Страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Используя обозначения $N$, $Z$, $Q$ и знаки $\in$, $\notin$, запишите следующее утверждение:

10.1 a) -8 — целое число;

б) -12 — рациональное число;

в) 79 — натуральное число;

г) 15 — целое число.

а) Утверждение «-8 — целое число» означает, что число -8 принадлежит множеству целых чисел. Множество целых чисел обозначается символом $Z$. Оно включает в себя натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им отрицательные числа (..., -3, -2, -1) и ноль. Так как -8 является целым отрицательным числом, оно принадлежит множеству $Z$. Для обозначения принадлежности используется знак $∈$.
Ответ: $-8 \in Z$

б) Утверждение «-12 — рациональное число» означает, что число -12 принадлежит множеству рациональных чисел. Множество рациональных чисел обозначается символом $Q$. К нему относятся все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in Z$), а $q$ — натуральное число ($q \in N$). Любое целое число, включая -12, является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (например, $-12 = \frac{-12}{1}$). Следовательно, -12 принадлежит множеству $Q$.
Ответ: $-12 \in Q$

в) Утверждение «79 — натуральное число» означает, что число 79 принадлежит множеству натуральных чисел. Множество натуральных чисел, используемых для счета, обозначается символом $N$ ($N = \{1, 2, 3, ...\}$). Число 79 — это положительное целое число, поэтому оно является натуральным и принадлежит множеству $N$.
Ответ: $79 \in N$

г) Утверждение «15 — целое число» означает, что число 15 принадлежит множеству целых чисел $Z$. Множество целых чисел включает все натуральные числа. Так как 15 является натуральным числом, оно также является и целым числом. Поэтому утверждение о принадлежности числа 15 множеству $Z$ истинно.
Ответ: $15 \in Z$

10.2 а) -10 не является натуральным числом;

б) -5,7 не является целым числом;

в) 0 не является натуральным числом;

г) $ \frac{2}{13} $ не является целым числом.

а) Утверждение, что $-10$ не является натуральным числом, верно. Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов, начиная с 1. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ выглядит так: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Как видно из определения, натуральные числа являются положительными. Число $-10$ — отрицательное, поэтому оно не может быть натуральным. Оно является целым числом.
Ответ: утверждение верно.

б) Утверждение, что $-5,7$ не является целым числом, верно. Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ выглядит так: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Ключевая особенность целых чисел — отсутствие у них дробной части. Число $-5,7$ имеет дробную часть, равную $0,7$, поэтому оно не является целым. Это число является рациональным.
Ответ: утверждение верно.

в) Утверждение, что $0$ не является натуральным числом, верно. Согласно определению, принятому в большинстве учебных программ, натуральные числа — это числа, возникающие при счете: $1, 2, 3, ...$ . Ноль ($0$) не входит в это множество, так как он обозначает отсутствие предметов для счета. Ноль является целым числом, но не натуральным.
Ответ: утверждение верно.

г) Утверждение, что $\frac{2}{13}$ не является целым числом, верно. Целые числа не имеют дробной части. Дробь $\frac{2}{13}$ представляет собой целое число только в том случае, если ее числитель ($2$) делится на знаменатель ($13$) нацело. Поскольку $2$ на $13$ без остатка не делится ($2 \div 13 \approx 0,1538...$), результатом является дробное (рациональное) число, а не целое.
Ответ: утверждение верно.

Установите, является ли следующее высказывание истинным:

10.3 a) $12 \in N$;

б) $-3 \in Q$;

в) $-\frac{36}{12} \in Z$;

г) $0 \in N$.

а) Данное высказывание $12 \in N$ утверждает, что число 12 принадлежит множеству натуральных чисел ($N$). Множество натуральных чисел используется для счета предметов и включает в себя целые положительные числа: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Поскольку 12 является целым положительным числом, оно принадлежит множеству натуральных чисел. Таким образом, высказывание является истинным.
Ответ: истинно.

б) Высказывание $-3 \in Q$ утверждает, что число -3 принадлежит множеству рациональных чисел ($Q$). Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Число -3 можно представить в виде дроби, например, $\frac{-3}{1}$ или $\frac{-6}{2}$. Так как -3 представимо в виде такой дроби, оно является рациональным числом. Следовательно, высказывание является истинным.
Ответ: истинно.

в) Высказывание $-\frac{36}{12} \in Z$ утверждает, что число $-\frac{36}{12}$ принадлежит множеству целых чисел ($Z$). Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Для проверки необходимо вычислить значение дроби: $-\frac{36}{12} = -3$. Число -3 является целым числом. Следовательно, высказывание является истинным.
Ответ: истинно.

г) Высказывание $0 \in N$ утверждает, что число 0 принадлежит множеству натуральных чисел ($N$). В соответствии со стандартным определением, принятым в большинстве учебных программ, натуральные числа — это числа, возникающие естественным образом при счете, то есть $N = \{1, 2, 3, ...\}$. В этом определении ноль не является натуральным числом. Поэтому высказывание является ложным.
Ответ: ложно.

10.4 a) $37 \notin Z$;

б) $-5 \notin N$;

в) $\frac{5}{12} \notin N$;

г) $\frac{3}{8} \notin Q$.

а) Высказывание $37 \notin Z$ означает, что число 37 не принадлежит множеству целых чисел $Z$. Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа (положительные целые), им противоположные отрицательные числа и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Поскольку 37 является положительным целым числом, оно входит в множество $Z$. Следовательно, утверждение $37 \in Z$ является верным, а исходное высказывание $37 \notin Z$ — ложным.
Ответ: высказывание ложно.

б) Высказывание $-5 \notin N$ означает, что число -5 не принадлежит множеству натуральных чисел $N$. Множество натуральных чисел $N$ состоит из чисел, используемых при счете предметов, то есть из положительных целых чисел: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Число -5 является отрицательным и не входит в это множество. Следовательно, высказывание $-5 \notin N$ является истинным.
Ответ: высказывание истинно.

в) Высказывание $\frac{5}{12} \notin N$ означает, что число $\frac{5}{12}$ не принадлежит множеству натуральных чисел $N$. Множество натуральных чисел $N$ состоит только из положительных целых чисел. Число $\frac{5}{12}$ является обыкновенной дробью, которая не является целым числом (так как $5$ не делится нацело на $12$). Поэтому $\frac{5}{12}$ не является натуральным числом. Следовательно, высказывание $\frac{5}{12} \notin N$ является истинным.
Ответ: высказывание истинно.

г) Высказывание $\frac{3}{8} \notin Q$ означает, что число $\frac{3}{8}$ не принадлежит множеству рациональных чисел $Q$. Множество рациональных чисел $Q$ определяется как множество всех чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in Z$), а $q$ — натуральное число ($q \in N$) (или, что то же самое, $q$ — целое ненулевое число). Число $\frac{3}{8}$ уже представлено в виде такой дроби, где $p=3$ ($3 \in Z$) и $q=8$ ($8 \in N$). По определению, $\frac{3}{8}$ является рациональным числом, то есть $\frac{3}{8} \in Q$. Следовательно, исходное высказывание $\frac{3}{8} \notin Q$ является ложным.
Ответ: высказывание ложно.