Страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Что необходимо сделать, чтобы внести множитель под знак квадратного корня?

Чтобы внести множитель под знак квадратного корня, необходимо представить этот множитель в виде квадратного корня и затем использовать свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$. При этом важно учитывать знак множителя, который стоит перед корнем. Рассмотрим два случая.

1. Если множитель неотрицателен ($a \ge 0$)

Если множитель $a$, стоящий перед корнем, является положительным числом или нулем, его нужно возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение $b$. Это следует из того, что для $a \ge 0$ справедливо равенство $a = \sqrt{a^2}$.

Формула: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$

Пример: Внести множитель под знак корня в выражении $7\sqrt{2}$.

Решение: Поскольку $7 > 0$, мы возводим 7 в квадрат и помещаем под знак корня:
$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.

2. Если множитель отрицателен ($a < 0$)

Если множитель $a$ является отрицательным числом, то под знак корня можно внести только его модуль $|a|$, а знак "минус" должен остаться перед корнем. Это необходимо, чтобы не изменить знак всего выражения, так как значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно.

Формула: $a\sqrt{b} = -|a|\sqrt{b} = -\sqrt{|a|^2 \cdot b} = -\sqrt{a^2 \cdot b}$

Пример: Внести множитель под знак корня в выражении $-3\sqrt{5}$.

Решение: Поскольку $-3 < 0$, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим число $3$, возведенное в квадрат:
$-3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45}$.
Обратите внимание, что $-3\sqrt{5} \ne \sqrt{(-3)^2 \cdot 5}$, так как $\sqrt{(-3)^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$, а исходное выражение было отрицательным.

Ответ: Чтобы внести множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести его в квадрат и записать под знаком корня в качестве сомножителя к уже существующему подкоренному выражению. Если исходный множитель был отрицательным, то перед новым выражением с корнем необходимо сохранить знак "минус".

4. Известно, что $a < 0$. Верно ли, что $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$?

Рассмотрим данное равенство: $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$. По условию задачи известно, что $a < 0$. Для того чтобы выражение $\sqrt{bc}$ имело смысл в области действительных чисел, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $bc \ge 0$.

Проанализируем правую часть равенства: $\sqrt{a^2bc}$. Используя свойство квадратного корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), мы можем преобразовать выражение:
$\sqrt{a^2bc} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{k^2} = |k|$ (модуль числа $k$).
Следовательно, $\sqrt{a^2} = |a|$.
Таким образом, правая часть равенства принимает вид: $\sqrt{a^2bc} = |a|\sqrt{bc}$.

Теперь воспользуемся условием, что $a < 0$. По определению модуля, если число отрицательное, его модуль равен этому числу, взятому с противоположным знаком: $|a| = -a$.
Подставив это в наше выражение для правой части, получаем: $|a|\sqrt{bc} = -a\sqrt{bc}$.

Теперь сравним исходную левую часть ($a\sqrt{bc}$) с преобразованной правой частью ($-a\sqrt{bc}$).
Равенство $a\sqrt{bc} = -a\sqrt{bc}$ будет верным, только если $a\sqrt{bc} = 0$. Поскольку по условию $a < 0$ ($a \neq 0$), это возможно лишь при условии $bc = 0$.

Однако, если мы рассмотрим общий случай, когда $bc > 0$, то левая часть $a\sqrt{bc}$ будет отрицательным числом (так как $a < 0$ и $\sqrt{bc} > 0$), а правая часть $\sqrt{a^2bc}$ — значением арифметического корня, которое по определению всегда неотрицательно ( $\ge 0$ ). Отрицательное число не может равняться положительному.

Чтобы окончательно убедиться в неверности утверждения, приведем контрпример.
Пусть $a = -2$, $b = 9$, $c = 1$. Условия $a < 0$ и $bc \ge 0$ выполнены.
Вычислим левую часть: $a\sqrt{bc} = -2\sqrt{9 \cdot 1} = -2\sqrt{9} = -2 \cdot 3 = -6$.
Вычислим правую часть: $\sqrt{a^2bc} = \sqrt{(-2)^2 \cdot 9 \cdot 1} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$.
Сравнивая результаты, получаем $-6 \neq 6$.

Следовательно, данное равенство неверно при $a < 0$ и $bc > 0$. Правило внесения отрицательного множителя под знак квадратного корня выглядит так: $a\sqrt{x} = -\sqrt{a^2x}$ при $a < 0$.

Ответ: утверждение неверно.

6. Какую операцию называют освобождением от иррациональности в знаменателе?

Освобождением от иррациональности в знаменателе называют тождественное преобразование дроби, цель которого — исключить из знаменателя иррациональные числа (чаще всего, выражения с корнями). В результате этого преобразования получается равная исходной дробь, но со знаменателем, не содержащим иррациональности. Эта операция упрощает дальнейшие вычисления и приводит выражение к стандартному виду.

Основной метод — умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение, которое подбирается таким образом, чтобы после умножения знаменатель стал рациональным числом.

Случай 1: Знаменатель содержит один квадратный корень

Если знаменатель имеет вид $\sqrt{a}$ или $b\sqrt{a}$, то для устранения иррациональности достаточно умножить числитель и знаменатель на этот же корень, то есть на $\sqrt{a}$. При этом используется свойство $(\sqrt{a})^2 = a$.

Пример: Преобразовать дробь $\frac{5}{\sqrt{3}}$.
Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.
Теперь знаменатель — рациональное число $3$.

Случай 2: Знаменатель является суммой или разностью с квадратным корнем

Если знаменатель представляет собой выражение вида $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, $a + \sqrt{b}$ или $a - \sqrt{b}$, то используется умножение на сопряженное выражение. Сопряженное выражение отличается от исходного только знаком между слагаемыми. Это позволяет применить формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

• Для выражения $a+\sqrt{b}$ сопряженным является $a-\sqrt{b}$.
• Для выражения $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ сопряженным является $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Пример: Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$.
Знаменатель равен $\sqrt{7} - \sqrt{5}$. Сопряженное ему выражение — $\sqrt{7} + \sqrt{5}$. Умножаем на него числитель и знаменатель:
$\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7} + \sqrt{5})$.
В результате знаменатель стал равен $1$, что является рациональным числом.

Ответ: Освобождением от иррациональности в знаменателе называют преобразование дроби к виду, в котором знаменатель не содержит знаков радикала (корня) или других иррациональных выражений. Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на специально подобранное выражение (часто — сопряженное к знаменателю), в результате чего значение дроби не меняется, а знаменатель становится рациональным числом.

1. Что необходимо сделать, чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня?

Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, необходимо выполнить последовательность действий, основанную на свойстве корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для неотрицательных $a$ и $b$).

Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня:

1. Представить подкоренное выражение (радиканд) в виде произведения множителей. Главная задача на этом этапе — выделить множители, являющиеся полными квадратами. Полный квадрат — это число, которое является квадратом другого целого числа (например, $9=3^2$, $49=7^2$), или переменная в четной степени (например, $x^2$, $y^4 = (y^2)^2$, $a^{10}=(a^5)^2$).
2. Применить свойство корня из произведения, разбив исходный корень на произведение корней из найденных множителей.
3. Извлечь корень из тех множителей, которые являются полными квадратами. Результат этого извлечения записывается перед знаком корня. Для переменных важно помнить правило $\sqrt{a^2}=|a|$.
4. Множители, которые не являются полными квадратами, остаются под знаком корня.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1: Вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{50} $.

1. Разложим число 50 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом. $50 = 25 \cdot 2$. Число 25 является полным квадратом, так как $25=5^2$.

2. Применяем свойство корня: $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} $.

3. Извлекаем корень из 25: $ \sqrt{25} = 5 $.

4. Получаем итоговое выражение: $ 5\sqrt{2} $.

Пример 2: Вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{12a^5b^2} $ (считая, что $ a \ge 0, b \ge 0 $).

1. Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами: $ 12a^5b^2 = (4 \cdot 3) \cdot (a^4 \cdot a) \cdot b^2 = (4 \cdot a^4 \cdot b^2) \cdot (3a) $. Здесь $4=2^2$, $a^4=(a^2)^2$ и $b^2$ — полные квадраты.

2. Применяем свойство корня: $ \sqrt{12a^5b^2} = \sqrt{(4a^4b^2) \cdot (3a)} = \sqrt{4a^4b^2} \cdot \sqrt{3a} $.

3. Извлекаем корень из части с полными квадратами: $ \sqrt{4a^4b^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2} = 2 \cdot a^2 \cdot b $. (Поскольку $a \ge 0$ и $b \ge 0$, мы можем опустить знаки модуля: $\sqrt{b^2}=|b|=b$).

4. Записываем конечный результат, объединяя вынесенный множитель и оставшуюся часть под корнем: $ 2a^2b\sqrt{3a} $.

Ответ: Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, нужно разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы среди них были полные квадраты. Затем, используя свойство $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, извлечь корень из множителей, являющихся полными квадратами, и записать результат перед знаком корня, оставив под корнем те множители, которые не являются полными квадратами.

3. Известно, что $a > 0$. Верно ли, что $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$?

Чтобы определить, является ли равенство $a\sqrt{bc} = \sqrt{a^2bc}$ верным при условии $a > 0$, необходимо преобразовать одну из частей равенства и сравнить с другой.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{a^2bc}$.

Воспользуемся свойством корней, согласно которому корень из произведения равен произведению корней из множителей (для неотрицательных множителей): $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.

Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{a^2bc} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc}$

Теперь упростим выражение $\sqrt{a^2}$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$). Таким образом, $\sqrt{a^2} = |a|$.

В условии задачи указано, что $a > 0$. Для любого положительного числа его модуль равен самому числу, то есть $|a| = a$.

Подставим это значение обратно в наше преобразование: $\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc} = |a| \cdot \sqrt{bc} = a\sqrt{bc}$

В результате преобразования мы получили, что правая часть равенства $\sqrt{a^2bc}$ равна левой части $a\sqrt{bc}$.

Важно также учесть область допустимых значений. Для того чтобы выражения имели смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для левой части $a\sqrt{bc}$ требуется, чтобы $bc \ge 0$. Для правой части $\sqrt{a^2bc}$ требуется, чтобы $a^2bc \ge 0$. Поскольку по условию $a > 0$, то $a^2$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $a^2bc \ge 0$ эквивалентно неравенству $bc \ge 0$. Области определения левой и правой частей совпадают.

Таким образом, при условии $a > 0$ равенство является верным.

Ответ: да, верно.

5. Известно, что $a < 0$. Верно ли, что $a\sqrt{bc} = -\sqrt{a^2bc}$?

Для того чтобы данное равенство имело смысл в действительных числах, подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
1. Для левой части $a\sqrt{bc}$ необходимо, чтобы $bc \ge 0$.
2. Для правой части $-\sqrt{a^2bc}$ необходимо, чтобы $a^2bc \ge 0$.

Поскольку по условию задачи $a < 0$, то $a \ne 0$, и, следовательно, $a^2$ всегда является положительным числом ($a^2 > 0$). Если мы разделим неравенство $a^2bc \ge 0$ на положительное число $a^2$, мы получим, что $bc \ge 0$. Таким образом, оба выражения определены при одном и том же условии: $bc \ge 0$.

Теперь проверим, является ли само равенство верным. Преобразуем правую часть равенства: $-\sqrt{a^2bc}$.

Используя свойство корня из произведения, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (которое справедливо для $x \ge 0, y \ge 0$), мы можем вынести множитель $a^2$ из-под корня. Так как $a^2 > 0$ и $bc \ge 0$, мы имеем право это сделать:

$-\sqrt{a^2bc} = -\sqrt{a^2 \cdot bc} = -(\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{bc})$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2}$ равно модулю числа $a$, то есть $\sqrt{a^2} = |a|$.

Значит, правая часть равна:

$-|a|\sqrt{bc}$

В условии задачи дано, что $a < 0$. По определению модуля, для любого отрицательного числа $a$ его модуль равен $|a| = -a$.

Подставим это значение модуля в наше выражение:

$-|a|\sqrt{bc} = -(-a)\sqrt{bc} = a\sqrt{bc}$

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства к виду левой части: $a\sqrt{bc}$. Это означает, что равенство $a\sqrt{bc} = -\sqrt{a^2bc}$ верно при заданном условии $a < 0$ (и необходимом условии $bc \ge 0$).

Ответ: Да, утверждение верно.

7. Что такое сопряжённое выражение?

Определение

Сопряжённое выражение — это выражение, которое обычно получается из исходного двучлена (бинома) путём смены знака между двумя его членами. Если исходное выражение имеет вид $a+b$, то сопряжённым к нему будет выражение $a-b$. Основная цель использования сопряжённых выражений — упрощение исходного выражения при умножении, в частности, избавление от корней или от мнимой части в комплексных числах.

Сопряжённые выражения в алгебре (для иррациональных чисел)

В алгебре сопряжённые выражения используются для того, чтобы избавиться от иррациональности (корня) в знаменателе дроби. Этот метод основан на формуле сокращённого умножения — разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. При умножении выражения, содержащего квадратный корень, на его сопряжённое, корень исчезает, так как возводится в квадрат.

• Для выражения $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ сопряжённым является $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.
  Их произведение: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b$.
• Для выражения $c - \sqrt{d}$ сопряжённым является $c + \sqrt{d}$.
  Их произведение: $(c - \sqrt{d})(c + \sqrt{d}) = c^2 - (\sqrt{d})^2 = c^2 - d$.

Пример. Упростить дробь $\frac{5}{3+\sqrt{2}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю, то есть на $3-\sqrt{2}$. $$ \frac{5}{3+\sqrt{2}} = \frac{5 \cdot (3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2}) \cdot (3-\sqrt{2})} = \frac{5(3-\sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{5(3-\sqrt{2})}{7} $$ В результате мы получили дробь без иррациональности в знаменателе.

Сопряжённые выражения в комплексных числах

Понятие сопряжения является ключевым и при работе с комплексными числами. Для комплексного числа $z = a + bi$ (где $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая часть, $i$ — мнимая единица) комплексно-сопряжённым числом называется число $\bar{z} = a - bi$.

Основное свойство: произведение комплексного числа на его сопряжённое всегда равно действительному неотрицательному числу. $$ z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2 $$ Это свойство используется, например, при делении комплексных чисел.

Пример. Найти частное $\frac{1+3i}{2-i}$.

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, то есть на $2+i$. $$ \frac{1+3i}{2-i} = \frac{(1+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot i + 3i \cdot 2 + 3i \cdot i}{2^2 - i^2} = \frac{2+i+6i+3i^2}{4 - (-1)} = \frac{2+7i-3}{5} = \frac{-1+7i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i $$

Ответ: Сопряжённое выражение — это выражение, которое отличается от исходного двучлена знаком между его членами. Основное применение — умножение на исходное выражение с целью его упрощения, например, для избавления от корней в знаменателе дроби (для выражений вида $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$) или для получения действительного числа из комплексного (для чисел вида $a \pm bi$).

14.21 a) $x \in [2; 4];$

б) $x \in (4; 7];$

в) $x \in [3; 9];$

г) $x \in [1; 5).$

а) Запись $x \in [2; 4]$ означает, что переменная $x$ принимает все значения из числового промежутка от 2 до 4, включая концы этого промежутка. Квадратные скобки $[ ]$ указывают на то, что концы промежутка (числа 2 и 4) также являются решениями. Такая запись называется числовым отрезком. В виде двойного неравенства это записывается с использованием знаков "меньше или равно" ($\le$) и "больше или равно" ($\ge$). Таким образом, условие $x \in [2; 4]$ эквивалентно двойному неравенству $2 \le x \le 4$.

Ответ: $2 \le x \le 4$.

б) Запись $x \in (4; 7]$ означает, что переменная $x$ принимает все значения из числового промежутка от 4 до 7, не включая 4, но включая 7. Круглая скобка $($ слева от числа 4 означает, что $x$ строго больше 4 (используется знак <). Квадратная скобка $]$ справа от числа 7 означает, что $x$ может быть равен 7 (используется знак $\le$). Такая запись называется полуинтервалом. В виде двойного неравенства это записывается как $4 < x \le 7$.

Ответ: $4 < x \le 7$.

в) Запись $x \in [3; 9]$ аналогична пункту а). Это числовой отрезок, который включает в себя все числа от 3 до 9, а также сами числа 3 и 9. Квадратные скобки с обеих сторон указывают на нестрогое неравенство для обоих концов промежутка. Следовательно, это условие можно записать в виде двойного неравенства $3 \le x \le 9$.

Ответ: $3 \le x \le 9$.

г) Запись $x \in [1; 5)$ означает, что переменная $x$ принимает значения из полуинтервала. Квадратная скобка $[$ слева от числа 1 означает, что $x$ может быть равен 1 (используется знак $\ge$). Круглая скобка $)$ справа от числа 5 означает, что $x$ строго меньше 5 (используется знак <). Таким образом, переменная $x$ принимает все значения из промежутка от 1 до 5, включая 1, но не включая 5. В виде двойного неравенства это записывается как $1 \le x < 5$.

Ответ: $1 \le x < 5$.

14.22 Дана функция $y = \sqrt{x}$. Укажите, какому промежутку принадлежит переменная $x$, если:

а) $y \in [1; 3];$

б) $y \in [2; +\infty);$

в) $y \in [2; 4];$

г) $y \in [3; +\infty).$

Для решения задачи необходимо выразить переменную $x$ через $y$ из данного уравнения функции $y = \sqrt{x}$. Поскольку область определения функции $y=\sqrt{x}$ есть $x \ge 0$, а область значений $y \ge 0$, то для всех заданных промежутков $y$ мы можем однозначно найти $x$.

Возведя обе части уравнения $y = \sqrt{x}$ в квадрат, получим $x = y^2$. Функция $f(y) = y^2$ является возрастающей для всех $y \ge 0$. Это означает, что большему значению $y$ соответствует большее значение $x$. Поэтому при решении неравенств знаки сохраняются.

а) Если $y \in [1; 3]$, то это означает, что $1 \le y \le 3$.

Поскольку $x = y^2$ и функция $y^2$ возрастает на данном промежутке, мы можем возвести в квадрат все части неравенства:

$1^2 \le y^2 \le 3^2$

Подставив $x$ вместо $y^2$, получаем:

$1 \le x \le 9$

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[1; 9]$.

Ответ: $x \in [1; 9]$.

б) Если $y \in [2; +\infty)$, то это означает, что $y \ge 2$.

Так как $x = y^2$, возведем неравенство в квадрат:

$y^2 \ge 2^2$

Заменяя $y^2$ на $x$, получаем:

$x \ge 4$

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

в) Если $y \in [2; 4]$, то это означает, что $2 \le y \le 4$.

Используя соотношение $x = y^2$ и свойство возрастания функции $y^2$ на этом промежутке, возводим в квадрат двойное неравенство:

$2^2 \le y^2 \le 4^2$

Подставляем $x$ вместо $y^2$:

$4 \le x \le 16$

Таким образом, переменная $x$ принадлежит промежутку $[4; 16]$.

Ответ: $x \in [4; 16]$.

г) Если $y \in [3; +\infty)$, то это означает, что $y \ge 3$.

Из $x = y^2$ следует, что мы можем возвести неравенство $y \ge 3$ в квадрат:

$y^2 \ge 3^2$

Производим замену $y^2$ на $x$:

$x \ge 9$

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[9; +\infty)$.

Ответ: $x \in [9; +\infty)$.

14.23 Дана функция $y = -\sqrt{x}$. Укажите, какому промежутку принадлежит переменная $x$, если на этом промежутке:

a) $y_{\text{наим}} = -3, y_{\text{наиб}} = 0;

б) $y_{\text{наим}} = -2, y_{\text{наиб}} = -1.$

Дана функция $y = -\sqrt{x}$.

Проанализируем свойства этой функции. Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \le 0$. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Так как перед корнем стоит знак минус, функция $y = -\sqrt{x}$ является убывающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

Для убывающей функции, если аргумент $x$ принадлежит некоторому промежутку $[a, b]$, то значения функции $y$ будут принадлежать промежутку $[y(b), y(a)]$. Это означает, что наименьшее значение функции ($y_{наим}$) достигается при наибольшем значении аргумента, а наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) — при наименьшем значении аргумента.

Пусть искомый промежуток для переменной $x$ это $[x_1, x_2]$. Тогда:
$y_{наиб} = -\sqrt{x_1}$
$y_{наим} = -\sqrt{x_2}$

Из этих уравнений можно выразить $x_1$ и $x_2$:
$\sqrt{x_1} = -y_{наиб} \implies x_1 = (y_{наиб})^2$
$\sqrt{x_2} = -y_{наим} \implies x_2 = (y_{наим})^2$

а) $y_{наим} = -3, y_{наиб} = 0$

Найдем концы промежутка для $x$, используя выведенные формулы:
$x_1 = (y_{наиб})^2 = 0^2 = 0$.
$x_2 = (y_{наим})^2 = (-3)^2 = 9$.

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[0, 9]$.
Ответ: $x \in [0, 9]$.

б) $y_{наим} = -2, y_{наиб} = -1$

Аналогично найдем концы промежутка для $x$:
$x_1 = (y_{наиб})^2 = (-1)^2 = 1$.
$x_2 = (y_{наим})^2 = (-2)^2 = 4$.

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[1, 4]$.
Ответ: $x \in [1, 4]$.

Используя график функции $y = \sqrt{x}$, запишите промежуток, которому удовлетворяет переменная $y$, если:

14.24 a) $0 \le x \le 4$;

б) $2 < x < 9$;

в) $4 \le x \le 9$;

г) $3 < x < 4$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство монотонности функции $y = \sqrt{x}$. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения, то есть для $x \ge 0$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Графически это выражается в том, что график функции постоянно "идёт вверх" при движении слева направо.

Таким образом, чтобы найти промежуток значений для $y$, мы можем применить операцию извлечения квадратного корня к границам заданного промежутка для $x$, сохраняя тип неравенства (строгое или нестрогое).

a) Если $0 \le x \le 4$.
Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, мы можем применить ее ко всем частям неравенства: $\sqrt{0} \le \sqrt{x} \le \sqrt{4}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем значения корней: $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{4} = 2$.
В результате получаем промежуток для $y$: $0 \le y \le 2$.
Ответ: $0 \le y \le 2$.

б) Если $2 < x < 9$.
Применяем операцию извлечения корня к строгому неравенству: $\sqrt{2} < \sqrt{x} < \sqrt{9}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем известный корень: $\sqrt{9} = 3$.
Получаем промежуток для $y$: $\sqrt{2} < y < 3$.
Ответ: $\sqrt{2} < y < 3$.

в) Если $4 \le x \le 9$.
Применяем операцию извлечения корня к нестрогому неравенству: $\sqrt{4} \le \sqrt{x} \le \sqrt{9}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем значения корней: $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$.
Получаем промежуток для $y$: $2 \le y \le 3$.
Ответ: $2 \le y \le 3$.

г) Если $3 < x < 4$.
Применяем операцию извлечения корня к строгому неравенству: $\sqrt{3} < \sqrt{x} < \sqrt{4}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем известный корень: $\sqrt{4} = 2$.
Получаем промежуток для $y$: $\sqrt{3} < y < 2$.
Ответ: $\sqrt{3} < y < 2$.

14.25 а) $x > 1$;

б) $0 < x \le 5$;

в) $x \le 4$;

г) $0 \le x < 10$.

а) Неравенство $x > 1$ описывает множество всех чисел, которые строго больше 1. На числовой оси это соответствует лучу, который начинается справа от точки 1 (не включая саму точку) и уходит в положительную бесконечность. В интервальной записи строгое неравенство обозначается круглой скобкой. Ответ: $(1, +\infty)$

б) Двойное неравенство $0 < x \le 5$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые одновременно строго больше 0 и меньше либо равны 5. Это соответствует полуинтервалу. Левая граница 0 не включается (что обозначается круглой скобкой), а правая граница 5 включается (что обозначается квадратной скобкой). Ответ: $(0, 5]$

в) Неравенство $x \le 4$ описывает множество всех чисел, которые меньше либо равны 4. Это включает число 4 и все числа слева от него на числовой оси, до минус бесконечности. В интервальной записи нестрогое неравенство, означающее включение границы, обозначается квадратной скобкой. Ответ: $(-\infty, 4]$

г) Двойное неравенство $0 \le x < 10$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые больше либо равны 0 и одновременно строго меньше 10. Это соответствует полуинтервалу. Левая граница 0 включается (квадратная скобка), а правая граница 10 не включается (круглая скобка). Ответ: $[0, 10)$

Используя график функции $y = \sqrt{x}$, запишите промежуток, которому удовлетворяет переменная $x$, если:

14.26 а) $0 \le y \le 2$;

б) $1 < y < 4$;

в) $1 \le y \le 3$;

г) $2 < y < 3$.

a) Дано неравенство $0 \le y \le 2$. Поскольку по условию $y = \sqrt{x}$, мы можем подставить это в неравенство и получить $0 \le \sqrt{x} \le 2$. Чтобы найти соответствующий промежуток для $x$, нам нужно найти значения $x$, которые соответствуют граничным значениям $y$.
При $y=0$, имеем $\sqrt{x} = 0$, откуда $x = 0$.
При $y=2$, имеем $\sqrt{x} = 2$, откуда, возведя обе части в квадрат, получаем $x = 2^2 = 4$.
Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что большему значению $y$ соответствует большее значение $x$. Поэтому, если $y$ находится в промежутке $[0, 2]$, то $x$ будет находиться в промежутке $[0, 4]$.
Ответ: $0 \le x \le 4$.

б) Дано неравенство $1 < y < 4$. Подставляем $y = \sqrt{x}$ и получаем $1 < \sqrt{x} < 4$.
Найдем значения $x$, соответствующие границам интервала для $y$.
При $y=1$, имеем $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.
При $y=4$, имеем $\sqrt{x} = 4$, откуда $x = 4^2 = 16$.
Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая и неравенства строгие, то для всех $y$ из интервала $(1, 4)$ соответствующие значения $x$ будут лежать в интервале $(1, 16)$.
Ответ: $1 < x < 16$.

в) Дано неравенство $1 \le y \le 3$. Подставляем $y = \sqrt{x}$ и получаем $1 \le \sqrt{x} \le 3$.
Найдем значения $x$, соответствующие границам промежутка для $y$.
При $y=1$, имеем $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.
При $y=3$, имеем $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.
В силу монотонного возрастания функции $y=\sqrt{x}$, если $y$ находится в промежутке $[1, 3]$, то соответствующий $x$ будет находиться в промежутке $[1, 9]$.
Ответ: $1 \le x \le 9$.

г) Дано неравенство $2 < y < 3$. Подставляем $y = \sqrt{x}$ и получаем $2 < \sqrt{x} < 3$.
Найдем значения $x$, соответствующие границам интервала для $y$.
При $y=2$, имеем $\sqrt{x} = 2$, откуда $x = 2^2 = 4$.
При $y=3$, имеем $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.
Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая и неравенства строгие, то для всех $y$ из интервала $(2, 3)$ соответствующие значения $x$ будут лежать в интервале $(4, 9)$.
Ответ: $4 < x < 9$.

14.27 a) $y > 1$;

б) $y \le 3$;

B) $y < 2$;

г) $y \ge 1$.

а) Неравенство $y > 1$ означает, что переменная $y$ принимает все значения, которые строго больше 1. Решением является множество всех чисел на числовой прямой, расположенных правее точки 1. Сама точка 1 в решение не входит, что на числовой прямой обозначается выколотой точкой. В виде интервала это записывается как $(1; +\infty)$.
Ответ: $y \in (1; +\infty)$.

б) Неравенство $y \le 3$ означает, что переменная $y$ принимает все значения, которые меньше или равны 3. Решением является множество всех чисел на числовой прямой, расположенных левее точки 3, а также сама точка 3. Точка 3 включается в решение, что на числовой прямой обозначается закрашенной точкой. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 3]$.
Ответ: $y \in (-\infty; 3]$.

в) Неравенство $y < 2$ означает, что переменная $y$ принимает все значения, которые строго меньше 2. Решением является множество всех чисел на числовой прямой, расположенных левее точки 2. Сама точка 2 в решение не входит. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2)$.
Ответ: $y \in (-\infty; 2)$.

г) Неравенство $y \ge 1$ означает, что переменная $y$ принимает все значения, которые больше или равны 1. Решением является множество всех чисел на числовой прямой, расположенных правее точки 1, включая саму точку 1. В виде интервала это записывается как $[1; +\infty)$.
Ответ: $y \in [1; +\infty)$.

14.28 Используя график функции $y = -\sqrt{x}$, определите, какому промежутку принадлежит переменная $y$, если:

а) $x \in [1; 3];$

б) $x \in [4; +\infty);$

в) $x \in [2; 4];$

г) $x \in [1; +\infty).$

Для решения задачи проанализируем свойства функции $y = -\sqrt{x}$.

График функции $y = -\sqrt{x}$ является ветвью параболы, симметричной графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс. Область определения функции: $x \in [0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0]$.

Функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, для нахождения промежутка значений $y$ на заданном отрезке $[a; b]$ для $x$, нужно найти значения $y(a)$ и $y(b)$. Промежуток для $y$ будет $[y(b); y(a)]$. Если промежуток для $x$ вида $[a; +\infty)$, то промежуток для $y$ будет $(-\infty; y(a)]$.

а) $x \in [1; 3]$

Так как функция убывающая, наименьшее значение $y$ будет при $x=3$, а наибольшее — при $x=1$.
При $x = 1$, $y = -\sqrt{1} = -1$.
При $x = 3$, $y = -\sqrt{3}$.
Следовательно, когда $x$ изменяется от $1$ до $3$, $y$ изменяется от $-1$ до $-\sqrt{3}$.
Ответ: $y \in [-\sqrt{3}; -1]$.

б) $x \in [4; +\infty)$

Наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $x$, то есть при $x=4$.
При $x = 4$, $y = -\sqrt{4} = -2$.
Когда $x$ неограниченно возрастает ($x \to +\infty$), значение $y = -\sqrt{x}$ неограниченно убывает ($y \to -\infty$).
Следовательно, $y$ принимает все значения от $-\infty$ до $-2$ включительно.
Ответ: $y \in (-\infty; -2]$.

в) $x \in [2; 4]$

Находим значения $y$ на концах промежутка.
При $x = 2$, $y = -\sqrt{2}$.
При $x = 4$, $y = -\sqrt{4} = -2$.
Поскольку функция убывает, промежуток для $y$ будет $[y(4); y(2)]$.
Ответ: $y \in [-2; -\sqrt{2}]$.

г) $x \in [1; +\infty)$

Наибольшее значение $y$ достигается при $x=1$.
При $x = 1$, $y = -\sqrt{1} = -1$.
Когда $x \to +\infty$, $y \to -\infty$.
Следовательно, переменная $y$ принадлежит промежутку от $-\infty$ до $-1$ включительно.
Ответ: $y \in (-\infty; -1]$.

14.29 Постройте график функции:

а) $y = 2\sqrt{x}$;

б) $y = -0,5\sqrt{x}$;

в) $y = 0,5\sqrt{x}$;

г) $y = -2\sqrt{x}$.

а)

Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x}$ определим ее область определения: $x \ge 0$. Это значит, что график находится в правой полуплоскости. Поскольку коэффициент 2 положителен, область значений функции: $y \ge 0$. Таким образом, график целиком расположен в первой координатной четверти. Он выходит из начала координат (0; 0).

График функции $y = 2\sqrt{x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза.

Для построения найдем несколько ключевых точек, подставляя удобные значения $x$ (полные квадраты):
При $x=0$, $y = 2\sqrt{0} = 0$. Получаем точку (0; 0).
При $x=1$, $y = 2\sqrt{1} = 2$. Получаем точку (1; 2).
При $x=4$, $y = 2\sqrt{4} = 4$. Получаем точку (4; 4).
При $x=9$, $y = 2\sqrt{9} = 6$. Получаем точку (9; 6).
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{x}$ – это ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (1; 2), (4; 4) и (9; 6).

б)

Для построения графика функции $y = -0,5\sqrt{x}$ определим ее область определения: $x \ge 0$. График находится в правой полуплоскости. Поскольку коэффициент -0,5 отрицателен, область значений функции: $y \le 0$. Таким образом, график целиком расположен в четвертой координатной четверти. Он выходит из начала координат (0; 0).

График функции $y = -0,5\sqrt{x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия вдоль оси OY в 2 раза (или с коэффициентом 0,5) и последующего зеркального отражения относительно оси OX.

Для построения найдем несколько ключевых точек:
При $x=0$, $y = -0,5\sqrt{0} = 0$. Получаем точку (0; 0).
При $x=1$, $y = -0,5\sqrt{1} = -0,5$. Получаем точку (1; -0,5).
При $x=4$, $y = -0,5\sqrt{4} = -0,5 \cdot 2 = -1$. Получаем точку (4; -1).
При $x=9$, $y = -0,5\sqrt{9} = -0,5 \cdot 3 = -1,5$. Получаем точку (9; -1,5).
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -0,5\sqrt{x}$ – это ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (1; -0,5), (4; -1) и (9; -1,5).

в)

Для построения графика функции $y = 0,5\sqrt{x}$ определим ее область определения: $x \ge 0$. График находится в правой полуплоскости. Поскольку коэффициент 0,5 положителен, область значений функции: $y \ge 0$. Таким образом, график целиком расположен в первой координатной четверти. Он выходит из начала координат (0; 0).

График функции $y = 0,5\sqrt{x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия вдоль оси OY в 2 раза (или с коэффициентом 0,5).

Для построения найдем несколько ключевых точек:
При $x=0$, $y = 0,5\sqrt{0} = 0$. Получаем точку (0; 0).
При $x=1$, $y = 0,5\sqrt{1} = 0,5$. Получаем точку (1; 0,5).
При $x=4$, $y = 0,5\sqrt{4} = 0,5 \cdot 2 = 1$. Получаем точку (4; 1).
При $x=9$, $y = 0,5\sqrt{9} = 0,5 \cdot 3 = 1,5$. Получаем точку (9; 1,5).
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 0,5\sqrt{x}$ – это ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (1; 0,5), (4; 1) и (9; 1,5).

г)

Для построения графика функции $y = -2\sqrt{x}$ определим ее область определения: $x \ge 0$. График находится в правой полуплоскости. Поскольку коэффициент -2 отрицателен, область значений функции: $y \le 0$. Таким образом, график целиком расположен в четвертой координатной четверти. Он выходит из начала координат (0; 0).

График функции $y = -2\sqrt{x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза и последующего зеркального отражения относительно оси OX.

Для построения найдем несколько ключевых точек:
При $x=0$, $y = -2\sqrt{0} = 0$. Получаем точку (0; 0).
При $x=1$, $y = -2\sqrt{1} = -2$. Получаем точку (1; -2).
При $x=4$, $y = -2\sqrt{4} = -2 \cdot 2 = -4$. Получаем точку (4; -4).
При $x=9$, $y = -2\sqrt{9} = -2 \cdot 3 = -6$. Получаем точку (9; -6).
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -2\sqrt{x}$ – это ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (1; -2), (4; -4) и (9; -6).

14.30 Решите графически уравнение:

a) $2\sqrt{x} = x$;

б) $2\sqrt{x} = 3 - x$.

Для решения уравнений графическим методом необходимо представить левую и правую части каждого уравнения в виде отдельных функций, построить их графики на одной координатной плоскости и найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков. Эти абсциссы и будут являться решениями исходного уравнения.

а) $2\sqrt{x} = x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2\sqrt{x}$ и $y_2 = x$.

1. Построим график функции $y_1 = 2\sqrt{x}$.
Это график функции квадратного корня. Область определения функции: $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат.
Составим таблицу значений для построения графика:
при $x=0$, $y=2\sqrt{0}=0$; точка $(0, 0)$
при $x=1$, $y=2\sqrt{1}=2$; точка $(1, 2)$
при $x=4$, $y=2\sqrt{4}=4$; точка $(4, 4)$

2. Построим график функции $y_2 = x$.
Это линейная функция, её график — прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат под углом $45^\circ$ к оси $Ox$.
Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(4, 4)$.

3. Найдем точки пересечения.
Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек — $(0, 0)$ и $(4, 4)$. Абсциссы этих точек пересечения, $x=0$ и $x=4$, и являются решениями исходного уравнения.

Проверка:
Подставим $x=0$: $2\sqrt{0} = 0 \implies 0=0$. Верно.
Подставим $x=4$: $2\sqrt{4} = 4 \implies 2 \cdot 2 = 4 \implies 4=4$. Верно.

Ответ: $0; 4$

б) $2\sqrt{x} = 3 - x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2\sqrt{x}$ и $y_2 = 3 - x$.

1. График функции $y_1 = 2\sqrt{x}$ был рассмотрен в предыдущем пункте. Это ветвь параболы, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(4, 4)$.

2. Построим график функции $y_2 = 3 - x$.
Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем точки пересечения с осями координат:
при $x=0$, $y=3-0=3$; точка $(0, 3)$ (пересечение с осью $Oy$)
при $y=0$, $0=3-x \implies x=3$; точка $(3, 0)$ (пересечение с осью $Ox$)

3. Найдем точки пересечения.
Построим оба графика в одной системе координат. Из графика видно, что кривая $y_1 = 2\sqrt{x}$ и прямая $y_2 = 3 - x$ пересекаются в одной точке. Визуально можно определить координаты этой точки. Проверим точку с абсциссой $x=1$:
Для первого графика: $y_1(1) = 2\sqrt{1} = 2$.
Для второго графика: $y_2(1) = 3 - 1 = 2$.
Так как значения $y$ совпали, точка $(1, 2)$ является точкой пересечения графиков.

Поскольку функция $y_1 = 2\sqrt{x}$ является возрастающей, а функция $y_2 = 3-x$ — убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, других решений нет. Абсцисса точки пересечения $x=1$ является единственным решением уравнения.

Проверка:
Подставим $x=1$: $2\sqrt{1} = 3 - 1 \implies 2 \cdot 1 = 2 \implies 2=2$. Верно.

Ответ: $1$

14.31 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{-x}$;

б) $y = -\sqrt{-x}$.

а) $y = \sqrt{-x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{-x}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ):

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $x \le 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0]$. Это означает, что график будет расположен в левой полуплоскости (слева от оси OY).

2. Область значений функции:

Арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график будет расположен в верхней полуплоскости (выше оси OX).

Следовательно, график функции находится во второй координатной четверти.

3. Построение графика:

График функции $y = \sqrt{-x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси OY). Составим таблицу значений для нескольких точек:

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и уходящая влево и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-x}$ представляет собой ветвь параболы с вершиной в точке (0, 0), расположенную во второй координатной четверти. Он симметричен графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси OY и проходит через точки (-1, 1), (-4, 2) и т.д.

б) $y = -\sqrt{-x}$

Для построения графика функции $y = -\sqrt{-x}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ):

Аналогично пункту а), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0]$. График расположен в левой полуплоскости.

2. Область значений функции:

Выражение $\sqrt{-x}$ принимает неотрицательные значения ($\ge 0$). Знак "минус" перед корнем означает, что вся функция будет принимать неположительные значения: $y \le 0$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$. График расположен в нижней полуплоскости.

Следовательно, график функции находится в третьей координатной четверти.

3. Построение графика:

График функции $y = -\sqrt{-x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{-x}$ (построенного в пункте а)) путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси OX). Также его можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметрии относительно начала координат. Составим таблицу значений:

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и уходящая влево и вниз.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{-x}$ представляет собой ветвь параболы с вершиной в точке (0, 0), расположенную в третьей координатной четверти. Он симметричен графику функции $y = \sqrt{-x}$ относительно оси OX и проходит через точки (-1, -1), (-4, -2) и т.д.

14.32 Постройте график уравнения:

a) $x = y^2$;

б) $(y - x^2)(y^2 - x) = 0$.

а) $x = y^2$

Данное уравнение является уравнением параболы. Оно отличается от более привычного уравнения $y = x^2$ тем, что переменные $x$ и $y$ поменялись местами. Это означает, что парабола будет симметрична не относительно оси $Oy$, а относительно оси $Ox$.

Вершина параболы находится в точке, где $y=0$, что дает $x=0$. Таким образом, вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Поскольку $y^2$ является квадратом числа, это выражение всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$). Следовательно, переменная $x$ также должна быть неотрицательной ($x \ge 0$). Это означает, что ветви параболы направлены вправо, в сторону увеличения значений $x$.

Для более точного построения графика можно составить таблицу значений. Удобнее задавать значения для $y$ и вычислять соответствующие значения $x$:

• Если $y = 0$, то $x = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $y = 1$, то $x = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $y = -1$, то $x = (-1)^2 = 1$. Точка $(1, -1)$.
• Если $y = 2$, то $x = 2^2 = 4$. Точка $(4, 2)$.
• Если $y = -2$, то $x = (-2)^2 = 4$. Точка $(4, -2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси абсцисс ($Ox$), ветви которой направлены вправо.

б) $(y - x^2)(y^2 - x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на два независимых уравнения:

$y - x^2 = 0$ или $y^2 - x = 0$.

Графиком исходного уравнения будет объединение графиков каждого из этих двух уравнений.

1. Рассмотрим первое уравнение: $y - x^2 = 0$, которое можно переписать в виде $y = x^2$. Это каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Осью симметрии является ось ординат ($Oy$), а ветви направлены вверх.

2. Рассмотрим второе уравнение: $y^2 - x = 0$, которое можно переписать в виде $x = y^2$. Это уравнение параболы, которое было рассмотрено в пункте а). Её вершина также находится в начале координат $(0, 0)$, осью симметрии является ось абсцисс ($Ox$), а ветви направлены вправо.

Следовательно, чтобы построить график уравнения $(y - x^2)(y^2 - x) = 0$, необходимо на одной координатной плоскости изобразить обе параболы: $y = x^2$ и $x = y^2$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух парабол: параболы $y = x^2$ (с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх) и параболы $x = y^2$ (с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вправо).