Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt{x}$:

14.7 a) На отрезке $ [0; 1] $;

б) на полуинтервале $ (3; 9] $;

в) на отрезке $ [1; 4] $;

г) на полуинтервале $ [4; 7) $.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sqrt{x}$ на заданных промежутках воспользуемся ее свойствами. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$.

Отрезок $[0; 1]$ является замкнутым интервалом. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ возрастает, свое наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y(0) = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

Промежуток $(3; 9]$ является полуинтервалом, который не включает левую границу $x=3$, но включает правую $x=9$.
Так как функция возрастающая, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, которая ему принадлежит, то есть при $x=9$.
$y_{наиб} = y(9) = \sqrt{9} = 3$.
Левая граница $x=3$ не входит в промежуток. Значения функции на этом полуинтервале будут больше $\sqrt{3}$, но самого значения $\sqrt{3}$ функция не достигает. Можно взять значение $x$ сколь угодно близко к 3 (например, 3,000001), и значение функции $y$ будет сколь угодно близко к $\sqrt{3}$. Однако точки, в которой достигалось бы наименьшее значение, в данном промежутке нет. Поэтому наименьшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшего значения не существует.

Отрезок $[1; 4]$ является замкнутым интервалом. Наименьшее и наибольшее значения достигаются на его концах.
Наименьшее значение функции (на левом конце):
$y_{наим} = y(1) = \sqrt{1} = 1$.
Наибольшее значение функции (на правом конце):
$y_{наиб} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.

Промежуток $[4; 7)$ — это полуинтервал, включающий левую границу $x=4$ и не включающий правую $x=7$.
Наименьшее значение достигается в самой левой точке промежутка, которая ему принадлежит, то есть при $x=4$.
$y_{наим} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.
Правая граница $x=7$ не входит в промежуток. Значения функции на этом полуинтервале стремятся к $\sqrt{7}$, но никогда его не достигают. Для любого значения функции, меньшего чем $\sqrt{7}$, можно найти другое значение, которое будет еще больше и все еще меньше $\sqrt{7}$. Таким образом, наибольшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: наименьшее значение 2, наибольшего значения не существует.

14.8 а) На луче $[0; +\infty);$

б) на луче $[2; +\infty);$

в) на луче $[9; +\infty);$

г) на луче $[5; +\infty).$

Для решения задачи по нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на заданных лучах, необходимо сначала определить саму функцию. Исходя из нумерации (14.8), можно предположить, что используется функция из соответствующего раздела учебника, а именно $y(x) = x^3 - 6x^2 + 5$.

Для нахождения экстремумов функции на луче, выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции:

$y'(x) = (x^3 - 6x^2 + 5)' = 3x^2 - 12x$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. Производная $y'(x) = 3x(x-4)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, пересекающую ось абсцисс в точках 0 и 4.

• При $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$, $y'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0; 4)$, $y'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, $x=0$ является точкой локального максимума, а $x=4$ — точкой локального минимума.

4. Вычислим значения функции в критических точках:

$y(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 5 = 5$

$y(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27$

Теперь проанализируем поведение функции на каждом из заданных лучей.

а) На луче $[0; +\infty)$

На данном луче находится точка начала $x=0$ и критическая точка $x=4$. На интервале $[0, 4]$ функция убывает от своего локального максимума $y(0)=5$ до локального минимума $y(4)=-27$. На интервале $[4, +\infty)$ функция возрастает. Поскольку $\lim_{x\to+\infty} (x^3 - 6x^2 + 5) = +\infty$, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения не существует. Наименьшее значение достигается в точке локального минимума $x=4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -27$, наибольшего значения не существует.

б) на луче $[2; +\infty)$

Рассматриваемый луч начинается в точке $x=2$ и содержит критическую точку $x=4$. Вычислим значение функции в начальной точке луча: $y(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 5 = 8 - 24 + 5 = -11$. На промежутке $[2, 4]$ функция убывает, а на промежутке $[4, +\infty)$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение на этом луче достигается в точке $x=4$. Так как функция стремится к $+\infty$ при $x \to +\infty$, наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -27$, наибольшего значения не существует.

в) на луче $[9; +\infty)$

Этот луч не содержит критических точек функции. Так как $9 > 4$, на всем луче $[9, +\infty)$ функция монотонно возрастает. Это означает, что наименьшее значение достигается в начальной точке луча, $x=9$. Вычислим это значение: $y(9) = 9^3 - 6(9)^2 + 5 = 729 - 486 + 5 = 248$. Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 248$, наибольшего значения не существует.

г) на луче $[5; +\infty)$

Этот луч также не содержит критических точек. Так как $5 > 4$, на всем луче $[5, +\infty)$ функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в начальной точке луча, $x=5$. Вычислим это значение: $y(5) = 5^3 - 6(5)^2 + 5 = 125 - 150 + 5 = -20$. Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -20$, наибольшего значения не существует.

14.9 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x}$:

а) на отрезке $[0; 4]$;

б) на луче $[3; +\infty)$;

в) на отрезке $[1; 9]$;

г) на полуинтервале $(2; 9]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\sqrt{x}$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение.

Область определения функции: $x \ge 0$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей. Так как заданная функция $y = -\sqrt{x}$ представляет собой функцию $y = \sqrt{x}$ с коэффициентом $-1$, она является монотонно убывающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$.

Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) > y(x_2)$. Таким образом, на любом отрезке $[a; b]$ наибольшее значение функция будет принимать в левой границе (в точке $a$), а наименьшее — в правой границе (в точке $b$).

а) на отрезке [0; 4];

Поскольку функция монотонно убывает, ее наибольшее значение на отрезке $[0; 4]$ достигается в точке $x=0$, а наименьшее — в точке $x=4$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = -\sqrt{4} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-2$, наибольшее значение равно $0$.

б) на луче [3; +∞);

На этом промежутке функция также монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в самой левой точке промежутка, то есть при $x=3$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = -\sqrt{3}$.
Поскольку $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y = -\sqrt{x}$ будет неограниченно убывать ($y \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-\sqrt{3}$, а наименьшее значение не существует.

в) на отрезке [1; 9];

На отрезке $[1; 9]$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в левой границе отрезка ($x=1$), а наименьшее — в правой ($x=9$).
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = -\sqrt{1} = -1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-3$, наибольшее значение равно $-1$.

г) на полуинтервале (2; 9].

На этом промежутке функция монотонно убывает. Правая граница $x=9$ принадлежит промежутку, поэтому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$.
Левая граница $x=2$ не принадлежит промежутку. При $x$, стремящемся к $2$ справа ($x \to 2^+$), значения функции $y$ стремятся к $-\sqrt{2}$. Однако это значение не достигается, так как $x$ всегда строго больше $2$. Для любого значения функции на этом интервале можно найти большее, выбрав $x$ ближе к $2$. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее значение не существует.

Решите графически уравнение:

14.10 a)

$\sqrt{x} = x;$

б) $\sqrt{x} = 6 - x;$

в) $\sqrt{x} = 2;$

г) $\sqrt{x} = -x^2.$

а) Для решения уравнения $ \sqrt{x} = x $ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x $.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $ y = x $ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1). Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения.

Ответ: $ x=0, x=1 $

б) Для решения уравнения $ \sqrt{x} = 6 - x $ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = 6 - x $.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

График функции $ y = 6 - x $ — это прямая, проходящая через точки (0, 6) и (6, 0).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Найдем её координаты. При $ x = 4 $, первая функция дает $ y = \sqrt{4} = 2 $, а вторая функция дает $ y = 6 - 4 = 2 $. Таким образом, точка пересечения — (4, 2). Абсцисса этой точки является решением уравнения.

Ответ: $ x=4 $

в) Для решения уравнения $ \sqrt{x} = 2 $ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = 2 $.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти.

График функции $ y = 2 $ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 2).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти её абсциссу, нужно найти такое значение $ x $, при котором $ \sqrt{x} = 2 $. Возведя обе части в квадрат, получаем $ x = 4 $. Таким образом, точка пересечения — (4, 2).

Ответ: $ x=4 $

г) Для решения уравнения $ \sqrt{x} = -x^2 $ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = -x^2 $.

График функции $ y = \sqrt{x} $ расположен в первой координатной четверти, значения функции неотрицательны ($ y \ge 0 $).

График функции $ y = -x^2 $ — это парабола с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вниз. График расположен в третьей и четвертой координатных четвертях, значения функции неположительны ($ y \le 0 $).

Единственная точка, которая может принадлежать обоим графикам, — это точка, где $ y=0 $. Для функции $ y = \sqrt{x} $, $ y=0 $ при $ x=0 $. Для функции $ y = -x^2 $, $ y=0 $ при $ x=0 $. Следовательно, графики пересекаются в единственной точке — (0, 0).

Ответ: $ x=0 $

14.11 a) $-\sqrt{x} = x - 2$;

б) $-\sqrt{x} = 2 - 3x$.

а)

Дано иррациональное уравнение: $-\sqrt{x} = x - 2$.
Для начала преобразуем уравнение, умножив обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед корнем:
$\sqrt{x} = -(x - 2)$
$\sqrt{x} = 2 - x$
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, что означает $x \le 2$.
Объединив оба условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$. Любой корень уравнения должен принадлежать этому промежутку.
Теперь, когда обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью теоремы Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$.
Очевидно, что корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни нашей ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 2$.
- Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$. Следовательно, $x = 4$ является посторонним корнем.
Проверим единственный подходящий корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
$-\sqrt{1} = 1 - 2$
$-1 = -1$
Равенство верное, значит корень найден правильно.
Ответ: $1$.

б)

Дано иррациональное уравнение: $-\sqrt{x} = 2 - 3x$.
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$\sqrt{x} = -(2 - 3x)$
$\sqrt{x} = 3x - 2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $3x - 2 \ge 0$. Отсюда $3x \ge 2$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$.
Совмещая оба условия ($x \ge 0$ и $x \ge \frac{2}{3}$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge \frac{2}{3}$.
Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{x} = 3x - 2$:
$(\sqrt{x})^2 = (3x - 2)^2$
$x = 9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 4$
$x = 9x^2 - 12x + 4$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$9x^2 - 12x - x + 4 = 0$
$9x^2 - 13x + 4 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант:
$a = 9$, $b = -13$, $c = 4$
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 169 - 144 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$
Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$).
- Для $x_1 = \frac{4}{9}$. Сравним $\frac{4}{9}$ с $\frac{2}{3}$. $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$. Так как $\frac{4}{9} < \frac{6}{9}$, то $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
- Для $x_2 = 1$. $1 > \frac{2}{3}$, поэтому корень удовлетворяет ОДЗ.
Выполним проверку найденного корня $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
$-\sqrt{1} = 2 - 3 \cdot 1$
$-1 = 2 - 3$
$-1 = -1$
Равенство выполняется.
Ответ: $1$.

Решите графически систему уравнений:

14.12 а) $$ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = x^2; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 2x - 1; \end{cases} $$

в) $$ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = x; \end{cases} $$

г) $$ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = -x - 2. \end{cases} $$

а) Чтобы решить систему уравнений графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox параболе $x = y^2$. График расположен в первой координатной четверти и проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику: (0, 0) и (1, 1).

Ответ: (0, 0), (1, 1).

б) Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 1$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. График функции $y = 2x - 1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки. Например, если $x = 0$, то $y = -1$, точка (0, -1). Если $x = 1$, то $y = 1$, точка (1, 1).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке с координатами (1, 1).

Ответ: (1, 1).

в) Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1).

Ответ: (0, 0), (1, 1).

г) Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 2$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти. Область определения этой функции $x \ge 0$, а область значений $y \ge 0$.

2. График функции $y = -x - 2$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки. Например, если $x = 0$, то $y = -2$, точка (0, -2). Если $x = -2$, то $y = 0$, точка (-2, 0).

Точки пересечения графиков должны удовлетворять обоим уравнениям. Для точек на графике $y = \sqrt{x}$ должно выполняться условие $y \ge 0$. Для точек на прямой $y = -x - 2$ при $x \ge 0$ (область определения первого уравнения) значение $y$ будет всегда меньше или равно -2 ($y = -x - 2 \le -2$). Поскольку не существует такого значения $y$, которое было бы одновременно неотрицательным ($y \ge 0$) и не больше -2 ($y \le -2$), графики не могут пересекаться.

Построив графики, мы увидим, что они не имеют общих точек.

Ответ: решений нет.