Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

11.17 а) $\sqrt{16} + \sqrt{100};$

б) $\sqrt{49} + \sqrt{0};$

в) $\sqrt{121} - \sqrt{64};$

г) $\sqrt{81} + \sqrt{1}.$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{16} + \sqrt{100}$ необходимо извлечь квадратные корни из каждого подкоренного выражения и сложить полученные результаты.
Квадратный корень из 16 равен 4, так как $4^2 = 16$.
Квадратный корень из 100 равен 10, так как $10^2 = 100$.
Складываем полученные значения:
$\sqrt{16} + \sqrt{100} = 4 + 10 = 14$.
Ответ: 14

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{49} + \sqrt{0}$ необходимо извлечь квадратные корни и сложить результаты.
Квадратный корень из 49 равен 7, так как $7^2 = 49$.
Квадратный корень из 0 равен 0, так как $0^2 = 0$.
Складываем полученные значения:
$\sqrt{49} + \sqrt{0} = 7 + 0 = 7$.
Ответ: 7

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{121} - \sqrt{64}$ необходимо извлечь квадратные корни и найти разность результатов.
Квадратный корень из 121 равен 11, так как $11^2 = 121$.
Квадратный корень из 64 равен 8, так как $8^2 = 64$.
Находим разность полученных значений:
$\sqrt{121} - \sqrt{64} = 11 - 8 = 3$.
Ответ: 3

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt{81} + \sqrt{1}$ необходимо извлечь квадратные корни и сложить результаты.
Квадратный корень из 81 равен 9, так как $9^2 = 81$.
Квадратный корень из 1 равен 1, так как $1^2 = 1$.
Складываем полученные значения:
$\sqrt{81} + \sqrt{1} = 9 + 1 = 10$.
Ответ: 10

11.18 a) $\sqrt{64} \cdot \sqrt{4}$;

б) $\sqrt{121} \cdot \sqrt{9}$;

в) $\sqrt{49} \cdot \sqrt{100}$;

г) $\sqrt{25} \cdot \sqrt{225}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{64} \cdot \sqrt{4}$, можно воспользоваться свойством корня из произведения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ или вычислить каждый корень по отдельности. Второй способ в данном случае проще.

Сначала вычислим значения каждого корня:

Квадратный корень из 64 равен 8, так как $8^2 = 64$.

$\sqrt{64} = 8$

Квадратный корень из 4 равен 2, так как $2^2 = 4$.

$\sqrt{4} = 2$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\sqrt{64} \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16

б) Для вычисления выражения $\sqrt{121} \cdot \sqrt{9}$ найдем значение каждого квадратного корня и затем перемножим их.

Вычислим корень из 121:

$\sqrt{121} = 11$, потому что $11^2 = 121$.

Вычислим корень из 9:

$\sqrt{9} = 3$, потому что $3^2 = 9$.

Произведем умножение результатов:

$\sqrt{121} \cdot \sqrt{9} = 11 \cdot 3 = 33$.

Ответ: 33

в) Найдем значение выражения $\sqrt{49} \cdot \sqrt{100}$. Для этого извлечем корень из каждого множителя.

Квадратный корень из 49:

$\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.

Квадратный корень из 100:

$\sqrt{100} = 10$, так как $10^2 = 100$.

Теперь умножим полученные значения:

$\sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 7 \cdot 10 = 70$.

Ответ: 70

г) Чтобы решить пример $\sqrt{25} \cdot \sqrt{225}$, вычислим каждый корень в отдельности.

Найдем корень из 25:

$\sqrt{25} = 5$, поскольку $5^2 = 25$.

Найдем корень из 225:

$\sqrt{225} = 15$, поскольку $15^2 = 225$.

Перемножим результаты:

$\sqrt{25} \cdot \sqrt{225} = 5 \cdot 15 = 75$.

Ответ: 75

11.19 а) $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,36};$

б) $0,2 \cdot \sqrt{1600};$

в) $-7 \cdot \sqrt{0,04};$

г) $\frac{1}{5} \cdot \sqrt{900}.$

а) Для вычисления значения выражения $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,36}$ сначала найдем значение квадратного корня.
Квадратный корень из $0,36$ равен $0,6$, так как $0,6^2 = 0,36$.
Теперь умножим дробь $\frac{1}{3}$ на полученное число:
$\frac{1}{3} \cdot 0,6 = \frac{0,6}{3} = 0,2$.
Ответ: $0,2$.

б) Рассмотрим выражение $0,2 \cdot \sqrt{1600}$.
Сначала вычислим квадратный корень из $1600$. Мы можем представить $1600$ как $16 \cdot 100$.
$\sqrt{1600} = \sqrt{16 \cdot 100} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{100} = 4 \cdot 10 = 40$.
Теперь умножим $0,2$ на $40$:
$0,2 \cdot 40 = 8$.
Ответ: $8$.

в) Вычислим значение выражения $-7 \cdot \sqrt{0,04}$.
Найдем квадратный корень из $0,04$.
$\sqrt{0,04} = 0,2$, так как $0,2^2 = 0,04$.
Далее умножим $-7$ на $0,2$:
$-7 \cdot 0,2 = -1,4$.
Ответ: $-1,4$.

г) Решим выражение $\frac{1}{5} \cdot \sqrt{900}$.
Первым шагом вычислим квадратный корень из $900$. Мы можем представить $900$ как $9 \cdot 100$.
$\sqrt{900} = \sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30$.
Теперь умножим $\frac{1}{5}$ на $30$:
$\frac{1}{5} \cdot 30 = \frac{30}{5} = 6$.
Ответ: $6$.

Решите уравнение:

11.20 а) $x^2 = 4$;

б) $x^2 = 16$;

в) $x^2 = 9$;

г) $x^2 = 25$.

а) $x^2 = 4$

Данное уравнение является простейшим квадратным уравнением. Чтобы найти значение $x$, необходимо извлечь квадратный корень из правой части уравнения. При извлечении корня из положительного числа мы получаем два результата: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{4}$

Поскольку $\sqrt{4} = 2$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $\pm 2$.

б) $x^2 = 16$

Решение этого уравнения аналогично предыдущему. Нам нужно найти числа, квадрат которых равен 16. Извлекаем квадратный корень из обеих частей, не забывая про два возможных знака.

$x = \pm\sqrt{16}$

Квадратный корень из 16 равен 4. Следовательно, решениями уравнения являются:

$x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Ответ: $\pm 4$.

в) $x^2 = 9$

Для нахождения корней уравнения $x^2=9$ необходимо выполнить операцию извлечения квадратного корня. Уравнение будет иметь два корня, так как 9 — положительное число.

$x = \pm\sqrt{9}$

Вычисляем значение корня: $\sqrt{9} = 3$. Таким образом, получаем два решения:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $\pm 3$.

г) $x^2 = 25$

Последнее уравнение решается по тому же принципу. Ищем числа, которые в квадрате равны 25. Извлекаем квадратный корень из 25, учитывая оба знака.

$x = \pm\sqrt{25}$

Поскольку $\sqrt{25} = 5$, корнями уравнения являются:

$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Ответ: $\pm 5$.

11.21 a) $x^2 = 5;$

б) $x^2 = 11;$

в) $x^2 = 13;$

г) $x^2 = 17.$

а) Дано уравнение $x^2 = 5$. Это простейшее квадратное уравнение, где неизвестное $x$ находится во второй степени. Чтобы найти значение $x$, необходимо выполнить операцию, обратную возведению в квадрат, то есть извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. При извлечении квадратного корня из положительного числа (в данном случае 5) мы получаем два решения, так как квадрат как положительного, так и отрицательного числа дает положительный результат. Следовательно, $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$.
Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

б) Дано уравнение $x^2 = 11$. Решение этого уравнения аналогично предыдущему. Мы ищем числа, которые при возведении в квадрат дают 11. Поскольку $11 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\sqrt{x^2} = \sqrt{11}$. Это дает нам два корня: $x_1 = \sqrt{11}$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.
Ответ: $x = \pm\sqrt{11}$.

в) Дано уравнение $x^2 = 13$. Это уравнение вида $x^2 = a$, где $a$ - положительная константа. Общее решение для таких уравнений - $x = \pm\sqrt{a}$. В нашем случае $a=13$, поэтому, подставляя это значение в общую формулу, мы получаем два корня: $\sqrt{13}$ и $-\sqrt{13}$.
Ответ: $x = \pm\sqrt{13}$.

г) Дано уравнение $x^2 = 17$. Чтобы решить это уравнение, мы также извлекаем квадратный корень из 17. Так как 17 является простым числом, его корень является иррациональным числом и не может быть упрощен. Уравнение имеет два корня, которые равны по модулю, но противоположны по знаку. Таким образом, решениями являются $\sqrt{17}$ и $-\sqrt{17}$.
Ответ: $x = \pm\sqrt{17}$.

11.22 a) $ \frac{1}{3}x^2 = 75; $

б) $ 4x^2 - 28 = 0; $

в) $ \frac{1}{6}x^2 = 24; $

г) $ 3x^2 - 78 = 0. $

а) Дано уравнение $\frac{1}{3}x^2 = 75$. Это неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, сначала нужно выразить $x^2$. Для этого умножим обе части уравнения на 3:
$x^2 = 75 \cdot 3$
$x^2 = 225$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение вида $x^2=a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{225}$
$x_1 = 15$, $x_2 = -15$.
Ответ: $\pm15$.

б) Дано уравнение $4x^2 - 28 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Сначала перенесем свободный член (-28) в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$4x^2 = 28$
Теперь разделим обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:
$x^2 = \frac{28}{4}$
$x^2 = 7$
Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$. Уравнение имеет два иррациональных корня:
$x = \pm\sqrt{7}$.
Ответ: $\pm\sqrt{7}$.

в) Дано уравнение $\frac{1}{6}x^2 = 24$. Это неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, сначала выразим $x^2$. Для этого умножим обе части уравнения на 6:
$x^2 = 24 \cdot 6$
$x^2 = 144$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня:
$x = \pm\sqrt{144}$
$x_1 = 12$, $x_2 = -12$.
Ответ: $\pm12$.

г) Дано уравнение $3x^2 - 78 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (-78) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$3x^2 = 78$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $x^2$:
$x^2 = \frac{78}{3}$
$x^2 = 26$
Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$. Уравнение имеет два иррациональных корня:
$x = \pm\sqrt{26}$.
Ответ: $\pm\sqrt{26}$.

11.23 Укажите хотя бы одно целое число x, удовлетворяющее неравенству:

а) $x > \sqrt{2}$;

б) $2x < \sqrt{3}$;

в) $x > \sqrt{5}$;

г) $3x < \sqrt{11}$.

а) $x > \sqrt{2}$;
Чтобы найти целое число $x$, удовлетворяющее данному неравенству, оценим значение $\sqrt{2}$. Мы знаем, что $1^2=1$ и $2^2=4$. Так как $1 < 2 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, следовательно $1 < \sqrt{2} < 2$. Неравенство $x > \sqrt{2}$ означает, что нужно найти целое число, которое больше числа, находящегося между 1 и 2 (приблизительно 1,41). Наименьшим таким целым числом является 2. Также подойдут числа 3, 4 и так далее. Выберем, например, $x=2$.
Ответ: 2.

б) $2x < \sqrt{3}$;
Разделим обе части неравенства на 2, получим $x < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Оценим значение дроби. Поскольку $1^2=1$ и $2^2=4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Разделив все части на 2, получим $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{2}{2}$, или $0.5 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$. Нам нужно найти целое число $x$, которое меньше числа, расположенного между 0,5 и 1 (приблизительно 0,87). Этому условию удовлетворяют, например, числа 0, -1, -2 и так далее. Выберем, например, $x=0$.
Ответ: 0.

в) $x > \sqrt{5}$;
Для решения неравенства оценим значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, следовательно $2 < \sqrt{5} < 3$. Неравенство $x > \sqrt{5}$ означает, что нужно найти целое число, которое больше числа, находящегося между 2 и 3 (приблизительно 2,24). Наименьшим таким целым числом является 3. Также подойдут числа 4, 5 и так далее. Выберем, например, $x=3$.
Ответ: 3.

г) $3x < \sqrt{11}$;
Разделим обе части неравенства на 3: $x < \frac{\sqrt{11}}{3}$. Оценим значение дроби в правой части. Поскольку $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Разделив все части двойного неравенства на 3, получим $\frac{3}{3} < \frac{\sqrt{11}}{3} < \frac{4}{3}$, или $1 < \frac{\sqrt{11}}{3} < 1\frac{1}{3}$. Нам нужно найти целое число $x$, которое меньше числа, расположенного между 1 и $1\frac{1}{3}$ (приблизительно 1,1). Этому условию удовлетворяет число 1 (так как 1 меньше любого числа, которое больше 1), а также 0, -1, -2 и так далее. Выберем, например, $x=1$.
Ответ: 1.

11.24 Укажите три целых числа, удовлетворяющих неравенству:

а) $2x > \sqrt{5};$

б) $2x < \sqrt{7};$

в) $3x < \sqrt{2};$

г) $5x > \sqrt{10}.$

а) $2x > \sqrt{5}$
Для решения этого неравенства найдем, каким должен быть $x$. Поскольку $\sqrt{5}$ — положительное число, то и $2x$ должно быть положительным, а значит, $x$ должно быть положительным целым числом. Возведем обе части неравенства в квадрат, так как они обе положительны: $(2x)^2 > (\sqrt{5})^2$
$4x^2 > 5$
$x^2 > \frac{5}{4}$
$x^2 > 1.25$
Теперь найдем целые числа, квадрат которых больше $1.25$. Если $x=1$, то $x^2 = 1$, что не удовлетворяет условию $1 > 1.25$. Если $x=2$, то $x^2 = 4$, что удовлетворяет условию $4 > 1.25$. Следовательно, наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, это 2. Любое целое число большее 2 также будет решением. Возьмем три таких числа.
Ответ: 2, 3, 4.

б) $2x < \sqrt{7}$
Выразим $x$ из неравенства: $x < \frac{\sqrt{7}}{2}$
Чтобы найти целые решения, оценим значение правой части. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{7} < 3$. Используем приблизительное значение $\sqrt{7} \approx 2.65$. $x < \frac{2.65}{2}$
$x < 1.325$
Нам нужно найти три целых числа, которые строго меньше $1.325$. Наибольшее такое целое число — это 1. Другими подходящими числами будут 0 и -1.
Ответ: 1, 0, -1.

в) $3x < \sqrt{2}$
Выразим $x$ из неравенства: $x < \frac{\sqrt{2}}{3}$
Оценим значение правой части. Мы знаем, что $1^2=1$ и $2^2=4$, поэтому $1 < \sqrt{2} < 2$. Используем приблизительное значение $\sqrt{2} \approx 1.41$. $x < \frac{1.41}{3}$
$x < 0.47$
Нам нужно найти три целых числа, которые строго меньше $0.47$. Наибольшее такое целое число — это 0. Другими подходящими числами будут -1 и -2.
Ответ: 0, -1, -2.

г) $5x > \sqrt{10}$
Так как правая часть положительна, $x$ должен быть положительным целым числом. Возведем обе части в квадрат: $(5x)^2 > (\sqrt{10})^2$
$25x^2 > 10$
$x^2 > \frac{10}{25}$
$x^2 > 0.4$
Теперь найдем целые числа, квадрат которых больше $0.4$. Если $x=1$, то $x^2 = 1$, что удовлетворяет условию $1 > 0.4$. Следовательно, наименьшее целое положительное число, удовлетворяющее неравенству, это 1. Любое целое число большее 1 также будет решением. Возьмем три таких числа.
Ответ: 1, 2, 3.

11.25 Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:

a) $64 \text{ см}^2$;

б) $100 \text{ см}^2$;

в) $2,25 \text{ см}^2$;

г) $17 \text{ м}^2$.

Для нахождения стороны квадрата, зная его площадь, необходимо извлечь квадратный корень из значения площади. Это следует из формулы площади квадрата $S = a^2$, где $S$ — это площадь, а $a$ — сторона квадрата. Таким образом, $a = \sqrt{S}$.

а) Дана площадь квадрата $S = 64 \text{ см}^2$.
Находим его сторону $a$:
$a = \sqrt{64} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

б) Дана площадь квадрата $S = 100 \text{ см}^2$.
Находим его сторону $a$:
$a = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

в) Дана площадь квадрата $S = 2,25 \text{ см}^2$.
Находим его сторону $a$:
$a = \sqrt{2,25} = 1,5$ см.
Ответ: 1,5 см.

г) Дана площадь квадрата $S = 17 \text{ м}^2$.
Находим его сторону $a$:
$a = \sqrt{17}$ м.
Так как 17 не является полным квадратом целого числа, ответ записывается в виде корня.
Ответ: $\sqrt{17}$ м.

11.26 При каком значении переменной верно равенство:

а) $ \sqrt{x} = 11; $

б) $ \sqrt{x} = \frac{2}{3}; $

в) $ \sqrt{x} = 1,1; $

г) $ \sqrt{x} = \frac{7}{8}? $

Для решения уравнений вида $\sqrt{x} = a$, где $a$ — некоторое неотрицательное число, необходимо найти такое значение $x$, арифметический квадратный корень из которого равен $a$. По определению арифметического квадратного корня, если $\sqrt{x} = a$, то $x = a^2$. Таким образом, для нахождения $x$ нужно возвести в квадрат обе части равенства.

а) Дано равенство $\sqrt{x} = 11$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 11^2$

$x = 121$

Ответ: $121$

б) Дано равенство $\sqrt{x} = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части равенства в квадрат. При возведении дроби в степень, в эту степень возводится и числитель, и знаменатель:

$x = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

в) Дано равенство $\sqrt{x} = 1,1$.

Аналогично предыдущим пунктам, возводим обе части в квадрат:

$x = (1,1)^2$

$x = 1,21$

Ответ: $1,21$

г) Дано равенство $\sqrt{x} = \frac{7}{8}$.

Возводим обе части в квадрат, чтобы найти значение $x$:

$x = \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{7^2}{8^2} = \frac{49}{64}$

Ответ: $\frac{49}{64}$

11.27 Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{6 - 2a}$, если $a = 1;$

б) $\sqrt{5b^2 + 10b + 9}$, если $b = 2;$

в) $\sqrt{4 - 2c}$, если $c = 1,5;$

г) $\sqrt{d^3 - d^2}$, если $d = 5.$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{6 - 2a}$, подставим в него заданное значение $a = 1$.
$\sqrt{6 - 2 \cdot 1}$
Выполним вычисления подкоренного выражения:
$6 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{5b^2 + 10b + 9}$, подставим в него заданное значение $b = 2$.
$\sqrt{5 \cdot 2^2 + 10 \cdot 2 + 9}$
Выполним вычисления подкоренного выражения, соблюдая порядок действий:
$5 \cdot 2^2 + 10 \cdot 2 + 9 = 5 \cdot 4 + 20 + 9 = 20 + 20 + 9 = 49$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{4 - 2c}$, подставим в него заданное значение $c = 1,5$.
$\sqrt{4 - 2 \cdot 1,5}$
Выполним вычисления подкоренного выражения:
$4 - 2 \cdot 1,5 = 4 - 3 = 1$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{d^3 - d^2}$, подставим в него заданное значение $d = 5$.
$\sqrt{5^3 - 5^2}$
Выполним вычисления подкоренного выражения:
$5^3 - 5^2 = 125 - 25 = 100$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10

11.28 Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{2a - b}$, если $a = 4, b = 7;

б) $\sqrt{p + 11} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2}$, если $p = 25, q = 16;

в) $\sqrt{m - 4n}$, если $m = 33, n = 2;

г) $\sqrt{\frac{s}{t}} + \sqrt{\frac{t}{s}}$, если $s = 225, t = 25.

а) Чтобы найти значение выражения, подставим в него заданные значения $a = 4$ и $b = 7$:
$\sqrt{2a - b} = \sqrt{2 \cdot 4 - 7} = \sqrt{8 - 7} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1

б) Подставим значения $p = 25$ и $q = 16$ в выражение $\sqrt{p + 11} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2}$:
$\sqrt{25 + 11} - \sqrt{(\frac{16}{2})^2} = \sqrt{36} - \sqrt{8^2}$.
Поскольку $\sqrt{x^2} = |x|$, то $\sqrt{8^2} = 8$.
Выполним вычисления: $6 - 8 = -2$.
Ответ: -2

в) Подставим значения $m = 33$ и $n = 2$ в выражение $\sqrt{m - 4n}$:
$\sqrt{33 - 4 \cdot 2} = \sqrt{33 - 8} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

г) Подставим значения $s = 225$ и $t = 25$ в выражение $\sqrt{\frac{s}{t}} + \sqrt{\frac{t}{s}}$:
$\sqrt{\frac{225}{25}} + \sqrt{\frac{25}{225}} = \sqrt{9} + \sqrt{\frac{1}{9}}$.
Вычисляем значения корней: $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
Складываем полученные значения: $3 + \frac{1}{3} = 3\frac{1}{3}$.
Ответ: $3\frac{1}{3}$

Вычислите, не применяя таблицу квадратов и микрокалькулятор:

11.29 а) $\sqrt{1156}$;

б) $\sqrt{1521}$;

в) $\sqrt{1024}$;

г) $\sqrt{1849}$.

а) Для вычисления $\sqrt{1156}$ определим диапазон, в котором находится искомое число. Мы знаем, что $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$. Так как $900 < 1156 < 1600$, то значение корня находится между 30 и 40.
Число 1156 оканчивается на цифру 6. Квадрат целого числа оканчивается на 6, только если само число оканчивается на 4 (поскольку $4^2 = 16$) или на 6 (поскольку $6^2 = 36$).
Следовательно, возможные значения корня — это 34 или 36. Проверим первое число:
$34^2 = 34 \times 34 = 1156$.
Результат совпал с подкоренным выражением, значит, $\sqrt{1156} = 34$.
Ответ: 34

б) Для вычисления $\sqrt{1521}$ оценим его значение. Мы знаем, что $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$. Поскольку $900 < 1521 < 1600$, корень из 1521 — это целое число от 30 до 40.
Число 1521 оканчивается на цифру 1. Квадрат целого числа оканчивается на 1, только если само число оканчивается на 1 ($1^2 = 1$) или на 9 ($9^2 = 81$).
Следовательно, возможные значения корня — это 31 или 39. Число 1521 близко к 1600, поэтому скорее всего корень - это 39. Проверим этот вариант:
$39^2 = (40 - 1)^2 = 40^2 - 2 \times 40 \times 1 + 1^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521$.
Результат совпал с подкоренным выражением, значит, $\sqrt{1521} = 39$.
Ответ: 39

в) Для вычисления $\sqrt{1024}$ определим диапазон. Мы знаем, что $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$. Так как $900 < 1024 < 1600$, то значение корня находится между 30 и 40.
Число 1024 оканчивается на цифру 4. Квадрат целого числа оканчивается на 4, только если само число оканчивается на 2 ($2^2 = 4$) или на 8 ($8^2 = 64$).
Следовательно, возможные значения корня — это 32 или 38. Число 1024 близко к 900, поэтому скорее всего корень - это 32. Проверим этот вариант:
$32^2 = 32 \times 32 = 1024$.
Результат совпал с подкоренным выражением, значит, $\sqrt{1024} = 32$.
Ответ: 32

г) Для вычисления $\sqrt{1849}$ оценим его значение. Мы знаем, что $40^2 = 1600$ и $50^2 = 2500$. Поскольку $1600 < 1849 < 2500$, корень из 1849 — это целое число от 40 до 50.
Число 1849 оканчивается на цифру 9. Квадрат целого числа оканчивается на 9, только если само число оканчивается на 3 ($3^2 = 9$) или на 7 ($7^2 = 49$).
Следовательно, возможные значения корня — это 43 или 47. Можно также заметить, что 1849 ближе к 1600 ($40^2$), чем к 2500 ($50^2$), поэтому корень, скорее всего, 43. Проверим:
$43^2 = (40 + 3)^2 = 40^2 + 2 \times 40 \times 3 + 3^2 = 1600 + 240 + 9 = 1849$.
Результат совпал с подкоренным выражением, значит, $\sqrt{1849} = 43$.
Ответ: 43

11.30 а) $\sqrt{2116}$;

б) $\sqrt{4225}$;

в) $\sqrt{9801}$;

г) $\sqrt{5329}$.

а) $ \sqrt{2116} $

Для нахождения значения квадратного корня из $2116$ воспользуемся методом оценки.

1. Оценим границы, в которых находится корень. Мы знаем, что $40^2 = 1600$ и $50^2 = 2500$. Так как $1600 < 2116 < 2500$, то искомое число находится между 40 и 50.

2. Посмотрим на последнюю цифру числа $2116$. Она равна 6. Квадрат целого числа может оканчиваться на 6, только если само число оканчивается на 4 ($4^2=16$) или на 6 ($6^2=36$).

3. Совмещая эти два факта, мы понимаем, что возможными ответами могут быть 44 или 46.

4. Проверим оба варианта возведением в квадрат:
$44^2 = 1936$ (не подходит)
$46^2 = (40 + 6)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 6 + 6^2 = 1600 + 480 + 36 = 2116$ (подходит)

Следовательно, $ \sqrt{2116} = 46 $.

Ответ: 46

б) $ \sqrt{4225} $

1. Оценим границы для корня из $4225$. Мы знаем, что $60^2 = 3600$ и $70^2 = 4900$. Поскольку $3600 < 4225 < 4900$, корень из $4225$ находится между 60 и 70.

2. Последняя цифра числа $4225$ — это 5. Квадрат числа оканчивается на 5 только в том случае, если само число оканчивается на 5.

3. Из этих двух пунктов следует, что единственным возможным ответом является 65.

4. Проверим это:
$65^2 = (60+5)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 5 + 5^2 = 3600 + 600 + 25 = 4225$.

Таким образом, $ \sqrt{4225} = 65 $.

Ответ: 65

в) $ \sqrt{9801} $

1. Оценим границы для корня из $9801$. Мы знаем, что $90^2 = 8100$ и $100^2 = 10000$. Так как $8100 < 9801 < 10000$, корень находится в интервале от 90 до 100.

2. Последняя цифра числа $9801$ — это 1. Квадрат целого числа оканчивается на 1, если само число оканчивается на 1 ($1^2=1$) или на 9 ($9^2=81$).

3. Возможные варианты ответа — 91 или 99. Число $9801$ очень близко к $10000$, поэтому наиболее вероятным кандидатом является 99.

4. Проверим 99:
$99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

Значит, $ \sqrt{9801} = 99 $.

Ответ: 99

г) $ \sqrt{5329} $

1. Оценим границы для корня из $5329$. Мы знаем, что $70^2 = 4900$ и $80^2 = 6400$. Так как $4900 < 5329 < 6400$, корень находится между 70 и 80.

2. Последняя цифра числа $5329$ — это 9. Квадрат целого числа оканчивается на 9, если само число оканчивается на 3 ($3^2=9$) или на 7 ($7^2=49$).

3. Возможные варианты ответа — 73 или 77. Сравним, к какому из концов интервала ближе число $5329$: $5329 - 4900 = 429$, а $6400 - 5329 = 1071$. Число $5329$ ближе к $4900$, значит, его корень должен быть ближе к 70. Поэтому вероятный ответ — 73.

4. Проверим 73:
$73^2 = (70 + 3)^2 = 70^2 + 2 \cdot 70 \cdot 3 + 3^2 = 4900 + 420 + 9 = 5329$.

Таким образом, $ \sqrt{5329} = 73 $.

Ответ: 73

Вычислите:

11.31 a) $\sqrt{225} + 3\sqrt{121};$

б) $\frac{9,5}{\sqrt{361}} + \sqrt{\frac{1}{4}};$

в) $-0,03 \cdot \sqrt{10000} + \sqrt{16};$

г) $\frac{4}{\sqrt{256}} - \sqrt{\frac{1}{64}}.$

а) $\sqrt{225} + 3\sqrt{121}$

Для решения данного выражения необходимо сначала вычислить значения квадратных корней, а затем выполнить арифметические действия в соответствии с их приоритетом (умножение, затем сложение).
1. Находим квадратный корень из 225:
$\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 15 \cdot 15 = 225$.
2. Находим квадратный корень из 121:
$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.
3. Подставляем полученные значения в исходное выражение:
$15 + 3 \cdot 11$
4. Выполняем умножение:
$3 \cdot 11 = 33$
5. Выполняем сложение:
$15 + 33 = 48$
Ответ: 48

б) $\frac{9,5}{\sqrt{361}} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

Вычислим значения квадратных корней, а затем выполним деление и сложение.
1. Находим квадратный корень из 361:
$\sqrt{361} = 19$, так как $19^2 = 19 \cdot 19 = 361$.
2. Находим квадратный корень из дроби $\frac{1}{4}$. Корень из дроби равен отношению корней из числителя и знаменателя:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0,5$.
3. Подставляем значения в выражение:
$\frac{9,5}{19} + 0,5$
4. Выполняем деление:
$9,5 : 19 = 0,5$
5. Выполняем сложение:
$0,5 + 0,5 = 1$
Ответ: 1

в) $-0,03 \cdot \sqrt{10\,000} + \sqrt{16}$

Сначала вычисляем значения корней, затем выполняем умножение и сложение.
1. Находим квадратный корень из 10 000:
$\sqrt{10\,000} = \sqrt{100^2} = 100$.
2. Находим квадратный корень из 16:
$\sqrt{16} = 4$, так как $4^2 = 16$.
3. Подставляем значения в выражение:
$-0,03 \cdot 100 + 4$
4. Выполняем умножение:
$-0,03 \cdot 100 = -3$
5. Выполняем сложение:
$-3 + 4 = 1$
Ответ: 1

г) $\frac{4}{\sqrt{256}} - \sqrt{\frac{1}{64}}$

Вычисляем значения корней, затем выполняем деление (или сокращение дроби) и вычитание.
1. Находим квадратный корень из 256:
$\sqrt{256} = 16$, так как $16^2 = 256$.
2. Находим квадратный корень из дроби $\frac{1}{64}$:
$\sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}$.
3. Подставляем значения в выражение:
$\frac{4}{16} - \frac{1}{8}$
4. Сокращаем первую дробь:
$\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
5. Теперь выражение выглядит так:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$
6. Приводим дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$
7. Выполняем вычитание:
$\frac{2 - 1}{8} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

11.32 а) $5 - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{1 \frac{27}{169}};$

б) $8 \cdot \sqrt{5 \frac{1}{16}} + 3;$

в) $2 \cdot \sqrt{1 \frac{9}{16}} - 1;$

г) $4 - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5 \frac{11}{49}}.$

а) $5 - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{1\frac{27}{169}}$

1. Преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь: $1\frac{27}{169} = \frac{1 \cdot 169 + 27}{169} = \frac{196}{169}$.

2. Извлечем квадратный корень: $\sqrt{\frac{196}{169}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{169}} = \frac{14}{13}$.

3. Выполним умножение: $\frac{1}{7} \cdot \frac{14}{13} = \frac{1 \cdot 14}{7 \cdot 13} = \frac{2}{13}$.

4. Выполним вычитание: $5 - \frac{2}{13} = 4\frac{13}{13} - \frac{2}{13} = 4\frac{11}{13}$.

Ответ: $4\frac{11}{13}$.

б) $8 \cdot \sqrt{5\frac{1}{16}} + 3$

1. Преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.

2. Извлечем квадратный корень: $\sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$.

3. Выполним умножение: $8 \cdot \frac{9}{4} = \frac{8 \cdot 9}{4} = 2 \cdot 9 = 18$.

4. Выполним сложение: $18 + 3 = 21$.

Ответ: $21$.

в) $2 \cdot \sqrt{1\frac{9}{16} - 1}$

1. Выполним вычитание под корнем: $1\frac{9}{16} - 1 = \frac{9}{16}$.

2. Извлечем квадратный корень: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$.

3. Выполним умножение: $2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

г) $4 - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5\frac{11}{49}}$

1. Преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь: $5\frac{11}{49} = \frac{5 \cdot 49 + 11}{49} = \frac{245+11}{49} = \frac{256}{49}$.

2. Извлечем квадратный корень: $\sqrt{\frac{256}{49}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{49}} = \frac{16}{7}$.

3. Выполним умножение: $\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{1 \cdot 16}{4 \cdot 7} = \frac{4}{7}$.

4. Выполним вычитание: $4 - \frac{4}{7} = 3\frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 3\frac{3}{7}$.

Ответ: $3\frac{3}{7}$.

11.33 а) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{196} + 1.5 \cdot \sqrt{0.36};$

б) $0.5 \cdot \sqrt{0.04} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{144};$

в) $3.6 \cdot \sqrt{0.25} + \frac{1}{32} \cdot \sqrt{256};$

г) $2.5 \cdot \sqrt{3.24} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{225}.$

а) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{196} + 1,5 \cdot \sqrt{0,36}$

Решение данного выражения требует выполнения действий в правильном порядке: сначала извлечение корня и умножение, затем сложение.

1. Вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{196} = 14$, так как $14^2 = 196$.

$\sqrt{0,36} = 0,6$, так как $0,6^2 = 0,36$.

2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{1}{2} \cdot 14 + 1,5 \cdot 0,6$

3. Выполним операции умножения:

$\frac{1}{2} \cdot 14 = 7$

$1,5 \cdot 0,6 = 0,9$

4. Выполним операцию сложения:

$7 + 0,9 = 7,9$

Ответ: $7,9$.

б) $0,5 \cdot \sqrt{0,04} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{144}$

1. Вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{0,04} = 0,2$, так как $0,2^2 = 0,04$.

$\sqrt{144} = 12$, так как $12^2 = 144$.

2. Подставим значения в выражение и выполним умножение:

$0,5 \cdot 0,2 + \frac{1}{6} \cdot 12 = 0,1 + \frac{12}{6}$

3. Выполним оставшиеся действия:

$0,1 + 2 = 2,1$

Ответ: $2,1$.

в) $3,6 \cdot \sqrt{0,25} + \frac{1}{32} \cdot \sqrt{256}$

1. Вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{0,25} = 0,5$, так как $0,5^2 = 0,25$.

$\sqrt{256} = 16$, так как $16^2 = 256$.

2. Подставим значения в выражение и выполним умножение:

$3,6 \cdot 0,5 + \frac{1}{32} \cdot 16 = 1,8 + \frac{16}{32}$

3. Сократим дробь и выполним сложение:

$1,8 + \frac{1}{2} = 1,8 + 0,5 = 2,3$

Ответ: $2,3$.

г) $2,5 \cdot \sqrt{3,24} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{225}$

1. Вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{3,24} = 1,8$, так как $1,8^2 = 3,24$.

$\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 225$.

2. Подставим значения в выражение и выполним умножение:

$2,5 \cdot 1,8 - \frac{1}{2} \cdot 15 = 4,5 - 7,5$

3. Выполним вычитание:

$4,5 - 7,5 = -3$

Ответ: $-3$.