $y \ge y(-2)$.

Следовательно, при $x \le -2$ значения функции будут $y \ge 2$.
Ответ: $y \ge 2$.

19.15 Используя график функции $y = -3x^2$, найдите:

а) при каких значениях $x$ $y = -3$;

б) при каких значениях $x$ $y > -3$; $y \le -3$.

Для решения задачи нам нужно проанализировать функцию $y = -3x^2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$.

а) при каких значениях x y = -3;

Чтобы найти значения $x$, при которых $y$ равно -3, необходимо решить уравнение. Подставим $y = -3$ в исходное уравнение функции:

$-3 = -3x^2$

Разделим обе части уравнения на -3:

$1 = x^2$

Из этого уравнения следует, что $x$ может принимать два значения:

$x_1 = \sqrt{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt{1} = -1$

Графически это означает, что горизонтальная прямая $y = -3$ пересекает параболу $y = -3x^2$ в двух точках, абсциссы которых равны -1 и 1.

Ответ: $x = -1; x = 1$.

б) при каких значениях x y > -3; y ≤ -3.

Сначала найдем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y > -3$.

Подставим выражение для $y$:

$-3x^2 > -3$

Разделим обе части неравенства на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 < 1$

Это неравенство справедливо для всех $x$, которые по модулю меньше 1. То есть:

$-1 < x < 1$

Графически это соответствует той части параболы, которая находится выше прямой $y = -3$. Эта часть расположена между точками пересечения, найденными в пункте а).

Теперь найдем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y \le -3$.

Подставим выражение для $y$:

$-3x^2 \le -3$

Снова разделим обе части на -3 и поменяем знак неравенства:

$x^2 \ge 1$

Это неравенство справедливо, когда $x$ по модулю больше или равен 1. Это можно записать в виде совокупности двух неравенств:

$x \ge 1$ или $x \le -1$

В виде промежутков это выглядит так: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Графически это соответствует тем частям параболы (ветвям), которые лежат на прямой $y = -3$ или ниже нее.

Ответ: $y > -3$ при $x \in (-1; 1)$; $y \le -3$ при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

19.16 Принадлежит ли графику функции $y = -220x^2$ точка:

а) A(1; -220);

б) B(4; -880);

в) C(-3; 1320);

г) D(1,5; -495)?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x; y)$ графику функции, необходимо подставить значение абсциссы $x$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение функции с ординатой точки $y$.

Уравнение функции: $y = -220x^2$.

а) A(1; -220)

Подставим координату $x = 1$ в уравнение функции:

$y = -220 \cdot (1)^2 = -220 \cdot 1 = -220$.

Полученное значение $y = -220$ совпадает с ординатой точки А. Следовательно, точка А принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(4; -880)

Подставим координату $x = 4$ в уравнение функции:

$y = -220 \cdot (4)^2 = -220 \cdot 16 = -3520$.

Полученное значение $y = -3520$ не совпадает с ординатой точки B ($-880$). Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) C(-3; 1320)

Подставим координату $x = -3$ в уравнение функции:

$y = -220 \cdot (-3)^2 = -220 \cdot 9 = -1980$.

Полученное значение $y = -1980$ не совпадает с ординатой точки C ($1320$). Следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) D(1,5; -495)

Подставим координату $x = 1,5$ в уравнение функции:

$y = -220 \cdot (1,5)^2 = -220 \cdot 2,25 = -495$.

Полученное значение $y = -495$ совпадает с ординатой точки D. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

19.17 Найдите коэффициент $k$ в уравнении параболы $y = kx^2$, зная, что парабола проходит через точку:

а) $M(2; 20);$

б) $N(-3; 27);$

в) $K(-1; 10);$

г) $L(4; -96).$

а) По условию парабола $y = kx^2$ проходит через точку $M(2; 20)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x = 2$ и $y = 20$ в уравнение:

$20 = k \cdot 2^2$

$20 = k \cdot 4$

Теперь найдем $k$, разделив обе части уравнения на 4:

$k = \frac{20}{4}$

$k = 5$

Ответ: $k = 5$.

б) Парабола проходит через точку $N(-3; 27)$. Подставим $x = -3$ и $y = 27$ в уравнение $y = kx^2$:

$27 = k \cdot (-3)^2$

$27 = k \cdot 9$

Найдем $k$:

$k = \frac{27}{9}$

$k = 3$

Ответ: $k = 3$.

в) Парабола проходит через точку $K(-1; 10)$. Подставим $x = -1$ и $y = 10$ в уравнение $y = kx^2$:

$10 = k \cdot (-1)^2$

$10 = k \cdot 1$

Отсюда следует, что $k = 10$.

Ответ: $k = 10$.

г) Парабола проходит через точку $L(4; -96)$. Подставим $x = 4$ и $y = -96$ в уравнение $y = kx^2$:

$-96 = k \cdot 4^2$

$-96 = k \cdot 16$

Найдем $k$:

$k = \frac{-96}{16}$

$k = -6$

Ответ: $k = -6$.

19.18 Напишите уравнение параболы $y = kx^2$, график которой изображён:

а) на рис. 9;

б) на рис. 10;

в) на рис. 11;

г) на рис. 12.

$y = x^2$

$y = -x^2$

$y = -\frac{1}{2}x^2$

$y = 2x^2$

а) на рис. 9;

Все параболы в задаче имеют вершину в начале координат, поэтому их уравнение имеет вид $y = kx^2$. Для нахождения коэффициента $k$ нужно выбрать на графике точку, через которую проходит парабола (отличную от вершины), и подставить её координаты в уравнение. Парабола на рисунке 9 проходит через точку с координатами $(2, 4)$. Подставим значения $x=2$ и $y=4$ в уравнение $y = kx^2$: $4 = k \cdot (2)^2$ $4 = k \cdot 4$ $k = \frac{4}{4} = 1$ Следовательно, уравнение этой параболы $y = x^2$.

Ответ: $y = x^2$

б) на рис. 10;

Ветви параболы направлены вниз, значит, коэффициент $k$ будет отрицательным. Парабола проходит через точку с координатами $(1, -3)$. Подставим значения $x=1$ и $y=-3$ в уравнение $y = kx^2$: $-3 = k \cdot (1)^2$ $-3 = k \cdot 1$ $k = -3$ Следовательно, уравнение этой параболы $y = -3x^2$.

Ответ: $y = -3x^2$

в) на рис. 11;

Ветви параболы направлены вниз, значит, коэффициент $k$ будет отрицательным. Парабола проходит через точку с координатами $(2, -2)$. Подставим значения $x=2$ и $y=-2$ в уравнение $y = kx^2$: $-2 = k \cdot (2)^2$ $-2 = k \cdot 4$ $k = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ Следовательно, уравнение этой параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$. Для проверки можно взять другую точку, например, $(4, -8)$: $-8 = -\frac{1}{2} \cdot 4^2 = -\frac{1}{2} \cdot 16 = -8$. Равенство верно.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x^2$

г) на рис. 12;

Ветви параболы направлены вверх, значит, коэффициент $k$ будет положительным. Парабола проходит через точку с координатами $(2, 8)$. Подставим значения $x=2$ и $y=8$ в уравнение $y = kx^2$: $8 = k \cdot (2)^2$ $8 = k \cdot 4$ $k = \frac{8}{4} = 2$ Следовательно, уравнение этой параболы $y = 2x^2$. Для проверки можно взять другую точку, например, $(1, 2)$: $2 = 2 \cdot 1^2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $y = 2x^2$

19.19 Выясните, является ли ограниченной снизу функция, график которой изображён на заданном рисунке, и если да, то найдите наименьшее значение функции:

а) рис. 13;

б) рис. 14;

в) рис. 15;

г) рис. 16.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит не ниже некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Наименьшее значение функции — это самое маленькое значение, которое функция принимает. На графике это ордината (координата $y$) самой низкой точки. Функция может быть ограничена снизу, но не иметь наименьшего значения, если она лишь стремится к своей точной нижней границе, но никогда ее не достигает.

а) рис. 13

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Самая низкая точка этого графика — вершина параболы с координатами $(2, -2)$. Все значения функции не меньше ординаты вершины, то есть $f(x) \ge -2$. Следовательно, функция ограничена снизу. Поскольку функция достигает этого значения в точке $x=2$, у нее есть наименьшее значение.
Ответ: Да, функция ограничена снизу. Наименьшее значение функции равно $-2$.

б) рис. 14

На рисунке изображен график прямой, который неограниченно уходит вниз. Это означает, что для любого числа $m$ можно найти такое значение $x$, что $f(x) < m$. Таким образом, не существует числа, которое ограничивало бы значения функции снизу.
Ответ: Нет, функция не является ограниченной снизу.

в) рис. 15

На рисунке изображен график функции, который приближается к горизонтальной прямой $y=1$ при $x \to +\infty$. Все точки графика лежат выше этой прямой, то есть $f(x) > 1$ для всех $x$ из области определения. Это значит, что функция ограничена снизу (например, числом 1). Однако, поскольку график лишь бесконечно приближается к прямой $y=1$, но не достигает ее, у функции нет наименьшего значения.
Ответ: Да, функция ограничена снизу, но наименьшего значения не имеет.

г) рис. 16

Из графика видно, что все его точки имеют ординату не меньше $-1$, то есть $f(x) \ge -1$. Это означает, что функция ограничена снизу. Также видно, что функция принимает значение $-1$ (например, для всех $x$ на лучах $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$). Следовательно, у функции есть наименьшее значение.
Ответ: Да, функция ограничена снизу. Наименьшее значение функции равно $-1$.