Страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.87 a) Докажите, что $(1 - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = 1 - \sqrt{2}$?

б) Докажите, что $(\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$?

а)

Сначала докажем, что $(1 - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 1$ и $b = \sqrt{2}$.
$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Равенство доказано.

Теперь ответим на вопрос: можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = 1 - \sqrt{2}$?
По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ (обозначается $\sqrt{x}$) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$.
Оценим знак выражения в правой части равенства: $1 - \sqrt{2}$.
Мы знаем, что $\sqrt{1} = 1$ и $\sqrt{4} = 2$. Так как $1 < 2 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $1 < \sqrt{2}$.
Следовательно, разность $1 - \sqrt{2}$ является отрицательным числом: $1 - \sqrt{2} < 0$.
Левая часть равенства, $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$, является арифметическим квадратным корнем и, по определению, не может быть отрицательной. Правая часть, $1 - \sqrt{2}$, отрицательна. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: Нет, утверждать нельзя, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом, а выражение $1 - \sqrt{2}$ отрицательно.

б)

Докажем, что $(\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Снова используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{2}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Равенство доказано.

Теперь ответим на вопрос: можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$?
Мы доказали, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$. Значит, $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2}$.
По свойству корней, $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, $\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{2} - 1$. Так как $\sqrt{2} > 1$, разность $\sqrt{2} - 1$ является положительным числом: $\sqrt{2} - 1 > 0$.
Поскольку выражение $\sqrt{2} - 1$ положительно, его модуль равен самому выражению: $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.
Таким образом, $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$. Это утверждение верно, так как и левая, и правая части равенства являются положительными числами.

Ответ: Да, утверждать можно, так как подкоренное выражение $3 - 2\sqrt{2}$ равно $(\sqrt{2}-1)^2$, а само выражение $\sqrt{2}-1$ является положительным, что соответствует определению арифметического квадратного корня.

16.88 Верно ли равенство? Ответ объясните.

a) $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 5;$

б) $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = 5 - \sqrt{3}.$

Чтобы проверить верность равенств, необходимо либо упростить левую часть, либо возвести обе части в квадрат, предварительно убедившись в их неотрицательности.

а) Проверим равенство $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 5$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) является неотрицательным числом. Следовательно, значение выражения в левой части, $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}$, должно быть больше или равно нулю.
Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{3} - 5$. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $5$. Для этого сравним их квадраты:
$(\sqrt{3})^2 = 3$
$5^2 = 25$
Поскольку $3 < 25$, то $\sqrt{3} < 5$.
Следовательно, разность $\sqrt{3} - 5$ является отрицательным числом.
Левая часть равенства — неотрицательное число, а правая — отрицательное. Равенство не может быть верным.

Ответ: равенство неверно.

б) Проверим равенство $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = 5 - \sqrt{3}$.

Как и в предыдущем пункте, левая часть $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}$ является неотрицательным числом.
Проверим знак правой части $5 - \sqrt{3}$. Мы уже установили, что $5 > \sqrt{3}$, поэтому разность $5 - \sqrt{3}$ является положительным числом.
Поскольку обе части равенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Если квадраты левой и правой частей равны, то и исходное равенство верно.
Квадрат левой части:
$(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}})^2 = 28 - 10\sqrt{3}$.
Квадрат правой части (используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$):
$(5 - \sqrt{3})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 - 10\sqrt{3} + 3 = 28 - 10\sqrt{3}$.
Так как квадраты обеих частей равны ($28 - 10\sqrt{3} = 28 - 10\sqrt{3}$) и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

Докажите тождество:

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} + \frac{2a}{a - b} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}};

б) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{ab}}{b - a} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}.$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} + \frac{2a}{a - b} $
Заметим, что знаменатель второй дроби $ \sqrt{b} - \sqrt{a} = -(\sqrt{a} - \sqrt{b}) $. Знаменатель третьей дроби можно разложить по формуле разности квадратов: $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $.
Преобразуем выражение, вынеся минус из знаменателя второй дроби:
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{2a}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $
Общий знаменатель для всех трех дробей — $ a - b $. Приведем их к этому знаменателю:
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{2a}{a - b} $
Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - 2\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + 2a}{a - b} = \frac{\sqrt{ab} - b - 2a - 2\sqrt{ab} + 2a}{a - b} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-b - \sqrt{ab}}{a - b} $
Вынесем минус из числителя и знаменателя, поменяв в знаменателе $ a - b $ на $ b - a $:
$ \frac{-(b + \sqrt{ab})}{-(b - a)} = \frac{b + \sqrt{ab}}{b - a} $
Разложим числитель и знаменатель на множители: $ b + \sqrt{ab} = \sqrt{b}(\sqrt{b} + \sqrt{a}) $ и $ b - a = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a}) $.
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})} $
Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{b} + \sqrt{a}) $:
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} $
Мы преобразовали левую часть тождества и получили его правую часть. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем второе тождество, преобразовав его левую часть.
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{ab}}{b - a} $
Заметим, что знаменатель третьей дроби $ b - a = -(a - b) $. Вынесем минус перед дробью:
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{2\sqrt{ab}}{a - b} $
Приведем все дроби к общему знаменателю $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{ab}}{a - b} $
Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{a - b} = \frac{a - \sqrt{ab} + \sqrt{ab} + b - 2\sqrt{ab}}{a - b} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{a - b} $
Числитель является формулой квадрата разности: $ a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 $. Знаменатель является формулой разности квадратов: $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $
Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $
Мы преобразовали левую часть тождества и получили его правую часть. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

16.90 а) $(\frac{\sqrt{m}}{n - \sqrt{mn}} + \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{mn}}) \cdot \frac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n} + \sqrt{m}} = -1;$

б) $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) \cdot \frac{a - b}{a^2 + ab} = \frac{1}{a};$

в) $(\frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}) : (\sqrt{x} - \frac{x + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}) = \frac{1}{y};$

г) $\frac{z + 2\sqrt{z}}{\sqrt{z} - 2} : (\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z} - 2} - \frac{z - 12}{z - 4} - \frac{4}{z + 2\sqrt{z}}) = \frac{z}{2}.$

а) Докажем тождество $(\frac{\sqrt{m}}{n - \sqrt{mn}} + \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{mn}}) \cdot \frac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n} + \sqrt{m}} = -1$.
1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:
$n - \sqrt{mn} = \sqrt{n}(\sqrt{n} - \sqrt{m})$
$m - \sqrt{mn} = \sqrt{m}(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = -\sqrt{m}(\sqrt{n} - \sqrt{m})$
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{mn}(\sqrt{n} - \sqrt{m})$:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} + \frac{\sqrt{n}}{-\sqrt{m}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} = \frac{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} - \sqrt{n} \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{mn}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} = \frac{m - n}{\sqrt{mn}(\sqrt{n} - \sqrt{m})}$
2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $m - n = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) = -(\sqrt{n} - \sqrt{m})(\sqrt{n} + \sqrt{m})$.
$\frac{-(\sqrt{n} - \sqrt{m})(\sqrt{n} + \sqrt{m})}{\sqrt{mn}(\sqrt{n} - \sqrt{m})} = -\frac{\sqrt{n} + \sqrt{m}}{\sqrt{mn}}$
3. Выполним умножение:
$(-\frac{\sqrt{n} + \sqrt{m}}{\sqrt{mn}}) \cdot \frac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n} + \sqrt{m}} = -1$
Тождество доказано.
Ответ: -1.

б) Докажем тождество $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) \cdot \frac{a - b}{a^2 + ab} = \frac{1}{a}$.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a-b$:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}$
2. Упростим второй множитель:
$\frac{a - b}{a^2 + ab} = \frac{a - b}{a(a + b)}$
3. Выполним умножение:
$\frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{a - b}{a(a + b)} = \frac{1}{a}$
Тождество доказано.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

в) Докажем тождество $(\frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}) : (\sqrt{x} - \frac{x + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}) = \frac{1}{y}$.
1. Упростим выражение в первых скобках:
$\frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$
2. Упростим выражение во вторых скобках:
$\sqrt{x} - \frac{x + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - (x + y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{x + \sqrt{xy} - x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy} - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$
3. Выполним деление:
$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} : \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{1}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{1}{y}$
Тождество доказано.
Ответ: $\frac{1}{y}$.

г) Докажем тождество $\frac{z + 2\sqrt{z}}{\sqrt{z} - 2} : (\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z} - 2} - \frac{z - 12}{z - 4} - \frac{4}{z + 2\sqrt{z}}) = \frac{z}{2}$.
1. Упростим выражение в скобках. Сначала преобразуем знаменатели: $z - 4 = (\sqrt{z} - 2)(\sqrt{z} + 2)$ и $z + 2\sqrt{z} = \sqrt{z}(\sqrt{z} + 2)$. Общий знаменатель: $\sqrt{z}(\sqrt{z} - 2)(\sqrt{z} + 2)$.
$\frac{\sqrt{z} \cdot \sqrt{z}(\sqrt{z} + 2) - (z - 12)\sqrt{z} - 4(\sqrt{z} - 2)}{\sqrt{z}(\sqrt{z} - 2)(\sqrt{z} + 2)} = \frac{z(\sqrt{z} + 2) - z\sqrt{z} + 12\sqrt{z} - 4\sqrt{z} + 8}{\sqrt{z}(z - 4)} = \frac{z\sqrt{z} + 2z - z\sqrt{z} + 8\sqrt{z} + 8}{\sqrt{z}(z - 4)} = \frac{2z + 8\sqrt{z} + 8}{\sqrt{z}(z - 4)}$
2. В числителе вынесем 2 за скобки и свернем по формуле квадрата суммы: $2(z + 4\sqrt{z} + 4) = 2(\sqrt{z} + 2)^2$.
Выражение в скобках равно: $\frac{2(\sqrt{z} + 2)^2}{\sqrt{z}(\sqrt{z} - 2)(\sqrt{z} + 2)} = \frac{2(\sqrt{z} + 2)}{\sqrt{z}(\sqrt{z} - 2)}$
3. Упростим делимое: $\frac{z + 2\sqrt{z}}{\sqrt{z} - 2} = \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z} + 2)}{\sqrt{z} - 2}$.
4. Выполним деление:
$\frac{\sqrt{z}(\sqrt{z} + 2)}{\sqrt{z} - 2} : \frac{2(\sqrt{z} + 2)}{\sqrt{z}(\sqrt{z} - 2)} = \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z} + 2)}{\sqrt{z} - 2} \cdot \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z} - 2)}{2(\sqrt{z} + 2)} = \frac{\sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{2} = \frac{z}{2}$
Тождество доказано.
Ответ: $\frac{z}{2}$.

Упростите выражение:

16.91 а) $\frac{a - 16}{\sqrt{a} + 3} \cdot \frac{1}{a + 4\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 4}{a - 3\sqrt{a}}$

б) $\frac{1 - 2\sqrt{b}}{2\sqrt{b} + 1} + \frac{b + 3\sqrt{b}}{4b - 1} : \frac{3 + \sqrt{b}}{4\sqrt{b} + 2}$

в) $\frac{9x}{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} : \frac{12\sqrt{x^3}}{4x - y} \cdot \frac{4}{6x + 3\sqrt{xy}}$

г) $\frac{\sqrt{mn^3}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \cdot \frac{m - n}{6n\sqrt{m}} : \frac{\sqrt{mn} + n}{6m}$

а)

Упростим выражение $ \frac{a - 16}{\sqrt{a} + 3} \cdot \frac{1}{a + 4\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 4}{a - 3\sqrt{a}} $.
1. Разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно. $ a - 16 = (\sqrt{a})^2 - 4^2 = (\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4) $ (разность квадратов).
$ a + 4\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 4) $ (вынесение общего множителя).
$ a - 3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 3) $ (вынесение общего множителя).
2. Подставим разложенные выражения в исходное: $ \frac{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)}{\sqrt{a} + 3} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 4)} - \frac{\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)} $.
3. Упростим первое слагаемое, сократив общий множитель $ (\sqrt{a} + 4) $: $ \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)} - \frac{\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)} $.
4. Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 3) = \sqrt{a}(a - 9) $: $ \frac{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} - 3) - (\sqrt{a} + 4)(\sqrt{a} + 3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 3)} $.
5. Раскроем скобки в числителе: $ (\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} - 3) = a - 3\sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 12 = a - 7\sqrt{a} + 12 $.
$ (\sqrt{a} + 4)(\sqrt{a} + 3) = a + 3\sqrt{a} + 4\sqrt{a} + 12 = a + 7\sqrt{a} + 12 $.
6. Подставим раскрытые выражения в числитель и упростим: $ (a - 7\sqrt{a} + 12) - (a + 7\sqrt{a} + 12) = a - 7\sqrt{a} + 12 - a - 7\sqrt{a} - 12 = -14\sqrt{a} $.
7. Получим итоговую дробь и сократим ее: $ \frac{-14\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{-14}{a-9} = \frac{14}{9-a} $.

Ответ: $ \frac{14}{9-a} $

б)

Упростим выражение $ \frac{1 - 2\sqrt{b}}{2\sqrt{b} + 1} + \frac{b + 3\sqrt{b}}{4b - 1} : \frac{3 + \sqrt{b}}{4\sqrt{b} + 2} $.
1. Сначала выполним деление. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь: $ \frac{b + 3\sqrt{b}}{4b - 1} \cdot \frac{4\sqrt{b} + 2}{3 + \sqrt{b}} $.
2. Разложим на множители числители и знаменатели: $ b + 3\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b} + 3) $.
$ 4b - 1 = (2\sqrt{b})^2 - 1^2 = (2\sqrt{b} - 1)(2\sqrt{b} + 1) $.
$ 4\sqrt{b} + 2 = 2(2\sqrt{b} + 1) $.
3. Подставим разложения и сократим общие множители $ (\sqrt{b} + 3) $ и $ (2\sqrt{b} + 1) $: $ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b} + 3)}{(2\sqrt{b} - 1)(2\sqrt{b} + 1)} \cdot \frac{2(2\sqrt{b} + 1)}{\sqrt{b} + 3} = \frac{2\sqrt{b}}{2\sqrt{b} - 1} $.
4. Теперь выполним сложение с первой дробью: $ \frac{1 - 2\sqrt{b}}{2\sqrt{b} + 1} + \frac{2\sqrt{b}}{2\sqrt{b} - 1} $.
5. Приведем дроби к общему знаменателю $ (2\sqrt{b} + 1)(2\sqrt{b} - 1) = 4b - 1 $: $ \frac{(1 - 2\sqrt{b})(2\sqrt{b} - 1) + 2\sqrt{b}(2\sqrt{b} + 1)}{(2\sqrt{b} + 1)(2\sqrt{b} - 1)} $.
6. Упростим числитель. Заметим, что $ 1 - 2\sqrt{b} = -(2\sqrt{b} - 1) $, поэтому $ (1 - 2\sqrt{b})(2\sqrt{b} - 1) = -(2\sqrt{b} - 1)^2 = -(4b - 4\sqrt{b} + 1) $. Числитель примет вид: $ -(4b - 4\sqrt{b} + 1) + 2\sqrt{b}(2\sqrt{b} + 1) = -4b + 4\sqrt{b} - 1 + 4b + 2\sqrt{b} = 6\sqrt{b} - 1 $.
7. Итоговое выражение: $ \frac{6\sqrt{b} - 1}{4b - 1} $.

Ответ: $ \frac{6\sqrt{b} - 1}{4b - 1} $

в)

Упростим выражение $ \frac{9x}{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} : \frac{12\sqrt{x^3}}{4x - y} \cdot \frac{4}{6x + 3\sqrt{xy}} $.
1. Выполним действия по порядку. Сначала деление, заменив его умножением на обратную дробь: $ \frac{9x}{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} \cdot \frac{4x - y}{12\sqrt{x^3}} \cdot \frac{4}{6x + 3\sqrt{xy}} $.
2. Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях: $ 4x - y = (2\sqrt{x} - \sqrt{y})(2\sqrt{x} + \sqrt{y}) $.
$ \sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = x\sqrt{x} $.
$ 6x + 3\sqrt{xy} = 3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 3\sqrt{x}\sqrt{y} = 3\sqrt{x}(2\sqrt{x} + \sqrt{y}) $.
3. Подставим разложения в выражение: $ \frac{9x}{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} \cdot \frac{(2\sqrt{x} - \sqrt{y})(2\sqrt{x} + \sqrt{y})}{12x\sqrt{x}} \cdot \frac{4}{3\sqrt{x}(2\sqrt{x} + \sqrt{y})} $.
4. Сократим общие множители: $ (2\sqrt{x} - \sqrt{y}) $ в числителе и знаменателе.
$ (2\sqrt{x} + \sqrt{y}) $ в числителе и знаменателе.
$ x $ в числителе и знаменателе.
$ \frac{9}{1} \cdot \frac{1}{12\sqrt{x}} \cdot \frac{4}{3\sqrt{x}} $.
5. Перемножим оставшиеся числовые коэффициенты и переменные: $ \frac{9 \cdot 4}{12 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{36}{36x} = \frac{1}{x} $.

Ответ: $ \frac{1}{x} $

г)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{mn^3}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \cdot \frac{m - n}{6n\sqrt{m}} : \frac{\sqrt{mn} + n}{6m} $.
1. Заменим деление на умножение на обратную дробь: $ \frac{\sqrt{mn^3}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \cdot \frac{m - n}{6n\sqrt{m}} \cdot \frac{6m}{\sqrt{mn} + n} $.
2. Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях: $ \sqrt{mn^3} = \sqrt{m \cdot n^2 \cdot n} = n\sqrt{mn} $.
$ m - n = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) $.
$ \sqrt{mn} + n = \sqrt{n}\sqrt{m} + \sqrt{n}\sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{m} + \sqrt{n}) $.
3. Подставим разложения в выражение: $ \frac{n\sqrt{mn}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \cdot \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{6n\sqrt{m}} \cdot \frac{6m}{\sqrt{n}(\sqrt{m} + \sqrt{n})} $.
4. Сократим общие множители: $ (\sqrt{m} - \sqrt{n}) $, $ (\sqrt{m} + \sqrt{n}) $, $ n $ и $ 6 $.
$ \frac{\sqrt{mn}}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \frac{m}{\sqrt{n}} $.
5. Перемножим оставшиеся части: $ \frac{\sqrt{mn} \cdot m}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} $.
6. Так как $ \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn} $, то: $ \frac{\sqrt{mn} \cdot m}{\sqrt{mn}} = m $.

Ответ: $ m $

16.92 a) $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}})^{-1};$

б) $(\sqrt{c} - \sqrt{d} + \frac{2\sqrt{cd}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}})^{-1} \cdot (\frac{\sqrt{c} + \sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}} - \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}}).$

a) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в первых скобках.

1) Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a-\sqrt{ab} + \sqrt{ab}+b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}$

2) Теперь упростим выражение во вторых скобках:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+2\sqrt{ab}+b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

3) Подставим полученные выражения в исходное. Учтем, что степень -1 означает обратную дробь.

$\left(\frac{a+b}{a-b}\right) \cdot \left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^{-1} = \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a+b}$

Сократим общий множитель $(a+b)$:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$

Применим формулу разности квадратов к знаменателю $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

б) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в первых скобках.

1) Приведем к общему знаменателю и сложим:

$\sqrt{c}-\sqrt{d}+\frac{2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}-\sqrt{d}) + 2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{d})^2 + 2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{c-2\sqrt{cd}+d + 2\sqrt{cd}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} = \frac{c+d}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}$

2) Теперь упростим выражение во вторых скобках:

$\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}-\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{d}) - \sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} = \frac{c+\sqrt{cd} - \sqrt{cd}+d}{c-\sqrt{cd}} = \frac{c+d}{c-\sqrt{cd}}$

3) Подставим полученные выражения в исходное. Учтем, что степень -1 означает обратную дробь.

$\left(\frac{c+d}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{c+d}{c-\sqrt{cd}}\right) = \frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{c+d} \cdot \frac{c+d}{c-\sqrt{cd}}$

Сократим общий множитель $(c+d)$:

$\frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{c-\sqrt{cd}}$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{c}$:

$\frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} = \frac{1}{\sqrt{c}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{c}}$