Страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Вычислите:

17.1 а) $|6|;$

б) $|-2|;$

в) $|-4|;$

г) $|25|.$

а) Требуется вычислить значение выражения $|6|$.

Модуль числа (или абсолютная величина) — это его значение без учета знака. Для любого неотрицательного числа $a$ (то есть $a \ge 0$) его модуль равен самому числу: $|a| = a$. Геометрически модуль можно представить как расстояние от точки, обозначающей число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля).

Так как число 6 является положительным ($6 > 0$), его модуль равен самому числу.

Следовательно, $|6| = 6$.

Ответ: 6

б) Требуется вычислить значение выражения $|-2|$.

Модуль отрицательного числа $a$ (то есть $a < 0$) равен противоположному ему положительному числу: $|a| = -a$. Расстояние на числовой прямой не может быть отрицательным, поэтому модуль любого ненулевого числа всегда положителен.

Число -2 является отрицательным ($-2 < 0$). Поэтому его модуль равен числу, ему противоположному.

Противоположным для -2 является число $-(-2) = 2$.

Таким образом, $|-2| = 2$.

Ответ: 2

в) Требуется вычислить значение выражения $|-4|$.

Для вычисления модуля отрицательного числа необходимо взять это число с противоположным знаком. Это следует из формального определения модуля: если $a < 0$, то $|a| = -a$.

В данном случае мы имеем число -4, которое является отрицательным ($-4 < 0$). Применяя правило, получаем:

$|-4| = -(-4) = 4$.

Таким образом, модуль числа -4 равен 4.

Ответ: 4

г) Требуется вычислить значение выражения $|25|$.

В этом случае, как и в пункте а), мы имеем дело с положительным числом. Модуль любого положительного числа равен самому этому числу.

Число 25 является положительным ($25 > 0$), поэтому его модуль равен 25.

$|25| = 25$.

Ответ: 25

17.2 а) $|-2.56|;$
б) $|1.7|;$
в) $|5.09|;$
г) $|-3.75|.$

В этой задаче требуется найти модуль (абсолютную величину) указанных чисел. Модуль числа — это его значение без учета знака. Геометрически модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль всегда является неотрицательным числом.

Определение модуля числа $a$:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$ (модуль положительного числа или нуля равен самому числу).
• $|a| = -a$, если $a < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу).

а)

Нужно найти $|-2,56|$.

Число -2,56 является отрицательным. Согласно определению модуля, для отрицательного числа $a$, его модуль $|a|$ равен $-a$.

Следовательно, $|-2,56| = -(-2,56) = 2,56$.

Ответ: 2,56

б)

Нужно найти $|1,7|$.

Число 1,7 является положительным. Согласно определению модуля, для положительного числа $a$, его модуль $|a|$ равен $a$.

Следовательно, $|1,7| = 1,7$.

Ответ: 1,7

в)

Нужно найти $|5,09|$.

Число 5,09 является положительным. Согласно определению модуля, для положительного числа $a$, его модуль $|a|$ равен $a$.

Следовательно, $|5,09| = 5,09$.

Ответ: 5,09

г)

Нужно найти $|-3,75|$.

Число -3,75 является отрицательным. Согласно определению модуля, для отрицательного числа $a$, его модуль $|a|$ равен $-a$.

Следовательно, $|-3,75| = -(-3,75) = 3,75$.

Ответ: 3,75

17.3 a) $\left| \sqrt{2} - 1 \right|$;

б) $\left| \sqrt{3} - 5 \right|$;

в) $\left| \sqrt{8} - 4 \right|$;

г) $\left| \sqrt{5} - 2 \right|$.

а) $|\sqrt{2} - 1|$

По определению, модуль числа $|x|$ равен самому числу $x$, если $x$ неотрицательно ($x \ge 0$), и равен противоположному числу $-x$, если $x$ отрицательно ($x < 0$). Чтобы раскрыть модуль в данном выражении, нам нужно определить знак подмодульного выражения $\sqrt{2} - 1$. Для этого сравним числа $\sqrt{2}$ и $1$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $1^2 = 1$. Поскольку $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > 1$. Следовательно, разность $\sqrt{2} - 1$ является положительным числом. Значит, модуль этого выражения равен самому выражению.

$|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

б) $|\sqrt{3} - 5|$

Определим знак выражения $\sqrt{3} - 5$, стоящего под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $5$. Для этого возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $5^2 = 25$. Так как $3 < 25$, то $\sqrt{3} < 5$. Следовательно, разность $\sqrt{3} - 5$ является отрицательным числом. По определению модуля для отрицательного числа, мы должны взять противоположное ему выражение:

$|\sqrt{3} - 5| = -(\sqrt{3} - 5) = -\sqrt{3} + 5 = 5 - \sqrt{3}$.

Ответ: $5 - \sqrt{3}$.

в) $|\sqrt{8} - 4|$

Определим знак выражения $\sqrt{8} - 4$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{8}$ и $4$: $(\sqrt{8})^2 = 8$ и $4^2 = 16$. Так как $8 < 16$, то $\sqrt{8} < 4$. Следовательно, разность $\sqrt{8} - 4$ отрицательна. Раскрывая модуль, меняем знак выражения на противоположный:

$|\sqrt{8} - 4| = -(\sqrt{8} - 4) = 4 - \sqrt{8}$.

Для упрощения ответа вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, окончательный ответ: $4 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $4 - 2\sqrt{2}$.

г) $|\sqrt{5} - 2|$

Определим знак выражения $\sqrt{5} - 2$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{5}$ и $2$: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Следовательно, разность $\sqrt{5} - 2$ положительна. Для неотрицательного числа модуль равен самому числу:

$|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.

Ответ: $\sqrt{5} - 2$.

17.4 a) $|9|^2$;

б) $|-2|^2$;

в) $|-5|^2$;

г) $|8|^2$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $|9|^2$, необходимо сначала найти модуль (абсолютную величину) числа 9. Модуль положительного числа равен самому числу.

$|9| = 9$

Затем нужно возвести полученный результат в квадрат:

$9^2 = 9 \times 9 = 81$

Таким образом, $|9|^2 = 81$.

Ответ: 81

б)

Чтобы вычислить значение выражения $|-2|^2$, сначала найдем модуль числа -2. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$|-2| = 2$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$2^2 = 2 \times 2 = 4$

Также можно воспользоваться свойством, что квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: $|a|^2 = a^2$.

$|-2|^2 = (-2)^2 = 4$

Ответ: 4

в)

Чтобы вычислить значение выражения $|-5|^2$, сначала найдем модуль числа -5. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$|-5| = 5$

Далее возводим полученное значение в квадрат:

$5^2 = 5 \times 5 = 25$

Используя свойство $|a|^2 = a^2$, получаем тот же результат:

$|-5|^2 = (-5)^2 = 25$

Ответ: 25

г)

Чтобы вычислить значение выражения $|8|^2$, найдем модуль числа 8. Модуль положительного числа равен самому числу.

$|8| = 8$

Затем возведем результат в квадрат:

$8^2 = 8 \times 8 = 64$

Таким образом, $|8|^2 = 64$.

Ответ: 64

17.5 Верно ли равенство:

а) $|3| = |-3|;$

б) $|-2| = |2|;$

в) $|-7| = |7|;$

г) $|-10| = -|10|?$

Для решения данной задачи необходимо использовать определение модуля (абсолютной величины) числа. Модуль числа — это неотрицательное число, которое показывает расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, а модуль нуля равен нулю.

Формально определение модуля выглядит так:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Проверим каждое из предложенных равенств, вычисляя значения левой и правой частей.

а) $|3| = |-3|$

Вычислим значение левой части равенства. Так как 3 — положительное число, то $|3| = 3$.

Вычислим значение правой части равенства. Так как -3 — отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу: $|-3| = -(-3) = 3$.

Сравниваем полученные значения: $3 = 3$. Равенство является верным.

Ответ: да, верно.

б) $-|2| = |2|$

Вычислим значение левой части равенства. Сначала находим модуль числа 2: $|2| = 2$. Затем применяем знак минус, который стоит перед модулем: $-|2| = -2$.

Вычислим значение правой части равенства: $|2| = 2$.

Сравниваем полученные значения: $-2 = 2$. Равенство является неверным.

Ответ: нет, неверно.

в) $|-7| = |7|$

Вычислим значение левой части равенства. Модуль отрицательного числа -7 равен $|-7| = 7$.

Вычислим значение правой части равенства. Модуль положительного числа 7 равен $|7| = 7$.

Сравниваем полученные значения: $7 = 7$. Равенство является верным.

Ответ: да, верно.

г) $|-10| = -|10|$

Вычислим значение левой части равенства. Модуль отрицательного числа -10 равен $|-10| = 10$.

Вычислим значение правой части равенства. Сначала находим модуль числа 10: $|10| = 10$. Затем применяем знак минус перед модулем: $-|10| = -10$.

Сравниваем полученные значения: $10 = -10$. Равенство является неверным, так как модуль числа (в левой части) всегда неотрицателен, а в правой части стоит отрицательное число.

Ответ: нет, неверно.

Найдите значение выражения:

17.6 а) $|a| + 3$ при $a = 7$;

б) $|b| + \sqrt{3}$ при $b = -\sqrt{3}$;

в) $|b| - 2$ при $b = 0$;

г) $\sqrt{2} - |d|$ при $d = -\sqrt{2}$.

а) Чтобы найти значение выражения $|a| + 3$ при $a = 7$, необходимо подставить данное значение $a$ в выражение.

Получаем: $|7| + 3$.

Модуль (абсолютная величина) положительного числа равен самому этому числу, следовательно, $|7| = 7$.

Выполняем сложение: $7 + 3 = 10$.

Ответ: 10

б) Чтобы найти значение выражения $|b| + \sqrt{3}$ при $b = -\sqrt{3}$, подставим значение $b$ в выражение.

Получаем: $|-\sqrt{3}| + \sqrt{3}$.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, следовательно, $|-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.

Выполняем сложение: $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$

в) Чтобы найти значение выражения $|b| - 2$ при $b = 0$, подставим значение $b$ в выражение.

Получаем: $|0| - 2$.

Модуль нуля равен нулю, следовательно, $|0| = 0$.

Выполняем вычитание: $0 - 2 = -2$.

Ответ: -2

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{2} - |d|$ при $d = -\sqrt{2}$, подставим значение $d$ в выражение.

Получаем: $\sqrt{2} - |-\sqrt{2}|$.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, следовательно, $|-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.

Выполняем вычитание: $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.

Ответ: 0

17.7 а) $|a| + 1$ при $a = \sqrt{2} - 1;$

б) $|a| + 2$ при $a = 2 - \sqrt{5};$

в) $\sqrt{3} - |a|$ при $a = \sqrt{3} - 1;$

г) $|a| - \sqrt{3}$ при $a = \sqrt{3} - 2.$

а) $|a| + 1$ при $a = \sqrt{2} - 1$

Чтобы найти значение выражения, сначала нужно раскрыть модуль. Для этого определим знак подмодульного выражения $a = \sqrt{2} - 1$.
Известно, что $\sqrt{2} \approx 1.414$. Также можно сравнить квадраты чисел: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $1^2 = 1$. Поскольку $2 > 1$, то $\sqrt{2} > 1$.
Следовательно, разность $\sqrt{2} - 1$ является положительным числом, то есть $a > 0$.
По определению модуля, если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Значит, $|a| = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$|a| + 1 = (\sqrt{2} - 1) + 1 = \sqrt{2} - 1 + 1 = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) $|a| + 2$ при $a = 2 - \sqrt{5}$

Определим знак выражения $a = 2 - \sqrt{5}$.
Сравним числа 2 и $\sqrt{5}$. Для этого сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом, то есть $a < 0$.
По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$. Значит, $|a| = |2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$|a| + 2 = (\sqrt{5} - 2) + 2 = \sqrt{5} - 2 + 2 = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

в) $\sqrt{3} - |a|$ при $a = \sqrt{3} - 1$

Определим знак выражения $a = \sqrt{3} - 1$.
Сравним числа $\sqrt{3}$ и 1. Сравним их квадраты: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $1^2 = 1$.
Поскольку $3 > 1$, то $\sqrt{3} > 1$.
Следовательно, разность $\sqrt{3} - 1$ является положительным числом, то есть $a > 0$.
По определению модуля, $|a| = a$. Значит, $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\sqrt{3} - |a| = \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 1$.

Ответ: $1$

г) $|a| - \sqrt{3}$ при $a = \sqrt{3} - 2$

Определим знак выражения $a = \sqrt{3} - 2$.
Сравним числа $\sqrt{3}$ и 2. Сравним их квадраты: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$.
Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$.
Следовательно, разность $\sqrt{3} - 2$ является отрицательным числом, то есть $a < 0$.
По определению модуля, $|a| = -a$. Значит, $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$|a| - \sqrt{3} = (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2 - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2 - 2\sqrt{3}$

17.8 а) $|a| + |b|$ при $a = 1 - \sqrt{2}, b = 3 - \sqrt{2}$;

б) $|x + y|$ при $x = 2\sqrt{7} - 5, y = \sqrt{7} - 3$;

в) $|t| - |z|$ при $t = 2 - \sqrt{5}, z = \sqrt{5} - 1$;

г) $|z - t|$ при $z = 2\sqrt{3} - 3, t = 2 - \sqrt{3}$.

а) Найдем значение выражения $|a| + |b|$ при $a = 1 - \sqrt{2}$ и $b = 3 - \sqrt{2}$.
Сначала определим знаки чисел $a$ и $b$, чтобы раскрыть модули.
Для числа $a = 1 - \sqrt{2}$: сравним 1 и $\sqrt{2}$. Так как $1^2 = 1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $1 < \sqrt{2}$, а значит, $1 - \sqrt{2} < 0$.
Следовательно, $|a| = |1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.
Для числа $b = 3 - \sqrt{2}$: сравним 3 и $\sqrt{2}$. Так как $3^2 = 9$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $3 > \sqrt{2}$, а значит, $3 - \sqrt{2} > 0$.
Следовательно, $|b| = |3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}$.
Теперь вычислим сумму модулей:
$|a| + |b| = (\sqrt{2} - 1) + (3 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 + 3 - \sqrt{2} = 2$.
Ответ: 2.

б) Найдем значение выражения $|x + y|$ при $x = 2\sqrt{7} - 5$ и $y = \sqrt{7} - 3$.
Сначала найдем сумму $x + y$:
$x + y = (2\sqrt{7} - 5) + (\sqrt{7} - 3) = 2\sqrt{7} + \sqrt{7} - 5 - 3 = 3\sqrt{7} - 8$.
Теперь найдем модуль полученного выражения: $|x + y| = |3\sqrt{7} - 8|$.
Для этого определим знак выражения $3\sqrt{7} - 8$. Сравним $3\sqrt{7}$ и $8$, возведя их в квадрат:
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
$8^2 = 64$.
Поскольку $63 < 64$, то $3\sqrt{7} < 8$, и, следовательно, $3\sqrt{7} - 8 < 0$.
Значит, $|3\sqrt{7} - 8| = -(3\sqrt{7} - 8) = 8 - 3\sqrt{7}$.
Ответ: $8 - 3\sqrt{7}$.

в) Найдем значение выражения $|t| - |z|$ при $t = 2 - \sqrt{5}$ и $z = \sqrt{5} - 1$.
Сначала определим значения $|t|$ и $|z|$.
Для $t = 2 - \sqrt{5}$: сравним 2 и $\sqrt{5}$. $2^2 = 4$, $(\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$, следовательно, $2 - \sqrt{5} < 0$.
Значит, $|t| = |2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$.
Для $z = \sqrt{5} - 1$: сравним $\sqrt{5}$ и 1. $(\sqrt{5})^2 = 5$, $1^2 = 1$. Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > 1$, следовательно, $\sqrt{5} - 1 > 0$.
Значит, $|z| = |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$.
Теперь найдем разность модулей:
$|t| - |z| = (\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5} + 1 = -1$.
Ответ: -1.

г) Найдем значение выражения $|z - t|$ при $z = 2\sqrt{3} - 3$ и $t = 2 - \sqrt{3}$.
Сначала найдем разность $z - t$:
$z - t = (2\sqrt{3} - 3) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3 - 2 + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 5$.
Теперь найдем модуль этого выражения: $|z - t| = |3\sqrt{3} - 5|$.
Определим знак выражения $3\sqrt{3} - 5$. Сравним $3\sqrt{3}$ и $5$, возведя их в квадрат:
$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
$5^2 = 25$.
Поскольку $27 > 25$, то $3\sqrt{3} > 5$, и, следовательно, $3\sqrt{3} - 5 > 0$.
Значит, $|3\sqrt{3} - 5| = 3\sqrt{3} - 5$.
Ответ: $3\sqrt{3} - 5$.