Страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Закончите предложение: «Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен...». Запишите это утверждение на математическом языке.

Законченное предложение звучит так: «Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел».

Это утверждение является одним из фундаментальных свойств арифметического квадратного корня. Для того чтобы записать его на математическом языке, необходимо ввести обозначения.

Пусть $a$ и $b$ — это два неотрицательных числа. Условие неотрицательности означает, что они больше или равны нулю, что записывается в виде неравенств: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда утверждение можно выразить следующей формулой:

$ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $

Эта формула показывает, что для извлечения корня из произведения двух неотрицательных множителей можно извлечь корень из каждого множителя по отдельности и затем перемножить полученные результаты. Условие неотрицательности чисел $a$ и $b$ является обязательным, так как в области действительных чисел арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определен.

Ответ: Завершение предложения: «...равен произведению квадратных корней из этих чисел». Математическая запись этого утверждения: если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

3. Какие из данных соотношений, где $a \ge 0$, $b \ge 0$, являются верными равенствами, а какие — нет:

а) $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$;

б) $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$;

в) $\sqrt{a - b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$;

г) $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $(b \ne 0)$;

д) $(\sqrt{a})^2 = a$;

е) $b = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$?

а) Это равенство является одним из основных свойств арифметического квадратного корня. Оно гласит, что корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Данное свойство верно для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Чтобы проверить его истинность, можно возвести обе части равенства в квадрат:
Левая часть: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b = ab$.
Правая часть: $(\sqrt{ab})^2 = ab$.
Так как квадраты обеих частей равны и сами части по определению арифметического корня неотрицательны, то равенство верно.
Ответ: Верно.

б) Это равенство в общем случае неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Возьмем числа, из которых легко извлекается корень, например, $a = 9$ и $b = 16$. Оба числа удовлетворяют условию $a \ge 0, b \ge 0$.
Подставим их в левую часть равенства: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
Подставим их в правую часть равенства: $\sqrt{a+b} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Поскольку $7 \neq 5$, исходное равенство не является тождеством.
Ответ: Неверно.

в) Это равенство, как и предыдущее, в общем случае неверно. Для его проверки необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, то есть $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a-b \ge 0$, что означает $a \ge b$. Приведем контрпример. Пусть $a = 25$ и $b = 9$. Условия $a \ge b \ge 0$ выполнены.
Левая часть: $\sqrt{a-b} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Правая часть: $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$.
Так как $4 \neq 2$, равенство неверно.
Ответ: Неверно.

г) Это равенство также является основным свойством арифметического квадратного корня. Оно утверждает, что корень из частного (дроби) равен частному корней. Условия $a \ge 0$ и $b > 0$ (так как $b \ge 0$ и $b \neq 0$) обеспечивают существование всех корней и осмысленность деления на $b$.
Проверим, возведя обе части в квадрат:
Левая часть: $(\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = \frac{a}{b}$.
Правая часть: $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$.
Квадраты частей равны, и сами части неотрицательны. Следовательно, равенство верно.
Ответ: Верно.

д) Это равенство является определением арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Таким образом, по определению, равенство верно для любого $a \ge 0$.
Ответ: Верно.

е) Данное равенство верно. Правую часть можно преобразовать: $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{b})^2$. Согласно определению арифметического квадратного корня (как в пункте д)), для любого неотрицательного числа $b$ выполняется равенство $(\sqrt{b})^2 = b$. Таким образом, исходное равенство $b = b$ является тождеством при $b \ge 0$.
Ответ: Верно.

2. Закончите предложение: «Корень из частного равен...». Запишите это утверждение на математическом языке.

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Закончите предложение: «Корень из частного равен...»

Это предложение является словесной формулировкой одного из основных свойств арифметического квадратного корня. Завершить его следует так: «Корень из частного равен частному корней из делимого и делителя».

Это свойство означает, что для того чтобы извлечь квадратный корень из дроби, можно отдельно извлечь корень из числителя (делимого) и корень из знаменателя (делителя), а затем первый результат разделить на второй.

Запишите это утверждение на математическом языке

В виде формулы это свойство записывается следующим образом. Для любого неотрицательного числа $a$ и любого положительного числа $b$ справедливо равенство:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Данное равенство верно при выполнении следующих условий: $a \ge 0$ и $b > 0$. Условие $a \ge 0$ необходимо, чтобы корень из числителя был определён в действительных числах. Условие $b > 0$ необходимо, так как, во-первых, знаменатель не может быть равен нулю (деление на ноль невозможно), а во-вторых, подкоренное выражение $\frac{a}{b}$ должно быть неотрицательным.

Ответ: предложение заканчивается словами «...частному корней из делимого и делителя». Математическая запись этого утверждения: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$ и $b > 0$.

13.15 На числовой прямой точками C и D (рис. 2) отмечены два из следующих чисел: $\sqrt{8}$; $-1,2$; $0,5\pi$; $-\frac{\pi}{4}$. Какое число соответствует точке C, а какое — точке D?

Рис. 2

Чтобы определить, какие числа соответствуют точкам C и D, необходимо оценить приближенные значения каждого из предложенных чисел и сопоставить их с положением точек на числовой прямой.

Предложенные числа: $\sqrt{8}$; $-1,2$; $0,5\pi$; $-\frac{\pi}{4}$.

Оценим приближенное значение каждого числа:

• $\sqrt{8}$: Поскольку $2^2=4$ и $3^2=9$, то значение $\sqrt{8}$ находится между 2 и 3. Точнее, $\sqrt{8} \approx 2,83$.
• $-1,2$: Это число находится между -2 и -1.
• $0,5\pi$: Используя приближение $\pi \approx 3,14$, получаем $0,5\pi \approx 0,5 \times 3,14 = 1,57$. Это число находится между 1 и 2.
• $-\frac{\pi}{4}$: Используя приближение $\pi \approx 3,14$, получаем $-\frac{\pi}{4} \approx -\frac{3,14}{4} = -0,785$. Это число находится между -1 и 0.

Теперь сопоставим полученные значения с положением точек на числовой прямой.

Точка C

На рисунке видно, что точка C расположена в интервале от -1 до 0. Из всех предложенных чисел только $-\frac{\pi}{4}$ попадает в этот интервал ($-1 < -0,785 < 0$).

Ответ: точке C соответствует число $-\frac{\pi}{4}$.

Точка D

Точка D расположена в интервале от 2 до 3. Из всех предложенных чисел только $\sqrt{8}$ попадает в этот интервал ($2 < \sqrt{8} < 3$).

Ответ: точке D соответствует число $\sqrt{8}$.

Расположите в порядке возрастания числа:

13.16 а) $\sqrt{5}$; 0; $\frac{13}{6}$;

б) $\pi$; 3; 3,1;

в) $\frac{\pi}{6}$; 0,3; 0,5;

г) -3,2; $-\sqrt{10}$; -3.

а) Чтобы расположить числа $\sqrt{5}; 0; \frac{13}{6}$ в порядке возрастания, сравним их значения.

Одно из чисел равно $0$.

Дробь $\frac{13}{6}$ можно представить в виде смешанного числа $2\frac{1}{6}$ или десятичной дроби $2,166...$. Очевидно, что $0 < \frac{13}{6}$.

Теперь сравним $\sqrt{5}$ с другими числами. Так как $2^2=4$ и $3^2=9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Значит, $\sqrt{5} > \frac{13}{6} > 0$.

Для более точного сравнения $\sqrt{5}$ и $\frac{13}{6}$ возведем оба положительных числа в квадрат:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$(\frac{13}{6})^2 = \frac{169}{36}$

Сравним $5$ и $\frac{169}{36}$. Представим $5$ как дробь со знаменателем $36$: $5 = \frac{5 \cdot 36}{36} = \frac{180}{36}$.

Так как $180 > 169$, то $\frac{180}{36} > \frac{169}{36}$, следовательно $5 > (\frac{13}{6})^2$, а значит $\sqrt{5} > \frac{13}{6}$.

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются так: $0 < \frac{13}{6} < \sqrt{5}$.

Ответ: $0; \frac{13}{6}; \sqrt{5}$.

б) Чтобы расположить числа $\pi; 3; 3,1$ в порядке возрастания, вспомним приближенное значение числа $\pi$.

Число $\pi$ является иррациональным, его значение приблизительно равно $3,14159...$

Сравниваем числа $3$, $3,1$ и $\pi \approx 3,14159...$.

Очевидно, что $3$ — наименьшее число.

Сравнивая $3,1$ и $\pi$, видим, что $3,1 < 3,14159...$, значит $3,1 < \pi$.

Получаем следующую последовательность: $3 < 3,1 < \pi$.

Ответ: $3; 3,1; \pi$.

в) Чтобы расположить числа $\frac{\pi}{6}; 0,3; 0,5$ в порядке возрастания, найдем приближенное значение дроби $\frac{\pi}{6}$.

Используя приближение $\pi \approx 3,14$, получаем:

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,523...$

Теперь сравним десятичные дроби: $0,3$, $0,5$ и $0,523...$.

В порядке возрастания они располагаются так: $0,3 < 0,5 < 0,523...$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $0,3 < 0,5 < \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $0,3; 0,5; \frac{\pi}{6}$.

г) Чтобы расположить отрицательные числа $-3,2; -\sqrt{10}; -3$ в порядке возрастания, нужно сравнить их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.

Сравним модули этих чисел: $|-3,2|=3,2$; $|-\sqrt{10}|=\sqrt{10}$; $|-3|=3$.

Для сравнения положительных чисел $3,2$, $\sqrt{10}$ и $3$ возведем их в квадрат:

$(3,2)^2 = 10,24$

$(\sqrt{10})^2 = 10$

$3^2 = 9$

Сравнивая квадраты, получаем: $9 < 10 < 10,24$.

Это означает, что для модулей выполняется неравенство: $3 < \sqrt{10} < 3,2$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-3,2 < -\sqrt{10} < -3$.

Ответ: $-3,2; -\sqrt{10}; -3$.

13.17 а) $2\pi$; 6,3; 5,81;

б) 0; $-\frac{4}{\sqrt{2}}$; $-\frac{15}{7}$;

в) $\frac{\pi}{2}$; 1,5; 1,6;

г) $-0,5$; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; -1.

а)

Для того чтобы сравнить числа $2\pi$; $6,3$; $5,81$, необходимо привести их к одному виду, например, к десятичным дробям. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,1416$.

Вычислим приближенное значение выражения $2\pi$:

$2\pi \approx 2 \times 3,1416 = 6,2832$.

Теперь сравним полученные значения: $6,2832$; $6,3$; $5,81$.

Очевидно, что $5,81$ является наименьшим числом. Далее, сравнивая $6,2832$ и $6,3$, видим, что $6,2832 < 6,3$.

Таким образом, числа в порядке возрастания (от меньшего к большему) располагаются следующим образом: $5,81$; $2\pi$; $6,3$.

Ответ: $5,81$; $2\pi$; $6,3$.

б)

Необходимо сравнить числа $0$; $-\frac{4}{\sqrt{2}}$; $-\frac{15}{7}$.

Сначала упростим выражение $-\frac{4}{\sqrt{2}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$-\frac{4}{\sqrt{2}} = -\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.

Теперь нам нужно сравнить три числа: $0$, $-2\sqrt{2}$ и $-\frac{15}{7}$.

Число $0$ больше любого отрицательного числа. Сравним два отрицательных числа: $-2\sqrt{2}$ и $-\frac{15}{7}$. Для этого сравним их модули (положительные значения) $2\sqrt{2}$ и $\frac{15}{7}$. Чем больше модуль, тем меньше само отрицательное число.

Чтобы сравнить $2\sqrt{2}$ и $\frac{15}{7}$, возведем оба положительных числа в квадрат:

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

$(\frac{15}{7})^2 = \frac{225}{49}$.

Приведем $8$ к дроби со знаменателем $49$: $8 = \frac{8 \cdot 49}{49} = \frac{392}{49}$.

Сравниваем дроби: $\frac{392}{49} > \frac{225}{49}$.

Следовательно, $8 > (\frac{15}{7})^2$, что означает $2\sqrt{2} > \frac{15}{7}$.

Поскольку $2\sqrt{2} > \frac{15}{7}$, для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-2\sqrt{2} < -\frac{15}{7}$.

Таким образом, располагая числа в порядке возрастания, получаем: $-2\sqrt{2} < -\frac{15}{7} < 0$.

Ответ: $-\frac{4}{\sqrt{2}}$; $-\frac{15}{7}$; $0$.

в)

Сравним числа $\frac{\pi}{2}$; $1,5$; $1,6$.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,1416$.

Вычислим приближенное значение выражения $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,1416}{2} = 1,5708$.

Теперь сравним числа: $1,5708$; $1,5$; $1,6$.

Располагая их в порядке возрастания, получаем: $1,5 < 1,5708 < 1,6$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $1,5$; $\frac{\pi}{2}$; $1,6$.

Ответ: $1,5$; $\frac{\pi}{2}$; $1,6$.

г)

Сравним числа $-0,5$; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $-1$.

Используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Вычислим приближенное значение выражения $-\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -\frac{1,414}{2} = -0,707$.

Теперь сравним числа: $-0,5$; $-0,707$; $-1$.

При сравнении отрицательных чисел, меньшим является то, чей модуль больше. Модули чисел равны: $|-0,5|=0,5$; $|-0,707|=0,707$; $|-1|=1$.

Так как $1 > 0,707 > 0,5$, то в порядке возрастания числа располагаются так: $-1 < -0,707 < -0,5$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $-1$; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $-0,5$.

Ответ: $-1$; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $-0,5$.

13.18 Выясните, положительными или отрицательными являются числа p и q, если известно, что:

а) $pq > 0;$

б) $p^2q < 0;$

в) $\frac{p}{q} < 0.$

г) $\frac{p}{q^2} > 0;$

а) Неравенство $pq > 0$ означает, что произведение чисел p и q положительно. Произведение двух чисел положительно тогда и только тогда, когда оба числа имеют одинаковый знак. Это значит, что либо оба числа положительны ($p > 0$ и $q > 0$), либо оба числа отрицательны ($p < 0$ и $q < 0$).
Ответ: числа p и q имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

б) В неравенстве $p^2q < 0$ множитель $p^2$ всегда положителен при любом ненулевом p, так как квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, есть число положительное ($p^2 > 0$ при $p \neq 0$). Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы другой множитель, q, был отрицательным. Таким образом, $q < 0$. Знак числа p определить невозможно, оно может быть как положительным, так и отрицательным.
Ответ: число q отрицательное ($q < 0$), а знак числа p определить нельзя (p может быть как положительным, так и отрицательным, $p \neq 0$).

в) Неравенство $\frac{p}{q} < 0$ означает, что частное от деления p на q отрицательно. Частное двух чисел отрицательно тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки. То есть, либо p — положительное, а q — отрицательное ($p > 0$ и $q < 0$), либо наоборот, p — отрицательное, а q — положительное ($p < 0$ и $q > 0$).
Ответ: числа p и q имеют разные знаки.

г) В неравенстве $\frac{p}{q^2} > 0$ знаменатель $q^2$ всегда положителен при любом ненулевом q ($q^2 > 0$ при $q \neq 0$). Чтобы частное было положительным, необходимо, чтобы числитель p также был положительным. Таким образом, $p > 0$. Знак числа q определить невозможно, оно может быть как положительным, так и отрицательным.
Ответ: число p положительное ($p > 0$), а знак числа q определить нельзя (q может быть как положительным, так и отрицательным, $q \neq 0$).

13.19 Известно, что $a > 2$. Какой знак имеет выражение:

а) $3a - 6$;

б) $\frac{a - 2}{a - 1}$;

в) $\frac{-5}{2 - a}$;

г) $(a - 2)(1 - a)$?

а) Из условия $a > 2$ следует, что если умножить обе части неравенства на 3 (положительное число), знак неравенства не изменится: $3a > 6$. Теперь вычтем 6 из обеих частей неравенства: $3a - 6 > 6 - 6$, что приводит к $3a - 6 > 0$. Так как значение выражения больше нуля, его знак положительный.
Ответ: положительный.

б) Для определения знака дроби $\frac{a-2}{a-1}$ нужно определить знаки числителя и знаменателя.
Знак числителя ($a-2$): поскольку $a > 2$, то разность $a - 2$ будет больше нуля, то есть $a - 2 > 0$. Числитель положителен.
Знак знаменателя ($a-1$): из условия $a > 2$ следует, что $a$ также больше 1. Значит, разность $a - 1$ будет больше нуля, то есть $a - 1 > 0$. Знаменатель положителен.
Деление положительного числа на положительное дает в результате положительное число.
Ответ: положительный.

в) Для определения знака дроби $\frac{-5}{2-a}$ нужно определить знаки числителя и знаменателя.
Знак числителя: числитель равен -5, это отрицательное число.
Знак знаменателя ($2-a$): из условия $a > 2$ следует, что если мы вычтем $a$ из 2, результат будет отрицательным. Формально: $a > 2 \implies -a < -2 \implies 2-a < 2-2 \implies 2-a < 0$. Знаменатель отрицателен.
Деление отрицательного числа на отрицательное дает в результате положительное число.
Ответ: положительный.

г) Для определения знака произведения $(a-2)(1-a)$ нужно определить знак каждого множителя.
Знак первого множителя ($a-2$): как мы установили в пункте б), из $a > 2$ следует, что $a-2 > 0$. Множитель положителен.
Знак второго множителя ($1-a$): так как $a > 2$, то $a$ заведомо больше 1. Если из меньшего числа (1) вычесть большее ($a$), результат будет отрицательным. Формально: $a > 1 \implies -a < -1 \implies 1-a < 1-1 \implies 1-a < 0$. Множитель отрицателен.
Произведение положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число.
Ответ: отрицательный.

13.20 Известно, что $b < 3$. Какой знак имеет выражение:

а) $(b - 1)^2 (b - 3);

б) $\frac{b - 4}{3 - b};

в) $14 - 4b;

г) $\frac{b^2 + 1}{(b - 7)(3 - b)}?

a) $(b-1)^2(b-3)$
Определим знак каждого множителя в выражении.
Множитель $(b-1)^2$ является квадратом действительного числа, следовательно, он всегда неотрицателен: $(b-1)^2 \ge 0$. Он равен нулю при $b=1$.
Множитель $(b-3)$ является отрицательным, так как из условия $b < 3$ следует, что $b-3 < 0$.
Произведение неотрицательного числа (при $b \ne 1$ — положительного) и отрицательного числа является неположительным числом (то есть отрицательным или равным нулю).
Ответ: выражение неположительное (отрицательное или равно нулю).

б) $\frac{b-4}{3-b}$
Определим знак числителя и знаменателя дроби.
Числитель: $b-4$. Поскольку по условию $b < 3$, а $3 < 4$, то $b < 4$. Следовательно, $b-4 < 0$. Числитель отрицательный.
Знаменатель: $3-b$. Поскольку по условию $b < 3$, то $3-b > 0$. Знаменатель положительный.
Частное от деления отрицательного числа на положительное есть число отрицательное.
Ответ: выражение имеет отрицательный знак.

в) $14-4b$
Исходя из условия $b < 3$, выполним равносильные преобразования неравенства.
1. Умножим обе части неравенства на $-4$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-4 \cdot b > -4 \cdot 3$
$-4b > -12$
2. Прибавим к обеим частям неравенства число 14:
$14 - 4b > 14 - 12$
$14 - 4b > 2$
Поскольку значение выражения всегда больше 2, оно всегда положительно.
Ответ: выражение имеет положительный знак.

г) $\frac{b^2+1}{(b-7)(3-b)}$
Определим знак числителя и знаменателя дроби.
Числитель: $b^2+1$. Так как $b^2$ — квадрат действительного числа, то $b^2 \ge 0$. Следовательно, $b^2+1 \ge 1$. Числитель всегда положительный.
Знаменатель: $(b-7)(3-b)$. Рассмотрим знак каждого множителя в знаменателе.
- Множитель $(b-7)$: так как $b < 3$ и $3 < 7$, то $b < 7$, следовательно $b-7 < 0$. Множитель отрицательный.
- Множитель $(3-b)$: так как $b < 3$, то $3-b > 0$. Множитель положительный.
Произведение отрицательного и положительного множителей дает отрицательный результат, поэтому знаменатель $(b-7)(3-b)$ отрицателен.
Частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель есть число отрицательное.
Ответ: выражение имеет отрицательный знак.

13.21 Какой знак имеет выражение $(s - 1)(s - 4)$, если известно, что:

а) $s < 1$;

б) $s > 4$;

в) $1 < s < 4$;

г) $s > 5?$

а) s < 1;

Чтобы определить знак выражения $(s-1)(s-4)$, определим знак каждого множителя при заданном условии.
1. Знак множителя $(s-1)$. По условию $s < 1$. Если из числа вычесть большее число, результат будет отрицательным. Следовательно, $s-1 < 0$ (отрицательный).
2. Знак множителя $(s-4)$. Так как $s < 1$, то оно тем более меньше 4. Следовательно, $s-4 < 0$ (отрицательный).
Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число. Таким образом, выражение $(s-1)(s-4)$ имеет положительный знак.
Ответ: положительный.

б) s > 4;

Определим знаки множителей при условии $s > 4$.
1. Знак множителя $(s-1)$. Так как $s > 4$, то оно тем более больше 1. Следовательно, $s-1 > 0$ (положительный).
2. Знак множителя $(s-4)$. По условию $s > 4$. Если из большего числа вычесть меньшее, результат будет положительным. Следовательно, $s-4 > 0$ (положительный).
Произведение двух положительных чисел дает положительное число. Таким образом, выражение $(s-1)(s-4)$ имеет положительный знак.
Ответ: положительный.

в) 1 < s < 4;

Определим знаки множителей при условии $1 < s < 4$.
1. Знак множителя $(s-1)$. Из условия $s > 1$ следует, что разность $s-1$ будет положительной: $s-1 > 0$.
2. Знак множителя $(s-4)$. Из условия $s < 4$ следует, что разность $s-4$ будет отрицательной: $s-4 < 0$.
Произведение положительного и отрицательного чисел дает отрицательное число. Таким образом, выражение $(s-1)(s-4)$ имеет отрицательный знак.
Ответ: отрицательный.

г) s > 5?

Определим знаки множителей при условии $s > 5$.
1. Знак множителя $(s-1)$. Так как $s > 5$, то оно тем более больше 1. Следовательно, $s-1 > 0$ (положительный).
2. Знак множителя $(s-4)$. Так как $s > 5$, то оно тем более больше 4. Следовательно, $s-4 > 0$ (положительный).
Произведение двух положительных чисел дает положительное число. Таким образом, выражение $(s-1)(s-4)$ имеет положительный знак.
Ответ: положительный.