Страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13.8 Какое из чисел, $x$ или $y$, больше, если:

а) $x - y = 3;$

б) $x - y = -0,01;$

в) $x - y = \sqrt{7};$

г) $x - y = -\sqrt{3}?$

Чтобы сравнить два числа, $x$ и $y$, нужно определить знак их разности $x - y$. Если разность $x - y$ является положительным числом, то $x > y$. Если разность $x - y$ является отрицательным числом, то $x < y$, то есть $y > x$.

а)

Дано уравнение $x - y = 3$.
Разность $x - y$ равна 3. Так как $3 > 0$, то есть разность является положительным числом, мы можем заключить, что $x > y$.

Ответ: $x$ больше, чем $y$.

б)

Дано уравнение $x - y = -0,01$.
Разность $x - y$ равна -0,01. Так как $-0,01 < 0$, то есть разность является отрицательным числом, мы можем заключить, что $x < y$.

Ответ: $y$ больше, чем $x$.

в)

Дано уравнение $x - y = \sqrt{7}$.
Разность $x - y$ равна $\sqrt{7}$. Значение арифметического квадратного корня из положительного числа всегда положительно, поэтому $\sqrt{7} > 0$. Так как разность положительна, мы можем заключить, что $x > y$.

Ответ: $x$ больше, чем $y$.

г)

Дано уравнение $x - y = -\sqrt{3}$.
Разность $x - y$ равна $-\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3}$ является положительным числом, то $-\sqrt{3}$ будет отрицательным числом ($-\sqrt{3} < 0$). Поскольку разность отрицательна, мы можем заключить, что $x < y$.

Ответ: $y$ больше, чем $x$.

13.9 Известно, что $a < b$. Может ли разность $a - b$ выражаться числом:

а) 6,08;

б) -5;

в) 0;

г) 3,72?

По условию задачи дано неравенство $a < b$. Чтобы определить, какие значения может принимать разность $a - b$, преобразуем это неравенство. Для этого вычтем из обеих его частей переменную $b$:

$a - b < b - b$

$a - b < 0$

Таким образом, мы получили, что разность $a - b$ должна быть строго отрицательным числом. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) 6,08

Число $6,08$ является положительным ($6,08 > 0$). Это противоречит полученному нами условию $a - b < 0$. Следовательно, разность $a - b$ не может быть равна $6,08$.
Ответ: нет.

б) -5

Число $-5$ является отрицательным ($-5 < 0$). Это полностью соответствует условию $a - b < 0$. Мы можем подобрать такие числа $a$ и $b$, что это равенство будет верным. Например, пусть $a = 1$ и $b = 6$. Условие $a < b$ выполняется ($1 < 6$), и разность $a - b = 1 - 6 = -5$. Следовательно, разность $a - b$ может быть равна $-5$.
Ответ: да.

в) 0

Равенство $a - b = 0$ возможно только в том случае, когда $a = b$. Однако по условию задачи дано строгое неравенство $a < b$. Таким образом, разность $a - b$ не может быть равна нулю. Кроме того, $0$ не удовлетворяет условию $a - b < 0$.
Ответ: нет.

г) 3,72

Число $3,72$ является положительным ($3,72 > 0$). Это противоречит условию $a - b < 0$. Следовательно, разность $a - b$ не может быть равна $3,72$.
Ответ: нет.

13.10 Даны выражения $a(a + 2)$ и $(a - 3)(a + 2)$. Не выполняя действий, сравните значения этих выражений при:

а) $a = 2$;

б) $a = -\sqrt{3}$;

в) $a = 3,23$;

г) $a = -\sqrt{5}$.

Чтобы сравнить значения выражений $a(a + 2)$ и $(a - 3)(a + 2)$, не выполняя вычислений, мы можем проанализировать их структуру. Оба выражения имеют общий множитель $(a + 2)$. Отличаются они вторыми множителями: $a$ и $(a - 3)$.

Для любого действительного числа $a$ всегда верно, что $a > a - 3$ (поскольку от $a$ отнимается положительное число 3).

Теперь, чтобы сравнить исходные выражения, нам нужно умножить обе части неравенства $a > a - 3$ на общий множитель $(a + 2)$. Результат будет зависеть от знака этого множителя:

• Если $(a + 2) > 0$ (то есть $a > -2$), то знак неравенства сохранится: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.
• Если $(a + 2) < 0$ (то есть $a < -2$), то знак неравенства изменится на противоположный: $a(a + 2) < (a - 3)(a + 2)$.
• Если $(a + 2) = 0$ (то есть $a = -2$), то оба выражения будут равны нулю: $a(a + 2) = (a - 3)(a + 2)$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) При $a = 2$.

Так как $2 > -2$, то значение множителя $(a + 2)$ положительно. Следовательно, знак неравенства сохраняется.

Ответ: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.

б) При $a = -\sqrt{3}$.

Сравним $a = -\sqrt{3}$ с числом $-2$. Мы знаем, что $3 < 4$, значит $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, или $\sqrt{3} < 2$. Умножив обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-\sqrt{3} > -2$. Поскольку $a > -2$, множитель $(a + 2)$ положителен, и знак исходного неравенства сохраняется.

Ответ: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.

в) При $a = 3,23$.

Так как $3,23 > -2$, то значение множителя $(a + 2)$ положительно. Следовательно, знак неравенства сохраняется.

Ответ: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.

г) При $a = -\sqrt{5}$.

Сравним $a = -\sqrt{5}$ с числом $-2$. Мы знаем, что $5 > 4$, значит $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, или $\sqrt{5} > 2$. Умножив обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-\sqrt{5} < -2$. Поскольку $a < -2$, множитель $(a + 2)$ отрицателен. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $a(a + 2) < (a - 3)(a + 2)$.

13.11 Сравните числа $x$ и $y$, если известно, что:

a) $x = y - 5$;

б) $x + 1 = 2y$, где $y > 1$;

в) $y + 3 = x + 2\sqrt{2}$;

г) $y - x = 1 + y^2$.

а) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, выразим их разность. Из данного равенства $x = y - 5$ следует, что $x - y = -5$.
Так как разность $x - y$ является отрицательным числом ($-5 < 0$), то $x < y$.
Ответ: $x < y$.

б) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, выразим их разность. Из равенства $x + 1 = 2y$ выразим $x$: $x = 2y - 1$.
Теперь найдем разность $x - y$:
$x - y = (2y - 1) - y = y - 1$.
По условию задачи дано, что $y > 1$. Из этого следует, что разность $y - 1 > 0$.
Так как $x - y > 0$, то $x > y$.
Ответ: $x > y$.

в) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, выразим их разность. Преобразуем данное равенство $y + 3 = x + 2\sqrt{2}$ так, чтобы получить разность $y - x$:
$y - x = 2\sqrt{2} - 3$.
Теперь нам нужно определить знак выражения $2\sqrt{2} - 3$. Для этого сравним числа $2\sqrt{2}$ и $3$.
Возведем оба числа в квадрат (так как они оба положительные, знак неравенства сохранится):
$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
$3^2 = 9$.
Поскольку $8 < 9$, то и $2\sqrt{2} < 3$.
Следовательно, разность $2\sqrt{2} - 3$ отрицательна.
Получаем, что $y - x < 0$, а это значит, что $y < x$.
Ответ: $x > y$.

г) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, рассмотрим их разность $y - x$, которая дана в условии:
$y - x = 1 + y^2$.
Рассмотрим правую часть равенства. Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным: $y^2 \geq 0$.
Следовательно, выражение $1 + y^2$ всегда будет больше или равно 1: $1 + y^2 \geq 1$.
Таким образом, $1 + y^2$ всегда является положительным числом.
Значит, $y - x > 0$, из чего следует, что $y > x$.
Ответ: $x < y$.

13.12 Какой знак имеют произведение $mn$ и частное $\frac{m}{n}$, если известно, что:

a) m и n — числа одного знака;

б) m и n — числа разных знаков.

а) m и n — числа одного знака;

Чтобы определить знак произведения $mn$ и частного $\frac{m}{n}$, необходимо рассмотреть два возможных варианта, когда знаки чисел $m$ и $n$ совпадают.

1. Оба числа положительны: $m > 0$ и $n > 0$.
Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $mn > 0$.
Частное от деления одного положительного числа на другое также всегда является положительным числом. Следовательно, $\frac{m}{n} > 0$.

2. Оба числа отрицательны: $m < 0$ и $n < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом (правило "минус на минус дает плюс"). Следовательно, $mn > 0$.
Частное от деления одного отрицательного числа на другое также всегда является положительным числом. Следовательно, $\frac{m}{n} > 0$.

В обоих случаях, когда числа $m$ и $n$ имеют одинаковый знак, их произведение и частное будут положительными.

Ответ: произведение $mn$ и частное $\frac{m}{n}$ имеют знак "плюс" (положительны).

б) m и n — числа разных знаков.

Теперь рассмотрим два варианта, когда знаки чисел $m$ и $n$ различны.

1. $m$ — положительное, а $n$ — отрицательное: $m > 0$ и $n < 0$.
Произведение положительного и отрицательного чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $mn < 0$.
Частное от деления положительного числа на отрицательное также всегда является отрицательным числом. Следовательно, $\frac{m}{n} < 0$.

2. $m$ — отрицательное, а $n$ — положительное: $m < 0$ и $n > 0$.
Произведение отрицательного и положительного чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $mn < 0$.
Частное от деления отрицательного числа на положительное также всегда является отрицательным числом. Следовательно, $\frac{m}{n} < 0$.

В обоих случаях, когда числа $m$ и $n$ имеют разные знаки, их произведение и частное будут отрицательными.

Ответ: произведение $mn$ и частное $\frac{m}{n}$ имеют знак "минус" (отрицательны).

13.13 Известно, что $a > 0, b > 0, c < 0, d < 0$. Какой знак имеет выраже-ние:

a) $abcd$;

б) $\frac{abd}{c}$;

в) $\frac{ac}{bd}$;

г) $a^2b^3c^4d^5?$

Для определения знака каждого выражения воспользуемся правилами умножения и деления положительных и отрицательных чисел. По условию задачи известно, что $a > 0$ (положительное), $b > 0$ (положительное), $c < 0$ (отрицательное) и $d < 0$ (отрицательное).

а) abcd

Чтобы определить знак произведения $abcd$, определим знак каждого множителя. У нас есть два положительных числа ($a$ и $b$) и два отрицательных числа ($c$ и $d$).

Произведение двух положительных чисел $a \cdot b$ дает положительный результат. Произведение двух отрицательных чисел $c \cdot d$ также дает положительный результат. Следовательно, итоговое произведение будет произведением двух положительных чисел, что является положительным числом.

Схематично это можно записать так: $(+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \cdot (+) = (+)$.

Выражение $abcd$ положительно.

Ответ: положительный.

б) $\frac{abd}{c}$

Сначала определим знак числителя $abd$. Он состоит из произведения двух положительных чисел ($a$, $b$) и одного отрицательного ($d$).

Произведение $a \cdot b \cdot d$ будет иметь знак: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$. Числитель отрицательный.

Знаменатель $c$ по условию отрицательный.

При делении отрицательного числа (числитель) на отрицательное число (знаменатель) результат будет положительным.

Схематично: $\frac{(-)}{(-)} = (+)$.

Выражение $\frac{abd}{c}$ положительно.

Ответ: положительный.

в) $\frac{ac}{bd}$

Определим знак числителя $ac$. Он является произведением положительного числа $a$ и отрицательного числа $c$. Результат будет отрицательным: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Определим знак знаменателя $bd$. Он является произведением положительного числа $b$ и отрицательного числа $d$. Результат будет отрицательным: $(+) \cdot (-) = (-)$.

При делении отрицательного числа (числитель) на отрицательное число (знаменатель) результат будет положительным.

Схематично: $\frac{(-)}{(-)} = (+)$.

Выражение $\frac{ac}{bd}$ положительно.

Ответ: положительный.

г) $a^2b^3c^4d^5$

Рассмотрим знак каждого множителя в выражении:

• $a > 0$, поэтому $a^2$ (положительное число в любой степени) будет положительным.
• $b > 0$, поэтому $b^3$ (положительное число в любой степени) будет положительным.
• $c < 0$, поэтому $c^4$ (отрицательное число в четной степени) будет положительным.
• $d < 0$, поэтому $d^5$ (отрицательное число в нечетной степени) будет отрицательным.

Теперь перемножим знаки полученных результатов:

$(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.

Произведение первых трех положительных множителей положительно. Умножение этого результата на последний отрицательный множитель дает отрицательный результат.

Выражение $a^2b^3c^4d^5$ отрицательно.

Ответ: отрицательный.

13.14 На числовой прямой точками А и В (рис. 1) отмечены два из следующих чисел: $1.3$; $2.5$; $\pi$; $\frac{1}{\pi}$. Какое число соответствует точке А, а какое — точке В?

Рис. 1

Для того чтобы определить, какие числа соответствуют точкам A и B, необходимо оценить значение каждого из предложенных чисел и соотнести их с положением точек на числовой прямой.

Предложенные числа: $1,3$; $2,5$; $\pi$; $\frac{1}{\pi}$.

Оценим approximate значение и положение каждого числа на числовой прямой:

• $1,3$ — это число уже представлено в виде десятичной дроби. Оно больше 1 и меньше 2.
• $2,5$ — это число находится ровно посередине между 2 и 3.
• $\pi$ (пи) — это иррациональное число, его приближенное значение равно $ \pi \approx 3,14159... $. Это число больше 3 и меньше 4.
• $\frac{1}{\pi}$ — чтобы оценить это число, воспользуемся приближенным значением $\pi$. $\frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3,14}$. Так как знаменатель больше 1, то значение дроби будет меньше 1. Более точно, так как $3 < \pi < 4$, то $ \frac{1}{4} < \frac{1}{\pi} < \frac{1}{3} $, то есть $0,25 < \frac{1}{\pi} < 0,33...$. Это число находится между 0 и 1.

Теперь сопоставим эти значения с точками, отмеченными на рисунке.

Точка A на числовой прямой расположена между целыми числами 1 и 2. Из списка предложенных чисел только $1,3$ находится в этом интервале $(1; 2)$. Таким образом, точка A не может соответствовать числам $2,5$, $\pi$ или $\frac{1}{\pi}$.

Ответ: точке А соответствует число 1,3.

Точка B на числовой прямой расположена между целыми числами 3 и 4. Из списка предложенных чисел только $\pi$ находится в этом интервале $(3; 4)$. Его приближенное значение $\pi \approx 3,14$ соответствует положению точки B, которая находится немного правее отметки 3. Числа $1,3$, $2,5$ и $\frac{1}{\pi}$ не попадают в этот промежуток.

Ответ: точке B соответствует число $\pi$.