Страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13.1 Назовите несколько элементов множества:

а) натуральных чисел;

б) иррациональных чисел;

в) целых чисел;

г) действительных чисел.

а) натуральных чисел;

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов (например, 1, 2, 3, ...). Это множество целых положительных чисел. В математике множество натуральных чисел принято обозначать символом $N$.
$N = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$
Примерами элементов множества натуральных чисел могут служить: 1, 8, 54, 123, 1000.

Ответ: 1, 8, 54, 123.

б) иррациональных чисел;

Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ является целым числом, а $n$ — натуральным. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.
К ним относятся, например, квадратные корни из чисел, не являющихся точными квадратами ($\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$), а также известные математические константы, как число Пи ($\pi \approx 3.14159...$) и число Эйлера ($e \approx 2.71828...$).
Примерами элементов множества иррациональных чисел являются: $\sqrt{2}$, $-\sqrt{7}$, $\pi$, $e$.

Ответ: $\sqrt{2}$, $-\sqrt{7}$, $\pi$, $e$.

в) целых чисел;

Целые числа — это множество, которое включает в себя натуральные числа, им противоположные (отрицательные) числа и ноль. Множество целых чисел обозначается символом $Z$.
$Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$
Примерами элементов множества целых чисел являются: -273, -15, 0, 1, 99.

Ответ: -273, -15, 0, 99.

г) действительных чисел.

Действительные (или вещественные) числа — это все числа, которые можно отметить на числовой прямой. Это множество включает в себя как рациональные числа (которые можно представить в виде дроби, например, 5, -3, 0, $\frac{1}{2}$, -0.25), так и иррациональные числа (например, $\sqrt{2}$, $\pi$). Множество действительных чисел обозначается символом $R$.
Примерами элементов множества действительных чисел могут быть: -100, -3.14, 0, $\frac{5}{8}$, $\sqrt{3}$, 42.

Ответ: -100, -3.14, $\frac{5}{8}$, $\sqrt{3}$.

13.2 Назовите, если это возможно, несколько общих элементов:

а) множества рациональных и множества действительных чисел;

б) множества целых чисел и множества действительных чисел;

в) множества иррациональных и множества действительных чисел;

г) множества натуральных и множества иррациональных чисел.

а) множества рациональных и множества действительных чисел;
Множество действительных чисел ($R$) является объединением множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел ($I$). Таким образом, множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$). Это означает, что любое рациональное число одновременно является и действительным числом. Следовательно, общими элементами этих двух множеств являются все без исключения рациональные числа.
В качестве примеров можно привести любые целые числа, конечные десятичные дроби или бесконечные периодические дроби.
Примеры: $5$ (можно записать как $\frac{5}{1}$), $-2,5$ (можно записать как $-\frac{5}{2}$), $0$, $\frac{1}{3}$ (бесконечная периодическая дробь $0.333...$).
Ответ: $5$; $-2,5$; $0$; $\frac{1}{3}$.

б) множества целых чисел и множества действительных чисел;
Множество целых чисел ($Z$) включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($Z \subset Q$), а те, в свою очередь, являются подмножеством действительных ($Q \subset R$). Следовательно, множество целых чисел также является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$). Каждое целое число является действительным числом. Таким образом, все целые числа являются общими элементами для этих двух множеств.
Примеры: $-100$, $-8$, $0$, $45$.
Ответ: $-100$; $-8$; $0$; $45$.

в) множества иррациональных и множества действительных чисел;
Множество иррациональных чисел ($I$) — это действительные числа, которые не являются рациональными. Их нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число. По определению, множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($I \subset R$). Любое иррациональное число является и действительным числом. Значит, все иррациональные числа являются общими элементами для этих двух множеств.
Примерами служат непериодические бесконечные десятичные дроби, такие как корни из чисел, не являющихся точными квадратами, или математические константы.
Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{7}$, $e$.
Ответ: $\sqrt{2}$; $\pi$; $\sqrt{7}$; $e$.

г) множества натуральных и множества иррациональных чисел.
Множество натуральных чисел ($N$) — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, ...$. Все натуральные числа являются рациональными, так как любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$. Множество иррациональных чисел ($I$) — это действительные числа, которые по определению не являются рациональными.
Таким образом, множества рациональных и иррациональных чисел не имеют общих элементов (их пересечение пусто: $Q \cap I = \emptyset$). Так как все натуральные числа являются рациональными ($N \subset Q$), они не могут одновременно быть иррациональными. Следовательно, у множества натуральных и множества иррациональных чисел нет общих элементов.
Ответ: Назвать общие элементы невозможно, так как их не существует.

13.3 Почему соответствие между множеством всех точек координатной прямой и множеством всех рациональных чисел нельзя назвать взаимно однозначным? Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы каждой точке прямой соответствовало определённое число?

Почему соответствие между множеством всех точек координатной прямой и множеством всех рациональных чисел нельзя назвать взаимно однозначным?

Взаимно однозначное соответствие (также называемое биекцией) между двумя множествами устанавливается тогда, когда каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, и наоборот, каждому элементу второго множества соответствует ровно один элемент первого.

Рассмотрим два множества: множество всех точек на координатной прямой и множество всех рациональных чисел ($\mathbb{Q}$). Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Каждому рациональному числу, например $\frac{3}{4}$, действительно соответствует одна-единственная точка на координатной прямой. Однако обратное неверно: не каждой точке на координатной прямой можно сопоставить рациональное число. Существуют точки, координаты которых выражаются числами, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Такие числа называются иррациональными.

Наглядным примером служит число $\sqrt{2}$. Длину, равную $\sqrt{2}$, имеет диагональ квадрата со стороной 1. Если отложить отрезок такой длины от начала координат по координатной прямой, мы получим точку. Однако математически доказано, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Это означает, что на координатной прямой есть точка с координатой $\sqrt{2}$, но в множестве рациональных чисел нет числа, которое ей соответствует.

Так как существуют точки на прямой, для которых не нашлось соответствующего рационального числа, то соответствие между этими двумя множествами не является взаимно однозначным.

Ответ: Соответствие не является взаимно однозначным, потому что существуют точки на координатной прямой (например, точка с координатой $\sqrt{2}$ или $\pi$), которым не соответствует ни одно рациональное число.

Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы каждой точке прямой соответствовало определённое число?

Чтобы каждой точке на координатной прямой соответствовало некоторое число, необходимо к множеству рациональных чисел добавить все те числа, которые "заполняют" пробелы между рациональными точками. Эти числа, как было сказано выше, являются иррациональными.

Иррациональные числа — это все числа, которые не являются рациональными (например, $\sqrt{3}$, $\pi$, $e$). В виде десятичной дроби они представляются как бесконечные непериодические дроби.

Когда мы объединяем множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множество иррациональных чисел ($\mathbb{I}$), мы получаем множество действительных (или вещественных) чисел, обозначаемое как $\mathbb{R}$.

Именно множество действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии со всеми точками координатной прямой. Это значит, что теперь каждой точке на прямой соответствует уникальное действительное число, и каждому действительному числу — уникальная точка на прямой.

Ответ: К множеству рациональных чисел необходимо добавить множество всех иррациональных чисел. В результате получится множество действительных чисел, которое и находится во взаимно однозначном соответствии со всеми точками координатной прямой.

Сравните числа:

13.4 а) $7,5$ и $7,498$;
б) $3,1416$ и $3,14159$;
в) $54,46$ и $54,64$;
г) $1,2112$ и $1,2121$.

а) Чтобы сравнить числа 7,5 и 7,498, мы сначала сравниваем их целые части. В обоих случаях целая часть равна 7. Далее сравниваем дробные части поразрядно, начиная с десятых. У числа 7,5 в разряде десятых стоит цифра 5, а у числа 7,498 — цифра 4. Так как $5 > 4$, то число 7,5 больше, чем 7,498. Можно также уравнять количество знаков после запятой, дописав нули: $7,5 = 7,500$. Сравнивая 7,500 и 7,498, очевидно, что первое число больше.

Ответ: $7,5 > 7,498$

б) Сравниваем числа 3,1416 и 3,14159. Целые части у них одинаковые и равны 3. Начнем поразрядное сравнение дробных частей, двигаясь слева направо. Цифры в разрядах десятых, сотых и тысячных совпадают (это 1, 4 и 1 соответственно). Различие появляется в разряде десятитысячных (четвертый знак после запятой). У числа 3,1416 в этом разряде стоит 6, а у числа 3,14159 — 5. Поскольку $6 > 5$, то первое число больше второго.

Ответ: $3,1416 > 3,14159$

в) Сравниваем числа 54,46 и 54,64. Целые части обоих чисел равны 54. Переходим к сравнению дробных частей. В разряде десятых у числа 54,46 стоит цифра 4, а у числа 54,64 — цифра 6. Так как $4 < 6$, то первое число меньше второго. Дальнейшее сравнение не требуется.

Ответ: $54,46 < 54,64$

г) Сравниваем числа 1,2112 и 1,2121. Целые части у них равны 1. Сравниваем дробные части поразрядно. Цифры в разряде десятых совпадают (2), цифры в разряде сотых также совпадают (1). Различие появляется в разряде тысячных (третий знак после запятой): у числа 1,2112 в этом разряде стоит 1, а у числа 1,2121 — 2. Поскольку $1 < 2$, то первое число меньше второго.

Ответ: $1,2112 < 1,2121$

13.5 a) $-0,25$ и $-0,26$;

б) $-5,123$ и $-5,1231$;

в) $-27,36$ и $-27,63$;

г) $-7,3434$ и $-7,4343$.

Для сравнения двух отрицательных чисел используется правило: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. И наоборот, меньше то число, модуль которого больше. Это правило можно представить на числовой оси: чем правее расположено число, тем оно больше.

а) Сравним числа $-0,25$ и $-0,26$.

Сначала найдем и сравним их модули (абсолютные величины): $|-0,25| = 0,25$ и $|-0,26| = 0,26$.

Мы знаем, что $0,25$ меньше, чем $0,26$. Запишем это в виде неравенства: $0,25 < 0,26$.

Так как мы сравниваем отрицательные числа, то число с меньшим модулем будет больше. Следовательно, знак неравенства меняется на противоположный.

$-0,25 > -0,26$.

Ответ: $-0,25 > -0,26$.

б) Сравним числа $-5,123$ и $-5,1231$.

Сравним модули этих чисел: $|-5,123| = 5,123$ и $|-5,1231| = 5,1231$.

Для удобства сравнения модулей приведем их к одинаковому количеству знаков после запятой, добавив ноль к первому числу: $5,123 = 5,1230$.

Теперь сравним $5,1230$ и $5,1231$. Очевидно, что $5,1230 < 5,1231$.

Поскольку модуль первого числа меньше модуля второго, для самих отрицательных чисел будет верно обратное неравенство.

$-5,123 > -5,1231$.

Ответ: $-5,123 > -5,1231$.

в) Сравним числа $-27,36$ и $-27,63$.

Найдем и сравним их модули: $|-27,36| = 27,36$ и $|-27,63| = 27,63$.

Целые части у этих чисел одинаковы ($27$). Сравним их дробные части: $0,36$ и $0,63$.

Так как $36 < 63$, то и $27,36 < 27,63$.

Для отрицательных чисел соотношение будет обратным, так как число с меньшим модулем является большим.

$-27,36 > -27,63$.

Ответ: $-27,36 > -27,63$.

г) Сравним числа $-7,3434$ и $-7,4343$.

Сравним модули этих чисел: $|-7,3434| = 7,3434$ и $|-7,4343| = 7,4343$.

Целые части у чисел равны ($7$). Начнем поразрядное сравнение дробных частей, двигаясь слева направо. Первая цифра после запятой (разряд десятых) у первого числа — $3$, а у второго — $4$.

Так как $3 < 4$, дальнейшее сравнение не требуется. Мы можем заключить, что $7,3434 < 7,4343$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный.

$-7,3434 > -7,4343$.

Ответ: $-7,3434 > -7,4343$.

13.6 a) $3,(7)$ и $\frac{26}{7}$;

б) $0,(1)$ и $\frac{1}{9}$;

в) $6,(3)$ и $\frac{19}{3}$;

г) $4,(2)$ и $\frac{21}{5}$.

а)

Чтобы сравнить числа $3,(7)$ и $\frac{26}{7}$, представим периодическую дробь $3,(7)$ в виде обыкновенной дроби. Для этого воспользуемся стандартным методом.

Пусть $x = 3,(7) = 3,777...$

Умножим обе части этого равенства на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо (на длину периода):

$10x = 37,777...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое. Дробные части при этом сократятся:

$10x - x = 37,777... - 3,777...$

$9x = 34$

$x = \frac{34}{9}$

Теперь нам нужно сравнить две обыкновенные дроби: $\frac{34}{9}$ и $\frac{26}{7}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 7 равен $9 \times 7 = 63$.

$\frac{34}{9} = \frac{34 \times 7}{9 \times 7} = \frac{238}{63}$

$\frac{26}{7} = \frac{26 \times 9}{7 \times 9} = \frac{234}{63}$

Сравниваем числители полученных дробей: $238 > 234$.

Следовательно, $\frac{238}{63} > \frac{234}{63}$, а значит, и $\frac{34}{9} > \frac{26}{7}$.

Таким образом, $3,(7) > \frac{26}{7}$.

Ответ: $3,(7) > \frac{26}{7}$.

б)

Сравним числа $0,(1)$ и $\frac{1}{9}$. Представим периодическую дробь $0,(1)$ в виде обыкновенной дроби.

Пусть $x = 0,(1) = 0,111...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 1,111...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 1,111... - 0,111...$

$9x = 1$

$x = \frac{1}{9}$

Таким образом, $0,(1)$ в точности равно $\frac{1}{9}$.

Ответ: $0,(1) = \frac{1}{9}$.

в)

Сравним числа $6,(3)$ и $\frac{19}{3}$. Представим периодическую дробь $6,(3)$ в виде обыкновенной дроби.

Пусть $x = 6,(3) = 6,333...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 63,333...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 63,333... - 6,333...$

$9x = 57$

$x = \frac{57}{9}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{57 \div 3}{9 \div 3} = \frac{19}{3}$

Таким образом, $6,(3)$ в точности равно $\frac{19}{3}$.

Ответ: $6,(3) = \frac{19}{3}$.

г)

Сравним числа $4,(2)$ и $\frac{21}{5}$. Для этого можно перевести обыкновенную дробь в десятичную, так как знаменатель 5 позволяет получить конечную десятичную дробь.

Переведем дробь $\frac{21}{5}$ в десятичную:

$\frac{21}{5} = \frac{21 \times 2}{5 \times 2} = \frac{42}{10} = 4,2$

Теперь сравним $4,(2)$ и $4,2$.

Число $4,(2)$ является периодической дробью и равно $4,222...$

Сравнивая $4,222...$ и $4,200...$, мы видим, что первая дробь больше, так как ее цифра в разряде сотых (2) больше, чем у второй дроби (0).

Следовательно, $4,(2) > 4,2$, а значит $4,(2) > \frac{21}{5}$.

Ответ: $4,(2) > \frac{21}{5}$.

13.7 a) $4,8$ и $\sqrt{29}$;

б) $-\sqrt{10}$ и $-3,16$;

в) $-\sqrt{3}$ и $-\frac{71}{41}$;

г) $\sqrt{45}$ и $5,9$.

а) Чтобы сравнить числа $4,8$ и $\sqrt{29}$, возведем оба числа в квадрат, так как они оба положительные. Сравнение квадратов этих чисел будет равносильно сравнению самих чисел.
Квадрат числа $4,8$ равен: $4,8^2 = 23,04$.
Квадрат числа $\sqrt{29}$ равен: $(\sqrt{29})^2 = 29$.
Сравниваем полученные результаты: $23,04 < 29$.
Так как $4,8^2 < (\sqrt{29})^2$, то и $4,8 < \sqrt{29}$.
Ответ: $4,8 < \sqrt{29}$.

б) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\sqrt{10}$ и $-3,16$, сначала сравним их модули (положительные значения) $\sqrt{10}$ и $3,16$.
Возведем оба положительных числа в квадрат.
Квадрат числа $\sqrt{10}$ равен: $(\sqrt{10})^2 = 10$.
Квадрат числа $3,16$ равен: $3,16^2 = 9,9856$.
Сравниваем квадраты: $10 > 9,9856$.
Следовательно, $\sqrt{10} > 3,16$.
При сравнении отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Так как $\sqrt{10} > 3,16$, то $-\sqrt{10} < -3,16$.
Ответ: $-\sqrt{10} < -3,16$.

в) Сравним отрицательные числа $-\sqrt{3}$ и $-\frac{71}{41}$. Для этого сначала сравним их модули $\sqrt{3}$ и $\frac{71}{41}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат.
Квадрат числа $\sqrt{3}$ равен: $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Квадрат числа $\frac{71}{41}$ равен: $(\frac{71}{41})^2 = \frac{71^2}{41^2} = \frac{5041}{1681}$.
Теперь сравним $3$ и $\frac{5041}{1681}$. Для этого приведем $3$ к дроби со знаменателем $1681$: $3 = \frac{3 \cdot 1681}{1681} = \frac{5043}{1681}$.
Сравниваем дроби: $\frac{5043}{1681} > \frac{5041}{1681}$.
Следовательно, $3 > (\frac{71}{41})^2$, что означает $\sqrt{3} > \frac{71}{41}$.
Поскольку большему положительному числу соответствует меньшее отрицательное, получаем: $-\sqrt{3} < -\frac{71}{41}$.
Ответ: $-\sqrt{3} < -\frac{71}{41}$.

г) Чтобы сравнить числа $\sqrt{45}$ и $5,9$, возведем оба числа в квадрат, так как они оба положительные.
Квадрат числа $\sqrt{45}$ равен: $(\sqrt{45})^2 = 45$.
Квадрат числа $5,9$ равен: $5,9^2 = 34,81$.
Сравниваем полученные квадраты: $45 > 34,81$.
Так как $(\sqrt{45})^2 > 5,9^2$, то и $\sqrt{45} > 5,9$.
Ответ: $\sqrt{45} > 5,9$.