Страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2 Вычислите без помощи калькулятора $\sqrt{126736}$.

Для вычисления корня из числа $126736$ без калькулятора, будем использовать метод оценки и проверки.

Шаг 1: Оценка порядка числа.
Сначала определим, сколько знаков будет в искомом числе. Число $126736$ находится между $10000$ и $1000000$. Значит, его корень находится между $\sqrt{10000}=100$ и $\sqrt{1000000}=1000$. Следовательно, искомое число является трехзначным.
Теперь найдем первую цифру этого числа. Для этого оценим, между квадратами каких сотен находится наше число:
$300^2 = 90000$
$400^2 = 160000$
Поскольку $90000 < 126736 < 160000$, корень из $126736$ находится между $300$ и $400$. Таким образом, первая цифра искомого числа — это $3$.

Шаг 2: Определение последней цифры.
Последняя цифра квадрата числа зависит только от последней цифры самого числа. Число $126736$ оканчивается на $6$. Посмотрим, какие цифры при возведении в квадрат дают число, оканчивающееся на $6$:
$0^2 = 0$
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
$9^2 = 81$
Только $4$ и $6$ в квадрате дают число, оканчивающееся на $6$. Значит, последняя цифра нашего искомого корня — это $4$ или $6$.

Шаг 3: Уточнение и проверка.
Из шагов 1 и 2 мы знаем, что искомое число находится в диапазоне от $300$ до $400$ и оканчивается на $4$ или $6$.
Чтобы сузить поиск, возведем в квадрат число, находящееся примерно посередине нашего интервала, например, $350$.
$350^2 = (35 \times 10)^2 = 35^2 \times 100 = 1225 \times 100 = 122500$.
Сравним полученный результат с исходным числом: $122500 < 126736$. Это означает, что искомый корень больше $350$.
Таким образом, мы ищем число больше $350$, но меньше $400$, которое оканчивается на $4$ или $6$. Возможные варианты: $354, 356, 364, 366, \dots$.
Число $126736$ довольно близко к $122500$, поэтому начнем проверку с ближайших кандидатов. Проверим число $356$.
Вычислим $356^2$:
$356^2 = (350 + 6)^2 = 350^2 + 2 \times 350 \times 6 + 6^2 = 122500 + 700 \times 6 + 36 = 122500 + 4200 + 36 = 126736$.
Полученное значение в точности совпадает с подкоренным выражением.

Следовательно, $\sqrt{126736} = 356$.

Ответ: 356

3 Сравните числа $a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} - \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$ и $b = 5,5$.

Для того чтобы сравнить числа $a$ и $b$, необходимо сначала упростить выражение для числа $a$.

Дано выражение:

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} - \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(3 - 2\sqrt{2})$ и $(3 + 2\sqrt{2})$.

Найдем общий знаменатель, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1$

Теперь подставим общий знаменатель в исходное выражение для $a$:

$a = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} - \frac{1 \cdot (3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{(3 + 2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2})}{1}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$a = 3 + 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Итак, мы получили, что $a = 4\sqrt{2}$. Теперь сравним это число с $b = 5,5$.

Поскольку оба числа, $a = 4\sqrt{2}$ и $b = 5,5$, являются положительными, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства для чисел будет таким же, как и для их квадратов.

Возведем в квадрат число $a$:

$a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$

Возведем в квадрат число $b$:

$b^2 = (5,5)^2 = 30,25$

Теперь сравним полученные квадраты:

$32 > 30,25$

Так как $a^2 > b^2$ и оба числа положительны, то и $a > b$.

Ответ: $a > b$.

4 Упростите выражение:

а) $3\sqrt{27} + 5\sqrt{75} - 35\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{\frac{48x^7y^5}{3x^3y^{12}}}$, если $x > 0, y > 0$.

а) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{27} + 5\sqrt{75} - 35\sqrt{3}$, необходимо привести все слагаемые к одному виду. Для этого вынесем множители из-под знака корня там, где это возможно. Заметим, что подкоренные выражения 27 и 75 делятся на 3.

1. Упростим слагаемое $3\sqrt{27}$. Разложим 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$.
$3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 \cdot 3} = 3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

2. Упростим слагаемое $5\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
$5\sqrt{75} = 5\sqrt{25 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 25\sqrt{3}$.

3. Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:
$9\sqrt{3} + 25\sqrt{3} - 35\sqrt{3}$.

4. Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{3}$. Вынесем его за скобки и выполним действия с коэффициентами:
$(9 + 25 - 35)\sqrt{3} = (34 - 35)\sqrt{3} = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{48x^7y^5}}{\sqrt{3x^3y^{12}}}$, если $x > 0, y > 0$, воспользуемся свойством частного корней, которое гласит, что $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

1. Объединим выражение под один знак корня:
$\sqrt{\frac{48x^7y^5}{3x^3y^{12}}}$.

2. Упростим подкоренное выражение, разделив числитель на знаменатель. Выполним деление для коэффициентов и для переменных с одинаковыми основаниями (используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{48}{3} = 16$
$\frac{x^7}{x^3} = x^{7-3} = x^4$
$\frac{y^5}{y^{12}} = y^{5-12} = y^{-7} = \frac{1}{y^7}$

3. Подставим упрощенные части обратно в подкоренное выражение:
$\sqrt{16 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{y^7}} = \sqrt{\frac{16x^4}{y^7}}$.

4. Теперь извлечем квадратный корень. Чтобы знаменатель стал полным квадратом, домножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на $y$:
$\sqrt{\frac{16x^4 \cdot y}{y^7 \cdot y}} = \sqrt{\frac{16x^4y}{y^8}}$.

5. Извлечем корень из числителя и знаменателя. Так как по условию $x > 0$ и $y > 0$, модули при извлечении корня из четных степеней можно опустить:
$\frac{\sqrt{16x^4y}}{\sqrt{y^8}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y^8}} = \frac{4x^2\sqrt{y}}{y^4}$.

Ответ: $\frac{4x^2\sqrt{y}}{y^4}$

5 Сократите дробь:

a) $\frac{m\sqrt{m}+n\sqrt{n}+m\sqrt{n}+n\sqrt{m}}{m\sqrt{m}-n\sqrt{n}+m\sqrt{n}-n\sqrt{m}}$;

б) $\frac{9x+24\sqrt{xy}+16y}{\sqrt{9x^5}+\sqrt{16x^4y}}$.

a) Исходная дробь:

$$ \frac{m\sqrt{m} + n\sqrt{n} + m\sqrt{n} + n\sqrt{m}}{m\sqrt{m} - n\sqrt{n} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m}} $$

Для сокращения дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель. Для этого сгруппируем слагаемые.

Преобразуем числитель:

$m\sqrt{m} + n\sqrt{n} + m\sqrt{n} + n\sqrt{m} = (m\sqrt{m} + n\sqrt{m}) + (m\sqrt{n} + n\sqrt{n})$

Вынесем общие множители $\sqrt{m}$ и $\sqrt{n}$ за скобки:

$\sqrt{m}(m+n) + \sqrt{n}(m+n) = (m+n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})$

Преобразуем знаменатель:

$m\sqrt{m} - n\sqrt{n} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m} = (m\sqrt{m} - n\sqrt{m}) + (m\sqrt{n} - n\sqrt{n})$

Вынесем общие множители $\sqrt{m}$ и $\sqrt{n}$ за скобки:

$\sqrt{m}(m-n) + \sqrt{n}(m-n) = (m-n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{(m+n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{(m-n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{m}+\sqrt{n})$, при условии, что $m \ge 0$, $n \ge 0$ и они не равны нулю одновременно, а также $m \ne n$ (из знаменателя).

$$ \frac{m+n}{m-n} $$

Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$

б) Исходная дробь:

$$ \frac{9x + 24\sqrt{xy} + 16y}{\sqrt{9x^5} + \sqrt{16x^4y}} $$

Область допустимых значений определяется условиями: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю, что означает $x \ne 0$. Таким образом, $x > 0$ и $y \ge 0$.

Преобразуем числитель. Он является полным квадратом суммы, так как $9x = (3\sqrt{x})^2$, $16y = (4\sqrt{y})^2$, а $24\sqrt{xy} = 2 \cdot (3\sqrt{x}) \cdot (4\sqrt{y})$.

$9x + 24\sqrt{xy} + 16y = (3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})^2$

Преобразуем знаменатель. Упростим каждый член, вынося множители из-под знака корня:

$\sqrt{9x^5} = \sqrt{9 \cdot x^4 \cdot x} = 3x^2\sqrt{x}$

$\sqrt{16x^4y} = \sqrt{16 \cdot x^4 \cdot y} = 4x^2\sqrt{y}$

Знаменатель примет вид:

$3x^2\sqrt{x} + 4x^2\sqrt{y} = x^2(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$$ \frac{(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})^2}{x^2(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})$:

$$ \frac{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}{x^2} $$

Ответ: $\frac{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}{x^2}$

6 Постройте график функции и найдите её наименьшее и наибольшее значения на отрезке [4; 7]:

a) $y = -\sqrt{x};$

б) $y = |x|.$

а)

Сначала построим график функции $y = -\sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. График является ветвью параболы, которая симметрична графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (Ox) и расположена в четвертой координатной четверти. Функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений на отрезке $[4; 7]$ воспользуемся свойством монотонности. Поскольку функция убывает, ее наибольшее значение на отрезке будет достигаться в левой границе (при $x=4$), а наименьшее — в правой границе (при $x=7$).

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y(4) = -\sqrt{4} = -2$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y(7) = -\sqrt{7}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[4; 7]$ равно $-\sqrt{7}$, а наибольшее значение равно $-2$.

б)

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Это график, имеющий V-образную форму.

На отрезке $[4; 7]$ переменная $x$ принимает только положительные значения. Следовательно, на этом отрезке мы можем раскрыть модуль со знаком плюс, и функция будет иметь вид $y = x$.

Функция $y = x$ является монотонно возрастающей. Поэтому на отрезке $[4; 7]$ она достигает своего наименьшего значения в левой границе (при $x=4$), а наибольшего — в правой границе (при $x=7$).

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y(4) = |4| = 4$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y(7) = |7| = 7$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[4; 7]$ равно $4$, а наибольшее значение равно $7$.

7 Решите графически уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.

Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 2-x$ графически, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 2-x$. Абсцисса (координата $x$) точки их пересечения будет являться решением данного уравнения.

1. Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Это стандартная функция квадратного корня. Ее график — ветвь параболы, симметричная оси $Ox$. Область определения функции — $x \ge 0$.

Составим таблицу ключевых точек для построения графика:

2. Построение графика функции $y = 2-x$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 2-0 = 2$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 2)$.
• При $y=0$, $0 = 2-x$, откуда $x=2$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(2, 0)$.

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной декартовой системе координат. График $y = \sqrt{x}$ выходит из начала координат $(0,0)$ и плавно поднимается вверх. График $y = 2-x$ — это прямая, проходящая через точки $(0,2)$ и $(2,0)$.

Наблюдая за графиками, мы видим, что они пересекаются в одной точке. По таблицам значений, которые мы составили, можно заметить, что точка $(1, 1)$ принадлежит обоим графикам:

• Проверка для $y = \sqrt{x}$: при $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$.
• Проверка для $y = 2-x$: при $x=1$, $y = 2-1 = 1$.

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(1, 1)$.

Решением уравнения является абсцисса этой точки.

Для подтверждения единственности решения можно провести аналитическую проверку. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая область допустимых значений ($x \ge 0$ и $2-x \ge 0 \implies x \le 2$, т.е. $x \in [0, 2]$):

$(\sqrt{x})^2 = (2-x)^2$

$x = 4 - 4x + x^2$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, является посторонним. Корень $x_1 = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x=1$.

8. Упростите выражение $\left( \frac{\sqrt{a}}{b - \sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}} \right) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$.

Для упрощения данного выражения $ (\frac{\sqrt{a}}{b - \sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}}) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} $ выполним действия по шагам. Сначала преобразуем сумму в скобках, определив область допустимых значений: $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$.

Рассмотрим знаменатели дробей в скобках. Вынесем в них общие множители за скобки, используя то, что $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$:

$b - \sqrt{ab} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b} - \sqrt{a})$

$a - \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$

Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение в скобках:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - \sqrt{a})} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Заметим, что $(\sqrt{b} - \sqrt{a}) = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})$. Используем это для приведения к общему знаменателю. Изменим знак у первой дроби:

$-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$\frac{-\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{-a + b}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{b-a}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Разложим числитель $b-a$ по формуле разности квадратов: $b-a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$. Так как $(\sqrt{b} - \sqrt{a}) = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})$, то $b-a = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Подставим это в нашу дробь и сократим:

$\frac{-(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = -\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним умножение:

$\left(-\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$

Сокращаем одинаковые множители $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ и $\sqrt{ab}$ в числителе и знаменателе, в результате чего получаем:

$-1$

Ответ: -1

9. Упростите выражение

$\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 8x + 16}$, если $\sqrt{7} < x < \sqrt{15}$.

Для упрощения данного выражения необходимо сначала преобразовать подкоренные выражения, а затем использовать свойство квадратного корня и заданное условие для раскрытия модулей.

1. Рассмотрим выражения под знаками корня. Они представляют собой полные квадраты разности, которые можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Для первого слагаемого: $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

Для второго слагаемого: $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

2. Подставим свернутые выражения обратно в исходное:

$\sqrt{(x-2)^2} + \sqrt{(x-4)^2}$

3. Воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Выражение примет вид:

$|x-2| + |x-4|$

4. Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая заданное условие $\sqrt{7} < x < \sqrt{15}$.

Оценим знак выражения в первом модуле, $x-2$. Сравним $x$ с числом 2. Так как $2 = \sqrt{4}$, а по условию $x > \sqrt{7}$, то очевидно, что $x > 2$. Следовательно, выражение $x-2$ положительно, и $|x-2| = x-2$.

Оценим знак выражения во втором модуле, $x-4$. Сравним $x$ с числом 4. Так как $4 = \sqrt{16}$, а по условию $x < \sqrt{15}$, то очевидно, что $x < 4$. Следовательно, выражение $x-4$ отрицательно, и $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.

5. Подставим полученные значения в выражение с модулями:

$(x-2) + (4-x)$

6. Упростим полученное выражение:

$x - 2 + 4 - x = (x-x) + (4-2) = 2$

Ответ: 2

10 Значение переменной $n$ случайно выбирают среди чисел 0, 1, 2, ..., 8, 9. Какова вероятность того, что при этом значение выражения $\sqrt{n}$ будет целым?

По условию задачи, значение переменной $n$ выбирается случайным образом из множества целых чисел от 0 до 9 включительно. Это числа: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{M}{N}$, где $N$ – общее число всех равновозможных исходов, а $M$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала определим общее число возможных исходов $N$. Так как переменная $n$ выбирается из 10 чисел (от 0 до 9), то общее число исходов равно 10. $N = 10$.

Далее определим число благоприятных исходов $M$. Благоприятным исходом является выбор такого значения $n$, при котором значение выражения $\sqrt{n}$ будет целым числом. Это происходит, когда число $n$ является полным квадратом.

Найдем все полные квадраты среди чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:

• При $n = 0$, $\sqrt{0} = 0$ (целое число).
• При $n = 1$, $\sqrt{1} = 1$ (целое число).
• При $n = 2$, $\sqrt{2}$ не является целым числом.
• При $n = 3$, $\sqrt{3}$ не является целым числом.
• При $n = 4$, $\sqrt{4} = 2$ (целое число).
• При $n = 5$, $\sqrt{5}$ не является целым числом.
• При $n = 6$, $\sqrt{6}$ не является целым числом.
• При $n = 7$, $\sqrt{7}$ не является целым числом.
• При $n = 8$, $\sqrt{8}$ не является целым числом.
• При $n = 9$, $\sqrt{9} = 3$ (целое число).

Таким образом, благоприятными являются 4 исхода: $n=0$, $n=1$, $n=4$, $n=9$. Следовательно, $M = 4$.

Теперь можем вычислить искомую вероятность: $P = \frac{M}{N} = \frac{4}{10} = 0,4$.

Ответ: 0,4