Страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. При каждом броске монеты выпадает орёл или решка. Найдите количество исходов при двух бросках монеты.

Для решения этой задачи необходимо определить все возможные уникальные последовательности результатов при двух бросках монеты.

При каждом броске монеты возможны два исхода: «орёл» (сокращенно О) или «решка» (сокращенно Р).

Так как броски являются независимыми друг от друга событиями, мы можем перечислить все возможные комбинации результатов первого и второго броска. Обозначим результат первого броска первым в паре, а второго — вторым:
1. Орёл, Орёл (О, О)
2. Орёл, Решка (О, Р)
3. Решка, Орёл (Р, О)
4. Решка, Решка (Р, Р)

Таким образом, мы получили 4 различные возможные комбинации. Следовательно, общее количество исходов при двух бросках монеты равно 4.

Эту задачу можно также решить, используя правило умножения из комбинаторики. Если одно событие может произойти $n_1$ способами, а второе, независимое от него, событие может произойти $n_2$ способами, то общее количество исходов для последовательности этих двух событий равно их произведению: $N = n_1 \times n_2$.

В нашем случае:
• Количество исходов для первого броска: $n_1 = 2$.
• Количество исходов для второго броска: $n_2 = 2$.
Общее число исходов: $N = 2 \times 2 = 4$.

Ответ: 4

16.36 а) $(\sqrt{2} + 4)^2$;

б) $(\sqrt{5} - 1)^2$;

в) $(2 + \sqrt{17})^2$;

г) $(3 - \sqrt{8})^2$.

а) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном выражении $a = \sqrt{2}$ и $b = 4$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{2} + 4)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4 + 4^2$
Используя свойство $(\sqrt{x})^2 = x$, получаем:
$2 + 8\sqrt{2} + 16$
Сложим числовые слагаемые:
$18 + 8\sqrt{2}$
Ответ: $18 + 8\sqrt{2}$.

б) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном выражении $a = \sqrt{5}$ и $b = 1$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2$
Выполним вычисления:
$5 - 2\sqrt{5} + 1$
Сложим числовые слагаемые:
$6 - 2\sqrt{5}$
Ответ: $6 - 2\sqrt{5}$.

в) Снова используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 2$ и $b = \sqrt{17}$.
Подставим значения в формулу:
$(2 + \sqrt{17})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2$
Выполним вычисления:
$4 + 4\sqrt{17} + 17$
Сложим числовые слагаемые:
$21 + 4\sqrt{17}$
Ответ: $21 + 4\sqrt{17}$.

г) Снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = 3$ и $b = \sqrt{8}$.
Подставим значения в формулу:
$(3 - \sqrt{8})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2$
Выполним вычисления:
$9 - 6\sqrt{8} + 8$
Сложим числовые слагаемые:
$17 - 6\sqrt{8}$
Теперь упростим член с корнем. Разложим подкоренное выражение на множители и вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим упрощенный корень обратно в выражение:
$17 - 6(2\sqrt{2}) = 17 - 12\sqrt{2}$
Ответ: $17 - 12\sqrt{2}$.

16.37 a) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$;

б) $(\sqrt{6} + \sqrt{12})^2$;

в) $(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})^2$;

г) $(\sqrt{14} + \sqrt{8})^2$.

а) Для раскрытия скобок в выражении $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

1. Возведем в квадрат первый член: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

2. Найдем удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{2}) = (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = 12\sqrt{6}$.

3. Возведем в квадрат второй член: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

4. Подставим полученные значения в формулу: $12 - 12\sqrt{6} + 18$.

5. Сложим числовые слагаемые: $12 + 18 = 30$.

Таким образом, выражение равно $30 - 12\sqrt{6}$.

Ответ: $30 - 12\sqrt{6}$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt{6} + \sqrt{12})^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{6}$ и $b = \sqrt{12}$.

1. Возведем в квадрат первый член: $(\sqrt{6})^2 = 6$.

2. Возведем в квадрат второй член: $(\sqrt{12})^2 = 12$.

3. Найдем удвоенное произведение членов: $2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{12} = 2\sqrt{6 \cdot 12} = 2\sqrt{72}$.

4. Упростим корень: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.

5. Подставим значения в формулу: $6 + 12\sqrt{2} + 12$.

6. Сложим числовые слагаемые: $6 + 12 = 18$.

Итоговое выражение: $18 + 12\sqrt{2}$.

Ответ: $18 + 12\sqrt{2}$.

в) Для вычисления $(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})^2$ снова используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3\sqrt{5}$ и $b = 5\sqrt{3}$.

1. Первый член в квадрате: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

2. Удвоенное произведение: $2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{3}) = (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}) = 30\sqrt{15}$.

3. Второй член в квадрате: $(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.

4. Подставляем в формулу: $45 - 30\sqrt{15} + 75$.

5. Складываем числа: $45 + 75 = 120$.

Результат: $120 - 30\sqrt{15}$.

Ответ: $120 - 30\sqrt{15}$.

г) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(\sqrt{14} + \sqrt{8})^2$, применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{14}$ и $b = \sqrt{8}$.

1. Первый член в квадрате: $(\sqrt{14})^2 = 14$.

2. Второй член в квадрате: $(\sqrt{8})^2 = 8$.

3. Удвоенное произведение: $2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{8} = 2\sqrt{14 \cdot 8} = 2\sqrt{112}$.

4. Упростим корень: $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$. Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}$.

5. Подставим все части в формулу: $14 + 8\sqrt{7} + 8$.

6. Сложим числа: $14 + 8 = 22$.

Окончательный результат: $22 + 8\sqrt{7}$.

Ответ: $22 + 8\sqrt{7}$.

16.38 a) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n);$

б) $(c + \sqrt{d})(c^2 - c\sqrt{d} + d);$

в) $(\sqrt{r} - 2\sqrt{n})(r + 2\sqrt{rn} + 4n);$

г) $(2\sqrt{s} + 3t)(4s - 6t\sqrt{s} + 9t^2).$

а) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном выражении пусть $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{n}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{m})^2 = m$, $b^2 = (\sqrt{n})^2 = n$, и произведение $ab = \sqrt{m}\sqrt{n} = \sqrt{mn}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(m + \sqrt{mn} + n)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 + ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле разности кубов:

$(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

Ответ: $m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

б) $(c + \sqrt{d})(c^2 - c\sqrt{d} + d)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном выражении пусть $a = c$ и $b = \sqrt{d}$.

Тогда $a^2 = c^2$, $b^2 = (\sqrt{d})^2 = d$, и произведение $ab = c\sqrt{d}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(c^2 - c\sqrt{d} + d)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле суммы кубов:

$c^3 + (\sqrt{d})^3 = c^3 + d\sqrt{d}$.

Ответ: $c^3 + d\sqrt{d}$.

в) $(\sqrt{r} - 2\sqrt{n})(r + 2\sqrt{rn} + 4n)$

Для решения этого примера снова воспользуемся формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном выражении пусть $a = \sqrt{r}$ и $b = 2\sqrt{n}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{r})^2 = r$, $b^2 = (2\sqrt{n})^2 = 4n$, и произведение $ab = \sqrt{r} \cdot 2\sqrt{n} = 2\sqrt{rn}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(r + 2\sqrt{rn} + 4n)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 + ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле разности кубов:

$(\sqrt{r})^3 - (2\sqrt{n})^3 = r\sqrt{r} - 2^3(\sqrt{n})^3 = r\sqrt{r} - 8n\sqrt{n}$.

Ответ: $r\sqrt{r} - 8n\sqrt{n}$.

г) $(2\sqrt{s} + 3t)(4s - 6t\sqrt{s} + 9t^2)$

Для решения этого примера снова воспользуемся формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном выражении пусть $a = 2\sqrt{s}$ и $b = 3t$.

Тогда $a^2 = (2\sqrt{s})^2 = 4s$, $b^2 = (3t)^2 = 9t^2$, и произведение $ab = (2\sqrt{s})(3t) = 6t\sqrt{s}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(4s - 6t\sqrt{s} + 9t^2)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле суммы кубов:

$(2\sqrt{s})^3 + (3t)^3 = 2^3(\sqrt{s})^3 + 3^3t^3 = 8s\sqrt{s} + 27t^3$.

Ответ: $8s\sqrt{s} + 27t^3$.

Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:

16.39 a) $\frac{x}{\sqrt{7}};$

б) $\frac{2}{3\sqrt{2}};$

в) $\frac{y}{\sqrt{y}};$

г) $\frac{42}{5\sqrt{p}}.$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{x}{\sqrt{7}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на иррациональный знаменатель $ \sqrt{7} $.
$ \frac{x}{\sqrt{7}} = \frac{x \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{x\sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2} = \frac{x\sqrt{7}}{7} $.
Ответ: $ \frac{x\sqrt{7}}{7} $.

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2}{3\sqrt{2}} $, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{6} $.
Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{3} $.

в) Для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{y}{\sqrt{y}} $, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{y} $. Предполагается, что $ y > 0 $.
$ \frac{y}{\sqrt{y}} = \frac{y \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{y\sqrt{y}}{y} $.
Сократим дробь на $ y $:
$ \frac{y\sqrt{y}}{y} = \sqrt{y} $.
Ответ: $ \sqrt{y} $.

г) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{42}{5\sqrt{p}} $, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{p} $. Предполагается, что $ p > 0 $.
$ \frac{42}{5\sqrt{p}} = \frac{42 \cdot \sqrt{p}}{5\sqrt{p} \cdot \sqrt{p}} = \frac{42\sqrt{p}}{5 \cdot (\sqrt{p})^2} = \frac{42\sqrt{p}}{5p} $.
Ответ: $ \frac{42\sqrt{p}}{5p} $.

16.40 а) $\frac{3}{\sqrt{a+b}} $;

б) $\frac{a+3}{\sqrt{a^2-9}} $;

в) $\frac{1}{\sqrt{c-d}} $;

г) $\frac{b-2}{\sqrt{4-b^2}} $.

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt{a+b}}$, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае это сам знаменатель, то есть $\sqrt{a+b}$. Данная операция имеет смысл при условии, что подкоренное выражение строго больше нуля: $a+b > 0$.

Выполним умножение:

$\frac{3}{\sqrt{a+b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}} = \frac{3\sqrt{a+b}}{(\sqrt{a+b})^2} = \frac{3\sqrt{a+b}}{a+b}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{a+b}}{a+b}$.

б)

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a+3}{\sqrt{a^2-9}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a^2-9}$. Исходное выражение определено при $a^2-9 > 0$, то есть $a \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

$\frac{a+3}{\sqrt{a^2-9}} = \frac{(a+3) \cdot \sqrt{a^2-9}}{\sqrt{a^2-9} \cdot \sqrt{a^2-9}} = \frac{(a+3)\sqrt{a^2-9}}{a^2-9}$.

Знаменатель $a^2-9$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$\frac{(a+3)\sqrt{a^2-9}}{(a-3)(a+3)}$.

Так как из области определения следует, что $a \neq -3$, мы можем сократить дробь на множитель $(a+3)$:

$\frac{\sqrt{a^2-9}}{a-3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a^2-9}}{a-3}$.

в)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{c-d}}$, умножим числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{c-d}$. Операция возможна при условии $c-d > 0$.

$\frac{1}{\sqrt{c-d}} = \frac{1 \cdot \sqrt{c-d}}{\sqrt{c-d} \cdot \sqrt{c-d}} = \frac{\sqrt{c-d}}{(\sqrt{c-d})^2} = \frac{\sqrt{c-d}}{c-d}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{c-d}}{c-d}$.

г)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{b-2}{\sqrt{4-b^2}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{4-b^2}$. Выражение имеет смысл при $4-b^2 > 0$, то есть $b^2 < 4$, что равносильно $-2 < b < 2$.

$\frac{b-2}{\sqrt{4-b^2}} = \frac{(b-2) \cdot \sqrt{4-b^2}}{\sqrt{4-b^2} \cdot \sqrt{4-b^2}} = \frac{(b-2)\sqrt{4-b^2}}{4-b^2}$.

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $4-b^2 = (2-b)(2+b)$.

$\frac{(b-2)\sqrt{4-b^2}}{(2-b)(2+b)}$.

Заметим, что $b-2 = -(2-b)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-(2-b)\sqrt{4-b^2}}{(2-b)(2+b)}$.

Так как из области определения $-2 < b < 2$ следует, что $b \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(2-b)$:

$\frac{-\sqrt{4-b^2}}{2+b}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{4-b^2}}{b+2}$.

16.41 а) $\frac{4a}{\sqrt{2a}}$;

б) $\frac{a^2b}{\sqrt{ab^3}}$;

в) $\frac{c^2}{\sqrt{c^5}}$;

г) $\frac{9a^2bc}{\sqrt{27ab^3c}}$.

а) Упростим выражение $\frac{4a}{\sqrt{2a}}$.
Предполагаем, что подкоренное выражение больше нуля, то есть $a > 0$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе (рационализировать знаменатель), домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2a}$:
$\frac{4a}{\sqrt{2a}} = \frac{4a \cdot \sqrt{2a}}{\sqrt{2a} \cdot \sqrt{2a}} = \frac{4a\sqrt{2a}}{2a}$.
Теперь сократим полученную дробь на общий множитель $2a$ (при $a \neq 0$):
$\frac{4a\sqrt{2a}}{2a} = 2\sqrt{2a}$.
Альтернативный способ: представить числитель $4a$ как $2 \cdot (\sqrt{2a})^2$.
$\frac{4a}{\sqrt{2a}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2a})^2}{\sqrt{2a}} = 2\sqrt{2a}$.
Ответ: $2\sqrt{2a}$.

б) Упростим выражение $\frac{a^2b}{\sqrt{ab^3}}$.
Предполагаем, что переменные $a$ и $b$ положительны ($a > 0, b > 0$).
Сначала упростим корень в знаменателе, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{ab^3} = \sqrt{a \cdot b^2 \cdot b} = b\sqrt{ab}$.
Подставим упрощенный корень обратно в выражение:
$\frac{a^2b}{b\sqrt{ab}}$.
Сократим дробь на $b$:
$\frac{a^2}{\sqrt{ab}}$.
Теперь рационализируем знаменатель, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$:
$\frac{a^2 \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{a^2\sqrt{ab}}{ab}$.
Сократим полученную дробь на $a$:
$\frac{a\sqrt{ab}}{b}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{ab}}{b}$.

в) Упростим выражение $\frac{c^2}{\sqrt{c^5}}$.
Предполагаем, что $c > 0$.
Упростим корень в знаменателе, вынеся множитель $c^4$ из-под знака корня:
$\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 \cdot c} = c^2\sqrt{c}$.
Подставим упрощенный корень в выражение и сократим дробь на $c^2$:
$\frac{c^2}{c^2\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{c}}$.
Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{c}$, чтобы избавиться от корня в знаменателе:
$\frac{1 \cdot \sqrt{c}}{\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c}}{c}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{c}$.

г) Упростим выражение $\frac{9a^2bc}{\sqrt{27ab^3c}}$.
Предполагаем, что переменные $a, b, c$ положительны ($a > 0, b > 0, c > 0$).
Сначала упростим корень в знаменателе. Разложим подкоренное выражение на множители:
$27ab^3c = 9 \cdot 3 \cdot a \cdot b^2 \cdot b \cdot c$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{27ab^3c} = \sqrt{9 \cdot b^2 \cdot 3abc} = 3b\sqrt{3abc}$.
Подставим упрощенный корень в исходное выражение:
$\frac{9a^2bc}{3b\sqrt{3abc}}$.
Сократим дробь на общий множитель $3b$:
$\frac{3a^2c}{\sqrt{3abc}}$.
Теперь рационализируем знаменатель, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3abc}$:
$\frac{3a^2c \cdot \sqrt{3abc}}{\sqrt{3abc} \cdot \sqrt{3abc}} = \frac{3a^2c\sqrt{3abc}}{3abc}$.
Сократим полученную дробь на общий множитель $3ac$:
$\frac{a\sqrt{3abc}}{b}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{3abc}}{b}$.

16.42 а) $\frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

б) $\frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$

в) $\frac{3}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$

г) $\frac{6}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3}$

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для выражения $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ является $\sqrt{x} - \sqrt{y}$. Это позволит нам использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x-y}$.

В результате мы получили дробь, знаменатель которой $x-y$ не содержит корней.

Ответ: $\frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x-y}$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.

В знаменателе получится произведение: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = [(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})]^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем: $[(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2]^2 = (a-b)^2$.

Преобразуем всю дробь:

$\frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(a-b)^2}$.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Таким образом, окончательное выражение: $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{(a-b)^2}$.

Ответ: $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{(a-b)^2}$.

в)

Для дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}}$ необходимо избавиться от кубических корней в знаменателе. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a=\sqrt[3]{m}$ и $b=\sqrt[3]{n}$. Знаменатель представляет собой $(a-b)$. Чтобы получить разность кубов $m-n$, нужно домножить знаменатель на неполный квадрат суммы $a^2+ab+b^2$, который равен $(\sqrt[3]{m})^2 + \sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.

Домножим на это выражение числитель и знаменатель:

$\frac{3}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}} = \frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{(\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})} = \frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{(\sqrt[3]{m})^3 - (\sqrt[3]{n})^3} = \frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{m-n}$.

Знаменатель $m-n$ является рациональным выражением.

Ответ: $\frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{m-n}$.

г)

В выражении $\frac{6}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3}$ знаменатель содержит иррациональность в кубе. По аналогии с пунктом б), можно использовать формулу разности квадратов. Домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^3$.

Преобразуем знаменатель:

$(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3 (\sqrt{p} - \sqrt{q})^3 = [(\sqrt{p} + \sqrt{q})(\sqrt{p} - \sqrt{q})]^3$.

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$[(\sqrt{p})^2 - (\sqrt{q})^2]^3 = (p-q)^3$.

Теперь преобразуем всю дробь:

$\frac{6}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3} = \frac{6 \cdot (\sqrt{p} - \sqrt{q})^3}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3 (\sqrt{p} - \sqrt{q})^3} = \frac{6(\sqrt{p} - \sqrt{q})^3}{(p-q)^3}$.

Знаменатель $(p-q)^3$ не содержит корней. Числитель можно оставить в таком виде или раскрыть по формуле куба разности.

Ответ: $\frac{6(\sqrt{p} - \sqrt{q})^3}{(p-q)^3}$.

16.43 a) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}};

б) $\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}};

в) $\frac{6}{\sqrt{15}+\sqrt{12}};

г) $\frac{36}{\sqrt{18}-\sqrt{12}}.$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{7} + \sqrt{3} $.

$ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} $

В знаменателе применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 $

Подставим полученное значение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{7} + \sqrt{3} $

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{10} - \sqrt{2} $.

$ \frac{4}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8 $

Подставим полученное значение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{4(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} $

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{6}{\sqrt{15} + \sqrt{12}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{15} - \sqrt{12} $.

$ \frac{6}{\sqrt{15} + \sqrt{12}} = \frac{6(\sqrt{15} - \sqrt{12})}{(\sqrt{15} + \sqrt{12})(\sqrt{15} - \sqrt{12})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sqrt{15} + \sqrt{12})(\sqrt{15} - \sqrt{12}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{12})^2 = 15 - 12 = 3 $

Подставим полученное значение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{6(\sqrt{15} - \sqrt{12})}{3} = 2(\sqrt{15} - \sqrt{12}) $

Упростим выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $.

$ 2(\sqrt{15} - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{15} - 4\sqrt{3} $

Ответ: $ 2\sqrt{15} - 4\sqrt{3} $

г) Для решения $ \frac{36}{\sqrt{18} - \sqrt{12}} $ сначала упростим корни в знаменателе:

$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $

Получаем дробь $ \frac{36}{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} $. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} $.

$ \frac{36(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6 $

Подставим полученное значение в знаменатель, сократим дробь и раскроем скобки:

$ \frac{36(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{6} = 6(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 18\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $

Ответ: $ 18\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $

16.44 a) $\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}};

б) $\frac{\sqrt{5}-3}{3+\sqrt{5}};

в) $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}};

г) $\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}.$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 1+\sqrt{3} $ является $ 1-\sqrt{3} $. При умножении знаменателя на сопряженное ему выражение используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.

$ \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}-1)(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3}}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3} - 3 - 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{3}-4}{-2} $

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{2\sqrt{3}}{-2} - \frac{4}{-2} = -\sqrt{3} + 2 = 2-\sqrt{3} $

Ответ: $ 2-\sqrt{3} $

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{5}-3}{3+\sqrt{5}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 3+\sqrt{5} $ является $ 3-\sqrt{5} $.

$ \frac{\sqrt{5}-3}{3+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5}-3)(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5} \cdot 3 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 3 \cdot 3 + 3 \cdot \sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3\sqrt{5} - 5 - 9 + 3\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{6\sqrt{5}-14}{4} $

Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(3\sqrt{5}-7)}{4} = \frac{3\sqrt{5}-7}{2} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{5}-7}{2} $

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 2-\sqrt{2} $ является $ 2+\sqrt{2} $.

$ \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} $

В числителе используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, а в знаменателе — формулу разности квадратов.

$ \frac{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4 - 2} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{6+4\sqrt{2}}{2} $

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{6}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{2} = 3+2\sqrt{2} $

Ответ: $ 3+2\sqrt{2} $

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 5-\sqrt{7} $ является $ 5+\sqrt{7} $.

$ \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} = \frac{(5+\sqrt{7})(5+\sqrt{7})}{(5-\sqrt{7})(5+\sqrt{7})} = \frac{(5+\sqrt{7})^2}{5^2 - (\sqrt{7})^2} $

В числителе используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, а в знаменателе — формулу разности квадратов.

$ \frac{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}{25 - 7} = \frac{25 + 10\sqrt{7} + 7}{18} = \frac{32+10\sqrt{7}}{18} $

Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(16+5\sqrt{7})}{18} = \frac{16+5\sqrt{7}}{9} $

Ответ: $ \frac{16+5\sqrt{7}}{9} $

16.45 a) $ \frac{x}{x + \sqrt{y}} $;

б) $ \frac{a^2 - b}{a - \sqrt{b}} $;

в) $ \frac{s}{2s + \sqrt{3r}} $;

г) $ \frac{25b^2 - 3a}{\sqrt{3a - 5b}} $.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $x - \sqrt{y}$. В знаменателе получится разность квадратов.

$\frac{x}{x + \sqrt{y}} = \frac{x(x - \sqrt{y})}{(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$

Ответ: $\frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $a + \sqrt{b}$, сопряженное знаменателю $a - \sqrt{b}$.

$\frac{a^2 - b}{a - \sqrt{b}} = \frac{(a^2 - b)(a + \sqrt{b})}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{(a^2 - b)(a + \sqrt{b})}{a^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{(a^2 - b)(a + \sqrt{b})}{a^2 - b}$

После сокращения дроби на общий множитель $(a^2 - b)$ получаем $a + \sqrt{b}$. Отметим, что к этому же результату можно прийти, если сразу разложить числитель $a^2 - b$ как разность квадратов $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$ и сократить дробь.

Ответ: $a + \sqrt{b}$

в) Домножим числитель и знаменатель на выражение $2s - \sqrt{3r}$, которое является сопряженным к знаменателю $2s + \sqrt{3r}$.

$\frac{s}{2s + \sqrt{3r}} = \frac{s(2s - \sqrt{3r})}{(2s + \sqrt{3r})(2s - \sqrt{3r})} = \frac{2s^2 - s\sqrt{3r}}{(2s)^2 - (\sqrt{3r})^2} = \frac{2s^2 - s\sqrt{3r}}{4s^2 - 3r}$

Ответ: $\frac{2s^2 - s\sqrt{3r}}{4s^2 - 3r}$

г) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3a} + 5b$.

$\frac{25b^2 - 3a}{\sqrt{3a} - 5b} = \frac{(25b^2 - 3a)(\sqrt{3a} + 5b)}{(\sqrt{3a} - 5b)(\sqrt{3a} + 5b)} = \frac{-(3a - 25b^2)(\sqrt{3a} + 5b)}{(\sqrt{3a})^2 - (5b)^2} = \frac{-(3a - 25b^2)(\sqrt{3a} + 5b)}{3a - 25b^2}$

В числителе мы вынесли знак минус за скобки, чтобы получить выражение, которое можно сократить со знаменателем. После сокращения дроби получаем:

$-(\sqrt{3a} + 5b) = -5b - \sqrt{3a}$

Ответ: $-5b - \sqrt{3a}$