Страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.2 a) $\sqrt{\frac{2}{25}};$

б) $\sqrt{\frac{121}{10}};$

в) $\sqrt{\frac{6}{49}};$

г) $\sqrt{\frac{225}{2}}.$

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{2}{25}}$ воспользуемся свойством квадратного корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a \ge 0, b > 0$).

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\frac{2}{25}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}}$

Теперь вычислим значения корней в числителе и знаменателе. Корень из 2, $\sqrt{2}$, является иррациональным числом, поэтому мы оставляем его в таком виде. Корень из 25 равен 5, так как $5^2 = 25$.

Подставим вычисленное значение в знаменатель:

$\frac{\sqrt{2}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{5}$

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{121}{10}}$, применим свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{121}{10}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{10}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{11}{\sqrt{10}}$

В знаменателе получилось иррациональное число. По правилам хорошего тона в математике принято избавляться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{10}$:

$\frac{11}{\sqrt{10}} = \frac{11 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{11\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{11\sqrt{10}}{10}$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{6}{49}}$ снова используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{6}{49}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{49}}$

Вычислим значение корня в знаменателе: $\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.

Корень из 6, $\sqrt{6}$, не может быть упрощен, так как число 6 не имеет множителей, являющихся точными квадратами (кроме 1). Таким образом, выражение принимает окончательный вид:

$\frac{\sqrt{6}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{7}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{225}{2}}$, применив свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{225}{2}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{2}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 225$.

Получаем выражение с иррациональным знаменателем:

$\frac{15}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{15\sqrt{2}}{2}$

16.3 a) $\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 2}}$;

б) $\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{169 \cdot 5}}$;

в) $\sqrt{\frac{6 \cdot 49}{121}}$;

г) $\sqrt{\frac{144 \cdot 3}{7 \cdot 25}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 2}}$ воспользуемся свойствами арифметического квадратного корня.
Применим свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}}$.
Вычислим значения корней из чисел, являющихся полными квадратами: $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{16} = 4$.
Подставим полученные значения в выражение: $\frac{5}{4 \cdot \sqrt{2}} = \frac{5}{4\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{5\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{8}$.

б) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{169 \cdot 5}}$ применим те же свойства, что и в предыдущем примере.
$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{169 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{36 \cdot 2}}{\sqrt{169 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{169} \cdot \sqrt{5}}$.
Извлечем корни из полных квадратов: $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{169} = 13$.
Подставим значения: $\frac{6 \cdot \sqrt{2}}{13 \cdot \sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{2}}{13\sqrt{5}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$\frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{13\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{2 \cdot 5}}{13 \cdot 5} = \frac{6\sqrt{10}}{65}$.
Ответ: $\frac{6\sqrt{10}}{65}$.

в) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{6 \cdot 49}{121}}$ используем свойства корня.
$\sqrt{\frac{6 \cdot 49}{121}} = \frac{\sqrt{6 \cdot 49}}{\sqrt{121}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{49}}{\sqrt{121}}$.
Извлечем корни из полных квадратов: $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt{121} = 11$.
Подставим значения: $\frac{\sqrt{6} \cdot 7}{11} = \frac{7\sqrt{6}}{11}$.
В знаменателе дроби нет иррационального числа, поэтому дальнейшие преобразования не требуются.
Ответ: $\frac{7\sqrt{6}}{11}$.

г) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{144 \cdot 3}{7 \cdot 25}}$ снова используем свойства корня.
$\sqrt{\frac{144 \cdot 3}{7 \cdot 25}} = \frac{\sqrt{144 \cdot 3}}{\sqrt{7 \cdot 25}} = \frac{\sqrt{144} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{25}}$.
Извлечем корни из полных квадратов: $\sqrt{144} = 12$ и $\sqrt{25} = 5$.
Подставим значения: $\frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot 5} = \frac{12\sqrt{3}}{5\sqrt{7}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$\frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{5\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{12\sqrt{3 \cdot 7}}{5 \cdot 7} = \frac{12\sqrt{21}}{35}$.
Ответ: $\frac{12\sqrt{21}}{35}$.

16.4 a) $\sqrt{12}$;

б) $\sqrt{20}$;

в) $\sqrt{32}$;

г) $\sqrt{54}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{12}$, нужно вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим число 12 на множители так, чтобы один из них был точным квадратом. Наибольший множитель числа 12, являющийся точным квадратом, это 4.

Представим 12 как произведение 4 и 3:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}$

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получим:

$\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$

Так как $\sqrt{4} = 2$, то:

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

б) Упростим выражение $\sqrt{20}$. Разложим подкоренное выражение на множители, один из которых является полным квадратом. Наибольший такой множитель для числа 20 это 4.

Представим 20 как произведение 4 и 5:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5}$

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}$

Поскольку $\sqrt{4} = 2$, получаем:

$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$

в) Упростим выражение $\sqrt{32}$. Найдем наибольший множитель числа 32, который является полным квадратом. Это число 16, так как $16 = 4^2$.

Представим 32 как произведение 16 и 2:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$

Так как $\sqrt{16} = 4$, то:

$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Ответ: $4\sqrt{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{54}$. Разложим число 54 на множители, выделив наибольший полный квадрат. Наибольший квадрат, на который делится 54, это 9, так как $9 = 3^2$.

Представим 54 как произведение 9 и 6:

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6}$

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6}$

Поскольку $\sqrt{9} = 3$, получаем:

$\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

Ответ: $3\sqrt{6}$

16.5 а) $\sqrt{275}$;

б) $\sqrt{363}$;

в) $\sqrt{675}$;

г) $\sqrt{108}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{275}$, необходимо разложить подкоренное число 275 на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.

Разложим 275 на простые множители. Число 275 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5:
$275 = 5 \times 55$.

Число 55, в свою очередь, также делится на 5:
$55 = 5 \times 11$.

Таким образом, разложение числа 275 на множители выглядит так:
$275 = 5 \times 5 \times 11 = 5^2 \times 11 = 25 \times 11$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt{275} = \sqrt{25 \times 11}$.

Используя свойство корня $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{25 \times 11} = \sqrt{25} \times \sqrt{11} = 5\sqrt{11}$.

Ответ: $5\sqrt{11}$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{363}$. Разложим число 363 на множители, чтобы найти среди них точный квадрат.

Сумма цифр числа 363 равна $3 + 6 + 3 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и само число 363 делится на 3:
$363 = 3 \times 121$.

Число 121 является полным квадратом числа 11: $121 = 11^2$.

Следовательно, мы можем представить 363 как произведение $3 \times 11^2$.

Подставим это в корень:
$\sqrt{363} = \sqrt{3 \times 121}$.

Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt{3 \times 121} = \sqrt{3} \times \sqrt{121} = \sqrt{3} \times 11 = 11\sqrt{3}$.

Ответ: $11\sqrt{3}$.

в) Упростим выражение $\sqrt{675}$. Для этого разложим число 675 на множители.

Число 675 оканчивается на 5, значит, оно делится на 25 (поскольку $75$ делится на 25):
$675 = 25 \times 27$.

Число 27 не является точным квадратом, но его можно разложить на множители, один из которых — точный квадрат: $27 = 9 \times 3$.

Таким образом, полное разложение числа 675 на удобные для извлечения корня множители:
$675 = 25 \times 9 \times 3$.

Подставим это в корень:
$\sqrt{675} = \sqrt{25 \times 9 \times 3}$.

Используя свойство корней, получаем:
$\sqrt{25 \times 9 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 5 \times 3 \times \sqrt{3} = 15\sqrt{3}$.

Ответ: $15\sqrt{3}$.

г) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{108}$. Для этого найдем наибольший делитель числа 108, который является полным квадратом.

Переберем делители-квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, ...

108 делится на 4: $108 = 4 \times 27$.
108 делится на 9: $108 = 9 \times 12$.
108 делится на 36: $108 = 36 \times 3$.

Наибольший квадрат, на который делится 108, это 36. Используем это разложение.

Представим подкоренное выражение в виде произведения:
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3}$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $6\sqrt{3}$.

16.6 a) $\frac{2}{3}\sqrt{45};$

б) $\frac{1}{2}\sqrt{120};$

в) $\frac{1}{10}\sqrt{200};$

г) $\frac{1}{5}\sqrt{150}.$

а) Чтобы внести множитель $\frac{2}{3}$ под знак корня, нужно возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Положительный множитель $a$ вносится под знак корня по формуле $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$.

$\frac{2}{3}\sqrt{45} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 45} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 45}$

Выполним умножение под корнем, сократив $9$ и $45$ на $9$:

$\sqrt{\frac{4 \cdot 45}{9}} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$

Ответ: $\sqrt{20}$

б) Внесем множитель $\frac{1}{2}$ под знак корня. Для этого возведем $\frac{1}{2}$ в квадрат и умножим на $120$.

$\frac{1}{2}\sqrt{120} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 120} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 120}$

Вычислим произведение под корнем:

$\sqrt{\frac{120}{4}} = \sqrt{30}$

Ответ: $\sqrt{30}$

в) Внесем множитель $\frac{1}{10}$ под знак корня. Возведем его в квадрат и умножим на подкоренное выражение $200$.

$\frac{1}{10}\sqrt{200} = \sqrt{(\frac{1}{10})^2 \cdot 200} = \sqrt{\frac{1}{100} \cdot 200}$

Вычислим значение подкоренного выражения:

$\sqrt{\frac{200}{100}} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

г) Внесем множитель $\frac{1}{5}$ под знак корня. Возведем его в квадрат и умножим на $150$.

$\frac{1}{5}\sqrt{150} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 \cdot 150} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 150}$

Вычислим произведение под знаком корня:

$\sqrt{\frac{150}{25}} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

16.7 a) $ \sqrt{\frac{8}{27}}; $

б) $ \sqrt{\frac{40}{63}}; $

в) $ \sqrt{\frac{54}{125}}; $

г) $ \sqrt{\frac{243}{128}}. $

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{8}{27}}$, воспользуемся свойством корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$

Теперь упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.

Числитель: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Знаменатель: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2 \cdot 3}}{3 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$

б)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{40}{63}}$, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{40}{63}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{63}}$

Вынесем множители из-под знака корня в числителе и знаменателе:

Числитель: $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Знаменатель: $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

Получаем дробь:

$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{63}} = \frac{2\sqrt{10}}{3\sqrt{7}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\frac{2\sqrt{10}}{3\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{7}}{3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{10 \cdot 7}}{3 \cdot (\sqrt{7})^2} = \frac{2\sqrt{70}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{70}}{21}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{70}}{21}$

в)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{54}{125}}$, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{54}{125}} = \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{125}}$

Вынесем множители из-под знака корня:

Числитель: $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

Знаменатель: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в дробь:

$\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{125}} = \frac{3\sqrt{6}}{5\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{3\sqrt{6}}{5\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{5\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{6 \cdot 5}}{5 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{3\sqrt{30}}{5 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{30}}{25}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{30}}{25}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{243}{128}}$, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{243}{128}} = \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{128}}$

Вынесем множители из-под знака корня:

Числитель: $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Знаменатель: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Получаем дробь:

$\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{128}} = \frac{9\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{9\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{3 \cdot 2}}{8 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{9\sqrt{6}}{8 \cdot 2} = \frac{9\sqrt{6}}{16}$

Ответ: $\frac{9\sqrt{6}}{16}$

16.8 а) $\sqrt{1\frac{1}{12}};$

б) $\sqrt{10\frac{1}{8}};$

в) $\sqrt{1\frac{13}{32}};$

г) $\sqrt{1\frac{17}{81}}.$

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{1\frac{1}{12}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$
Теперь извлечем корень из этой дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{1\frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{13}{12}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{12}}$
Упростим знаменатель, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение:
$\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{13 \cdot 3}}{2 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{39}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{39}}{6}$
Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{6}$

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{10\frac{1}{8}}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$10\frac{1}{8} = \frac{10 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{81}{8}$
Теперь извлечем корень из полученной дроби:
$\sqrt{10\frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{81}{8}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{8}}$
Упростим числитель и знаменатель:
$\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{9}{2\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{9}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{4}$

в)

Упростим выражение $\sqrt{1\frac{13}{32}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{13}{32} = \frac{1 \cdot 32 + 13}{32} = \frac{45}{32}$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{1\frac{13}{32}} = \sqrt{\frac{45}{32}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{32}}$
Упростим числитель и знаменатель, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
Подставим упрощенные значения в дробь:
$\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5 \cdot 2}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{10}}{8}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{8}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{1\frac{17}{81}}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{17}{81} = \frac{1 \cdot 81 + 17}{81} = \frac{98}{81}$
Извлечем корень из дроби:
$\sqrt{1\frac{17}{81}} = \sqrt{\frac{98}{81}} = \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{81}}$
Знаменатель является полным квадратом: $\sqrt{81} = 9$.
Упростим числитель, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$
Запишем итоговое выражение:
$\frac{7\sqrt{2}}{9}$
Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{9}$

16.9 Сравните значения выражений:

а) $A = 3\sqrt{50}, B = 2\sqrt{98};$

б) $A = 3\sqrt{\frac{8}{9}}, B = \frac{1}{2}\sqrt{48};$

в) $A = 4\sqrt{48}, B = 5\sqrt{27};$

г) $A = \frac{1}{7}\sqrt{80}, B = 2\sqrt{\frac{24}{49}}.$

а) Чтобы сравнить значения выражений $A = 3\sqrt{50}$ и $B = 2\sqrt{98}$, необходимо привести их к одинаковому подкоренному выражению. Для этого вынесем множитель из-под знака корня.
Упростим выражение A:
$A = 3\sqrt{50} = 3\sqrt{25 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
Упростим выражение B:
$B = 2\sqrt{98} = 2\sqrt{49 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$.
Теперь сравним полученные результаты: $15\sqrt{2}$ и $14\sqrt{2}$.
Поскольку оба выражения имеют одинаковый множитель $\sqrt{2}$, а $15 > 14$, то $15\sqrt{2} > 14\sqrt{2}$.
Следовательно, $A > B$.
Ответ: $A > B$.

б) Сравним значения выражений $A = 3\sqrt{\frac{8}{9}}$ и $B = \frac{1}{2}\sqrt{48}$.
Упростим выражение A:
$A = 3\sqrt{\frac{8}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Упростим выражение B:
$B = \frac{1}{2}\sqrt{48} = \frac{1}{2}\sqrt{16 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Теперь сравним полученные результаты: $2\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$.
Коэффициенты перед корнями одинаковы и равны 2. Сравним подкоренные выражения: $2 < 3$, следовательно $\sqrt{2} < \sqrt{3}$.
Таким образом, $2\sqrt{2} < 2\sqrt{3}$, что означает $A < B$.
Ответ: $A < B$.

в) Сравним значения выражений $A = 4\sqrt{48}$ и $B = 5\sqrt{27}$.
Упростим каждое выражение, вынеся множитель из-под знака корня.
Упростим выражение A:
$A = 4\sqrt{48} = 4\sqrt{16 \cdot 3} = 4 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$.
Упростим выражение B:
$B = 5\sqrt{27} = 5\sqrt{9 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$.
Теперь сравним полученные результаты: $16\sqrt{3}$ и $15\sqrt{3}$.
Поскольку $\sqrt{3}$ является общим множителем, а $16 > 15$, то $16\sqrt{3} > 15\sqrt{3}$.
Следовательно, $A > B$.
Ответ: $A > B$.

г) Сравним значения выражений $A = \frac{1}{7}\sqrt{80}$ и $B = 2\sqrt{\frac{24}{49}}$.
Упростим каждое выражение.
Упростим выражение A:
$A = \frac{1}{7}\sqrt{80} = \frac{1}{7}\sqrt{16 \cdot 5} = \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{7} \cdot 4\sqrt{5} = \frac{4\sqrt{5}}{7}$.
Упростим выражение B:
$B = 2\sqrt{\frac{24}{49}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{7} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = \frac{4\sqrt{6}}{7}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\frac{4\sqrt{5}}{7}$ и $\frac{4\sqrt{6}}{7}$.
Оба выражения имеют одинаковый множитель $\frac{4}{7}$. Сравним оставшиеся множители $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$. Так как $5 < 6$, то $\sqrt{5} < \sqrt{6}$.
Следовательно, $\frac{4\sqrt{5}}{7} < \frac{4\sqrt{6}}{7}$, что означает $A < B$.
Ответ: $A < B$.

Вынесите множитель из-под знака корня*:

16.10 a) $\sqrt{4a}$;

б) $\sqrt{25b}$;

в) $\sqrt{16c}$;

г) $\sqrt{49d}$.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, из которых можно точно извлечь квадратный корень. Основное свойство, которое мы будем использовать, — это свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$).

Во всех примерах мы предполагаем, что переменные под корнем неотрицательны, чтобы выражение имело смысл.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{4a}$.

Подкоренное выражение $4a$ можно представить в виде произведения $4 \cdot a$.

Применяя свойство корня из произведения, получаем:

$\sqrt{4a} = \sqrt{4 \cdot a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a}$

Поскольку квадратный корень из 4 равен 2 ($\sqrt{4} = 2$), мы можем вынести этот множитель:

$2 \cdot \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$

Ответ: $2\sqrt{a}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{25b}$.

Представим подкоренное выражение $25b$ как произведение $25 \cdot b$.

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{25b} = \sqrt{25 \cdot b} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{b}$

Так как $\sqrt{25} = 5$, получаем:

$5 \cdot \sqrt{b} = 5\sqrt{b}$

Ответ: $5\sqrt{b}$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{16c}$.

Представим подкоренное выражение $16c$ как произведение $16 \cdot c$.

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt{16c} = \sqrt{16 \cdot c} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{c}$

Поскольку $\sqrt{16} = 4$, то:

$4 \cdot \sqrt{c} = 4\sqrt{c}$

Ответ: $4\sqrt{c}$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{49d}$.

Представим подкоренное выражение $49d$ как произведение $49 \cdot d$.

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{49d} = \sqrt{49 \cdot d} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{d}$

Так как $\sqrt{49} = 7$, получаем:

$7 \cdot \sqrt{d} = 7\sqrt{d}$

Ответ: $7\sqrt{d}$

16.11 a) $\sqrt{a^3}$;

б) $\sqrt{b^5}$;

в) $\sqrt{c^7}$;

г) $\sqrt{d^{11}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{a^3}$, необходимо представить подкоренное выражение $a^3$ в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Поскольку показатель степени 3 — нечетное число, мы можем разложить его на сумму ближайшего четного числа и единицы: $3 = 2 + 1$.
Следовательно, $a^3 = a^{2+1} = a^2 \cdot a$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), получаем: $\sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a}$.
Так как $\sqrt{a^2} = a$ (при условии, что $a \ge 0$, что необходимо для существования корня $\sqrt{a^3}$ в действительных числах), то окончательное упрощенное выражение выглядит так: $a\sqrt{a}$.

Ответ: $a\sqrt{a}$

б) В выражении $\sqrt{b^5}$ нужно вынести множитель из-под знака корня. Показатель степени 5 — нечетное число. Представим его как сумму ближайшего четного числа и единицы: $5 = 4 + 1$.
Тогда $b^5 = b^{4+1} = b^4 \cdot b$.
Подставим это в корень: $\sqrt{b^5} = \sqrt{b^4 \cdot b}$.
Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{b^4 \cdot b} = \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{b}$.
Упростим корень из четной степени: $\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = b^2$ (при $b \ge 0$).
В результате получаем: $b^2\sqrt{b}$.

Ответ: $b^2\sqrt{b}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{c^7}$. Чтобы вынести множитель из-под знака корня, разложим подкоренное выражение $c^7$ на множители. Показатель степени 7 — нечетный. Разложим его на сумму четного числа и единицы: $7 = 6 + 1$.
Следовательно, $c^7 = c^{6+1} = c^6 \cdot c$.
Исходное выражение примет вид: $\sqrt{c^7} = \sqrt{c^6 \cdot c}$.
Используем свойство корня от произведения: $\sqrt{c^6 \cdot c} = \sqrt{c^6} \cdot \sqrt{c}$.
Вычислим корень из множителя с четной степенью: $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = c^3$ (при $c \ge 0$).
Окончательный результат: $c^3\sqrt{c}$.

Ответ: $c^3\sqrt{c}$

г) В выражении $\sqrt{d^{11}}$ вынесем множитель из-под знака корня. Показатель степени 11 — нечетное число. Представим его как $11 = 10 + 1$.
Тогда $d^{11} = d^{10+1} = d^{10} \cdot d$.
Подставим в исходное выражение: $\sqrt{d^{11}} = \sqrt{d^{10} \cdot d}$.
Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{d^{10} \cdot d} = \sqrt{d^{10}} \cdot \sqrt{d}$.
Упростим корень из четной степени: $\sqrt{d^{10}} = \sqrt{(d^5)^2} = d^5$ (при $d \ge 0$).
Таким образом, мы получаем: $d^5\sqrt{d}$.

Ответ: $d^5\sqrt{d}$

16.12 a) $\sqrt{x^{15}y^2}$;

б) $\sqrt{x^8t^9}$;

в) $\sqrt{m^{21}n^{16}}$;

г) $\sqrt{p^{10}q^{13}}$.

Для упрощения выражения $\sqrt{x^{15}y^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (при $a \ge 0$ и $b \ge 0$). Подкоренное выражение $x^{15}y^2$ должно быть неотрицательным. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то необходимо, чтобы $x^{15} \ge 0$, что равносильно условию $x \ge 0$. Разложим корень на множители: $\sqrt{x^{15}y^2} = \sqrt{x^{15}} \cdot \sqrt{y^2}$ Упростим каждый множитель. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{y^2} = |y|$. Для $\sqrt{x^{15}}$, представим степень с нечетным показателем $15$ в виде произведения множителей, один из которых имеет наибольшую возможную четную степень: $x^{15} = x^{14} \cdot x$. $\sqrt{x^{15}} = \sqrt{x^{14} \cdot x} = \sqrt{x^{14}} \cdot \sqrt{x}$ Теперь упростим $\sqrt{x^{14}}$, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $x^{14} = (x^7)^2$. $\sqrt{x^{14}} = \sqrt{(x^7)^2} = |x^7|$. Так как мы определили, что $x \ge 0$, то $x^7 \ge 0$, и следовательно $|x^7| = x^7$. Таким образом, $\sqrt{x^{15}} = x^7\sqrt{x}$. Объединим полученные результаты: $\sqrt{x^{15}y^2} = (x^7\sqrt{x}) \cdot |y| = x^7|y|\sqrt{x}$.

Ответ: $x^7|y|\sqrt{x}$

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^8 t^9}$. Подкоренное выражение $x^8 t^9$ должно быть неотрицательным. Так как $x^8 = (x^4)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то должно выполняться условие $t^9 \ge 0$, что равносильно $t \ge 0$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{x^8 t^9} = \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{t^9}$ Упростим каждый множитель. $\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Поскольку $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$), то $|x^4| = x^4$. Для $\sqrt{t^9}$, представим $t^9$ как $t^8 \cdot t$. $\sqrt{t^9} = \sqrt{t^8 \cdot t} = \sqrt{t^8} \cdot \sqrt{t}$ Упростим $\sqrt{t^8} = \sqrt{(t^4)^2} = |t^4|$. Так как мы установили, что $t \ge 0$, то $t^4 \ge 0$, и $|t^4| = t^4$. Таким образом, $\sqrt{t^9} = t^4\sqrt{t}$. Объединим результаты: $\sqrt{x^8 t^9} = x^4 \cdot t^4\sqrt{t} = x^4t^4\sqrt{t}$.

Ответ: $x^4t^4\sqrt{t}$

Рассмотрим выражение $\sqrt{m^{21} n^{16}}$. Подкоренное выражение $m^{21} n^{16}$ должно быть неотрицательным. Так как $n^{16} = (n^8)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $n$, то должно выполняться условие $m^{21} \ge 0$, что равносильно $m \ge 0$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{m^{21} n^{16}} = \sqrt{m^{21}} \cdot \sqrt{n^{16}}$ Упростим каждый множитель. Для $\sqrt{m^{21}}$, представим $m^{21}$ как $m^{20} \cdot m$. $\sqrt{m^{21}} = \sqrt{m^{20} \cdot m} = \sqrt{m^{20}} \cdot \sqrt{m}$ Упростим $\sqrt{m^{20}} = \sqrt{(m^{10})^2} = |m^{10}|$. Так как $m \ge 0$, то $m^{10} \ge 0$, и $|m^{10}| = m^{10}$. Значит, $\sqrt{m^{21}} = m^{10}\sqrt{m}$. Для $\sqrt{n^{16}}$, имеем $\sqrt{n^{16}} = \sqrt{(n^8)^2} = |n^8|$. Поскольку $n^8$ всегда неотрицательно, $|n^8| = n^8$. Объединим результаты: $\sqrt{m^{21} n^{16}} = (m^{10}\sqrt{m}) \cdot n^8 = m^{10}n^8\sqrt{m}$.

Ответ: $m^{10}n^8\sqrt{m}$

Рассмотрим выражение $\sqrt{p^{10} q^{13}}$. Подкоренное выражение $p^{10} q^{13}$ должно быть неотрицательным. Так как $p^{10} = (p^5)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $p$, то должно выполняться условие $q^{13} \ge 0$, что равносильно $q \ge 0$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{p^{10} q^{13}} = \sqrt{p^{10}} \cdot \sqrt{q^{13}}$ Упростим каждый множитель. $\sqrt{p^{10}} = \sqrt{(p^5)^2} = |p^5|$. Знак $p$ неизвестен, поэтому модуль необходимо оставить. Для $\sqrt{q^{13}}$, представим $q^{13}$ как $q^{12} \cdot q$. $\sqrt{q^{13}} = \sqrt{q^{12} \cdot q} = \sqrt{q^{12}} \cdot \sqrt{q}$ Упростим $\sqrt{q^{12}} = \sqrt{(q^6)^2} = |q^6|$. Так как $q \ge 0$, то $q^6 \ge 0$, и $|q^6| = q^6$. Таким образом, $\sqrt{q^{13}} = q^6\sqrt{q}$. Объединим результаты: $\sqrt{p^{10} q^{13}} = |p^5| \cdot q^6\sqrt{q} = |p^5|q^6\sqrt{q}$.

Ответ: $|p^5|q^6\sqrt{q}$

16.13 a) $\sqrt{100x^3}$;

б) $\sqrt{32y^4}$;

в) $\sqrt{96z^5}$;

г) $\sqrt{50t^{10}}$.

a) Для того чтобы упростить выражение $ \sqrt{100x^3} $, нужно вынести множитель из-под знака корня. Область допустимых значений для данного выражения определяется условием $ 100x^3 \ge 0 $, что означает $ x^3 \ge 0 $, и, следовательно, $ x \ge 0 $.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень. Мы ищем множители, являющиеся полными квадратами.

$ \sqrt{100x^3} = \sqrt{100 \cdot x^2 \cdot x} $

Используем свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для $ a \ge 0, b \ge 0 $):

$ \sqrt{100 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} $

Теперь извлечем корни из множителей, которые являются полными квадратами:

$ \sqrt{100} = 10 $

$ \sqrt{x^2} = x $ (поскольку из области допустимых значений мы знаем, что $ x \ge 0 $)

Собираем полученные множители:

$ 10 \cdot x \cdot \sqrt{x} = 10x\sqrt{x} $

Ответ: $ 10x\sqrt{x} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{32y^4} $. Подкоренное выражение $ 32y^4 $ всегда неотрицательно, так как $ y^4 \ge 0 $ для любого действительного значения $ y $. Поэтому выражение определено для всех $ y $.

Разложим число 32 на множители так, чтобы выделить наибольший возможный полный квадрат:

$ 32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2 $

Степень переменной $ y^4 $ уже является полным квадратом, так как $ y^4 = (y^2)^2 $.

Перепишем исходное выражение:

$ \sqrt{32y^4} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot y^4} $

Используя свойство корня из произведения, вынесем множители из-под корня:

$ \sqrt{16 \cdot y^4 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{2} $

Извлекаем корни:

$ \sqrt{16} = 4 $

$ \sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = y^2 $ (результат $ y^2 $ всегда неотрицателен, поэтому модуль не требуется)

Объединяем результаты:

$ 4 \cdot y^2 \cdot \sqrt{2} = 4y^2\sqrt{2} $

Ответ: $ 4y^2\sqrt{2} $

в) Упростим выражение $ \sqrt{96z^5} $. Область допустимых значений определяется условием $ 96z^5 \ge 0 $, что означает $ z^5 \ge 0 $, следовательно, $ z \ge 0 $.

Разложим число 96 и переменную $ z^5 $ на множители, выделяя полные квадраты:

$ 96 = 16 \cdot 6 = 4^2 \cdot 6 $

$ z^5 = z^4 \cdot z = (z^2)^2 \cdot z $

Перепишем исходное выражение, сгруппировав полные квадраты:

$ \sqrt{96z^5} = \sqrt{16 \cdot z^4 \cdot 6z} $

Используем свойство корня из произведения:

$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{z^4} \cdot \sqrt{6z} $

Извлекаем корни:

$ \sqrt{16} = 4 $

$ \sqrt{z^4} = \sqrt{(z^2)^2} = z^2 $

Собираем все вместе:

$ 4 \cdot z^2 \cdot \sqrt{6z} = 4z^2\sqrt{6z} $

Ответ: $ 4z^2\sqrt{6z} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{50t^{10}} $. Подкоренное выражение $ 50t^{10} $ всегда неотрицательно, так как $ t^{10} = (t^5)^2 \ge 0 $ для любого действительного значения $ t $. Выражение определено для всех $ t $.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты:

$ 50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 $

$ t^{10} = (t^5)^2 $

Перепишем исходное выражение:

$ \sqrt{50t^{10}} = \sqrt{25 \cdot t^{10} \cdot 2} $

Используем свойство корня из произведения:

$ \sqrt{25} \cdot \sqrt{t^{10}} \cdot \sqrt{2} $

Извлекаем корни:

$ \sqrt{25} = 5 $

$ \sqrt{t^{10}} = \sqrt{(t^5)^2} = |t^5| $. Необходимо использовать знак модуля, так как переменная $ t $ может принимать отрицательные значения. В этом случае $ t^5 $ будет отрицательным, но результат извлечения корня $ \sqrt{t^{10}} $ должен быть неотрицательным.

Объединяем результаты:

$ 5 \cdot |t^5| \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}|t^5| $

Ответ: $ 5\sqrt{2}|t^5| $

16.14 а) $\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}$;

б) $\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}$;

в) $\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}$;

г) $\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}}$.

а)

Для упрощения данного выражения $\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}$ вынесем множители из-под знака корня. Будем считать, что переменные $m$ и $n$ принимают значения, при которых выражение под корнем неотрицательно, и знаменатель не равен нулю, то есть $m \ge 0$ и $n > 0$.

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{m^3}{n^3}} = \frac{\sqrt{m^3}}{\sqrt{n^3}}$

Представим подкоренные выражения в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень: $m^3 = m^2 \cdot m$ и $n^3 = n^2 \cdot n$.

$\frac{\sqrt{m^2 \cdot m}}{\sqrt{n^2 \cdot n}} = \frac{\sqrt{m^2}\sqrt{m}}{\sqrt{n^2}\sqrt{n}}$

Так как мы предположили, что $m \ge 0$ и $n > 0$, то $\sqrt{m^2} = m$ и $\sqrt{n^2} = n$.

$\frac{m\sqrt{m}}{n\sqrt{n}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе (рационализировать знаменатель), умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{n}$:

$\frac{m\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}}{n\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}} = \frac{m\sqrt{mn}}{n \cdot n} = \frac{m\sqrt{mn}}{n^2}$

Ответ: $\frac{m\sqrt{mn}}{n^2}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}$ будем считать, что переменные $x$ и $y$ принимают значения, при которых выражение имеет смысл, то есть $x \ge 0$ и $y > 0$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение так, чтобы из знаменателя можно было извлечь корень. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на $2y$, чтобы получить в знаменателе полный квадрат:

$\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}} = \sqrt{\frac{x^3 \cdot 2y}{8y^3 \cdot 2y}} = \sqrt{\frac{2x^3y}{16y^4}}$

Теперь воспользуемся свойством корня из дроби:

$\frac{\sqrt{2x^3y}}{\sqrt{16y^4}}$

Упростим числитель и знаменатель. В числителе представим $x^3$ как $x^2 \cdot x$. В знаменателе $\sqrt{16y^4} = \sqrt{16 \cdot (y^2)^2} = 4y^2$.

$\frac{\sqrt{2 \cdot x^2 \cdot x \cdot y}}{4y^2} = \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{2xy}}{4y^2}$

Вынесем множитель из-под корня в числителе. Так как мы предположили $x \ge 0$, то $\sqrt{x^2} = x$:

$\frac{x\sqrt{2xy}}{4y^2}$

Ответ: $\frac{x\sqrt{2xy}}{4y^2}$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}$. Для того чтобы оно имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как $81c^6 = 81(c^3)^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, необходимо, чтобы знаменатель был положителен: $a^3 > 0$, что означает $a > 0$.

Упростим выражение, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}} = \frac{\sqrt{81c^6}}{\sqrt{a^3}}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности:

$\sqrt{81c^6} = \sqrt{9^2 \cdot (c^3)^2} = 9|c^3|$

$\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a}$ (так как $a>0$)

Подставим упрощенные части обратно в дробь:

$\frac{9|c^3|}{a\sqrt{a}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$:

$\frac{9|c^3| \cdot \sqrt{a}}{a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{9|c^3|\sqrt{a}}{a \cdot a} = \frac{9|c^3|\sqrt{a}}{a^2}$

Ответ: $\frac{9|c^3|\sqrt{a}}{a^2}$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}}$. Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{32c^7}{9b^6} \ge 0$.

Знаменатель $9b^6 = 9(b^3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы он не был равен нулю, нужно $b \neq 0$. Числитель $32c^7$ должен быть неотрицательным, что означает $c^7 \ge 0$, и, следовательно, $c \ge 0$.

Теперь упростим выражение, разделив корень дроби на дробь корней:

$\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}} = \frac{\sqrt{32c^7}}{\sqrt{9b^6}}$

Упростим числитель, выделив полные квадраты:

$\sqrt{32c^7} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot c^6 \cdot c} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{c^6} \cdot \sqrt{2c}$

Так как $c \ge 0$, то $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = c^3$. Значит, числитель равен $4c^3\sqrt{2c}$.

Упростим знаменатель:

$\sqrt{9b^6} = \sqrt{9 \cdot (b^3)^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(b^3)^2} = 3|b^3|$

Объединяем упрощенные числитель и знаменатель:

$\frac{4c^3\sqrt{2c}}{3|b^3|}$

Ответ: $\frac{4c^3\sqrt{2c}}{3|b^3|}$

16.15 а) $\sqrt{\frac{50m^4 n^3}{9r^4}}$;

б) $\sqrt{\frac{9x^2y}{4z^2}}$;

в) $\sqrt{\frac{72a^6b^7}{49y^8}}$;

г) $\sqrt{\frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6}}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{\frac{50m^4n^3}{9r^4}} $, воспользуемся свойством корня из дроби $ \sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} $ (при $ A \ge 0, B > 0 $).

$ \sqrt{\frac{50m^4n^3}{9r^4}} = \frac{\sqrt{50m^4n^3}}{\sqrt{9r^4}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{50m^4n^3} $. Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы можно было извлечь корень из части из них.

$ 50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 $

$ m^4 = (m^2)^2 $

$ n^3 = n^2 \cdot n $

Тогда $ \sqrt{50m^4n^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot m^4 \cdot n^2 \cdot n} = \sqrt{25 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 \cdot 2n} $.

Вынесем множители из-под знака корня: $ \sqrt{25}\sqrt{(m^2)^2}\sqrt{n^2}\sqrt{2n} = 5m^2|n|\sqrt{2n} $.

Так как под корнем стоит $ n^3 $, то $ n^3 \ge 0 $, что означает $ n \ge 0 $. Следовательно, $ |n| = n $.

Числитель равен $ 5m^2n\sqrt{2n} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{9r^4} = \sqrt{9 \cdot (r^2)^2} = \sqrt{9}\sqrt{(r^2)^2} = 3r^2 $.

Объединяем числитель и знаменатель: $ \frac{5m^2n\sqrt{2n}}{3r^2} $.

Ответ: $ \frac{5m^2n\sqrt{2n}}{3r^2} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{9x^2y}{4z^2}} $.

$ \sqrt{\frac{9x^2y}{4z^2}} = \frac{\sqrt{9x^2y}}{\sqrt{4z^2}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{9x^2y} = \sqrt{9 \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt{9}\sqrt{x^2}\sqrt{y} = 3|x|\sqrt{y} $.

Подкоренное выражение $ \frac{9x^2y}{4z^2} $ должно быть неотрицательным. Так как $ 9x^2 \ge 0 $ и $ 4z^2 > 0 $, это требует, чтобы $ y \ge 0 $. Это согласуется с наличием $ \sqrt{y} $ в результате.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{4z^2} = \sqrt{4 \cdot z^2} = \sqrt{4}\sqrt{z^2} = 2|z| $.

Объединяем числитель и знаменатель: $ \frac{3|x|\sqrt{y}}{2|z|} $.

Ответ: $ \frac{3|x|\sqrt{y}}{2|z|} $

в) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{72a^6b^7}{49y^8}} $.

$ \sqrt{\frac{72a^6b^7}{49y^8}} = \frac{\sqrt{72a^6b^7}}{\sqrt{49y^8}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{72a^6b^7} $. Разложим на множители.

$ 72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2 $

$ a^6 = (a^3)^2 $

$ b^7 = b^6 \cdot b = (b^3)^2 \cdot b $

$ \sqrt{72a^6b^7} = \sqrt{36 \cdot 2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot b} = \sqrt{36}\sqrt{(a^3)^2}\sqrt{(b^3)^2}\sqrt{2b} = 6|a^3||b^3|\sqrt{2b} $.

Из условия, что $ b^7 $ стоит под корнем, следует $ b^7 \ge 0 $, то есть $ b \ge 0 $. Тогда $ b^3 \ge 0 $ и $ |b^3| = b^3 $.

Числитель равен $ 6|a^3|b^3\sqrt{2b} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{49y^8} = \sqrt{49 \cdot (y^4)^2} = \sqrt{49}\sqrt{(y^4)^2} = 7y^4 $ (поскольку $ y^4 \ge 0 $).

Объединяем: $ \frac{6|a^3|b^3\sqrt{2b}}{7y^4} $.

Ответ: $ \frac{6|a^3|b^3\sqrt{2b}}{7y^4} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6}} $.

$ \sqrt{\frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6}} = \frac{\sqrt{27x^{11}y^{13}}}{\sqrt{25w^6}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{27x^{11}y^{13}} $. Разложим на множители.

$ 27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3 $

$ x^{11} = x^{10} \cdot x = (x^5)^2 \cdot x $

$ y^{13} = y^{12} \cdot y = (y^6)^2 \cdot y $

$ \sqrt{27x^{11}y^{13}} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot (x^5)^2 \cdot x \cdot (y^6)^2 \cdot y} = \sqrt{9}\sqrt{(x^5)^2}\sqrt{(y^6)^2}\sqrt{3xy} = 3|x^5|y^6\sqrt{3xy} $.

Здесь $ \sqrt{(y^6)^2} = |y^6| = y^6 $, так как $ y^6 \ge 0 $ для любого $ y $.

Подкоренное выражение $ \frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6} $ должно быть неотрицательным. Это означает, что $ x^{11}y^{13} \ge 0 $, что равносильно $ xy \ge 0 $. Это условие обеспечивает, что выражение $ \sqrt{3xy} $ определено.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{25w^6} = \sqrt{25 \cdot (w^3)^2} = \sqrt{25}\sqrt{(w^3)^2} = 5|w^3| $.

Объединяем: $ \frac{3|x^5|y^6\sqrt{3xy}}{5|w^3|} $.

Ответ: $ \frac{3|x^5|y^6\sqrt{3xy}}{5|w^3|} $