Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Запишите в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

10.15 a) $\frac{3}{11}$;

б) $\frac{8}{33}$;

в) $\frac{5}{99}$;

г) $\frac{2}{15}$.

а) Чтобы представить дробь $\frac{3}{11}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель. Выполним деление 3 на 11 столбиком:
1. $3 \div 11 = 0$ с остатком 3. В частном пишем $0,$.
2. К остатку 3 приписываем 0, получаем 30. $30 \div 11 = 2$ с остатком $30 - 22 = 8$. В частном после запятой пишем 2.
3. К остатку 8 приписываем 0, получаем 80. $80 \div 11 = 7$ с остатком $80 - 77 = 3$. В частном пишем 7.
4. Остаток 3 повторился (как в шаге 1). Это означает, что дальнейшие цифры в частном будут повторяться. Последовательность цифр 27 образует период.
Таким образом, получаем дробь $0,2727...$, что записывается как $0,(27)$.
Ответ: $0,(27)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{8}{33}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 8 на 33 столбиком:
1. $8 \div 33 = 0$ с остатком 8. В частном пишем $0,$.
2. К остатку 8 приписываем 0, получаем 80. $80 \div 33 = 2$ с остатком $80 - 66 = 14$. В частном пишем 2.
3. К остатку 14 приписываем 0, получаем 140. $140 \div 33 = 4$ с остатком $140 - 132 = 8$. В частном пишем 4.
4. Остаток 8 повторился, значит, деление зациклилось. Период дроби равен 24.
Таким образом, получаем дробь $0,2424...$, что записывается как $0,(24)$.
Ответ: $0,(24)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{5}{99}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 5 на 99 столбиком:
1. $5 \div 99 = 0$ с остатком 5. В частном пишем $0,$.
2. К остатку 5 приписываем 0, получаем 50. $50 \div 99 = 0$ с остатком 50. В частном пишем 0.
3. К остатку 50 приписываем 0, получаем 500. $500 \div 99 = 5$ с остатком $500 - 495 = 5$. В частном пишем 5.
4. Остаток 5 повторился, следовательно, последовательность цифр 05 в частном будет повторяться.
Таким образом, получаем дробь $0,0505...$, что записывается как $0,(05)$.
Ответ: $0,(05)$

г) Чтобы представить дробь $\frac{2}{15}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 2 на 15 столбиком:
1. $2 \div 15 = 0$ с остатком 2. В частном пишем $0,$.
2. К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. $20 \div 15 = 1$ с остатком $20 - 15 = 5$. В частном пишем 1.
3. К остатку 5 приписываем 0, получаем 50. $50 \div 15 = 3$ с остатком $50 - 45 = 5$. В частном пишем 3.
4. Остаток 5 начал повторяться. Это значит, что цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно, а цифра 1 не входит в период.
Таким образом, получаем дробь $0,1333...$, что записывается как $0,1(3)$.
Ответ: $0,1(3)$

10.16 а) $ \frac{29}{6} $;

б) $ \frac{34}{9} $;

в) $ \frac{53}{12} $;

г) $ \frac{78}{11} $.

а) Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби $\frac{29}{6}$, необходимо разделить числитель (29) на знаменатель (6) с остатком. Деление 29 на 6 дает в частном 4 и в остатке 5, так как $6 \times 4 = 24$ и $29 - 24 = 5$.

Неполное частное (4) становится целой частью смешанного числа. Остаток от деления (5) становится числителем дробной части, а знаменатель (6) остается прежним.

Таким образом: $\frac{29}{6} = 4\frac{5}{6}$.

Ответ: $4\frac{5}{6}$.

б) Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби $\frac{34}{9}$, разделим числитель 34 на знаменатель 9 с остатком. $34 \div 9 = 3$ с остатком $7$, так как $9 \times 3 = 27$ и $34 - 27 = 7$.

Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 7, а знаменатель остается 9.

Таким образом: $\frac{34}{9} = 3\frac{7}{9}$.

Ответ: $3\frac{7}{9}$.

в) Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби $\frac{53}{12}$, разделим числитель 53 на знаменатель 12 с остатком. $53 \div 12 = 4$ с остатком $5$, так как $12 \times 4 = 48$ и $53 - 48 = 5$.

Целая часть равна 4, числитель дробной части равен 5, а знаменатель остается 12.

Таким образом: $\frac{53}{12} = 4\frac{5}{12}$.

Ответ: $4\frac{5}{12}$.

г) Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби $\frac{78}{11}$, разделим числитель 78 на знаменатель 11 с остатком. $78 \div 11 = 7$ с остатком $1$, так как $11 \times 7 = 77$ и $78 - 77 = 1$.

Целая часть равна 7, числитель дробной части равен 1, а знаменатель остается 11.

Таким образом: $\frac{78}{11} = 7\frac{1}{11}$.

Ответ: $7\frac{1}{11}$.

10.17 а) 6,335;

б) 0,48;

в) 7,31;

г) 91,856.

а) Чтобы преобразовать десятичную дробь 6,335 в смешанное число, необходимо выделить целую и дробную части. Целая часть равна 6, а дробная часть — 0,335.

Дробную часть 0,335 представим в виде обыкновенной дроби. Так как после запятой стоят три цифры, знаменатель будет равен 1000:

$0,335 = \frac{335}{1000}$

Теперь нужно сократить эту дробь. И числитель (335), и знаменатель (1000) оканчиваются на 5 и 0, соответственно, значит, они делятся на 5:

$\frac{335 \div 5}{1000 \div 5} = \frac{67}{200}$

Число 67 является простым, а число 200 на 67 не делится. Следовательно, дробь $\frac{67}{200}$ является несократимой. Теперь объединим целую часть и полученную дробь.

Ответ: $6\frac{67}{200}$

б) Десятичная дробь 0,48 не имеет целой части. Чтобы представить ее в виде обыкновенной дроби, запишем число в числитель, а в знаменатель поставим 1 со стольки нулями, сколько знаков после запятой. В данном случае это два знака, значит знаменатель равен 100:

$0,48 = \frac{48}{100}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 48 и 100 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{48 \div 4}{100 \div 4} = \frac{12}{25}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{12}{25}$

в) В десятичной дроби 7,31 целая часть равна 7, а дробная — 0,31. Представим дробную часть в виде обыкновенной дроби. Два знака после запятой означают, что знаменатель равен 100:

$0,31 = \frac{31}{100}$

Число 31 является простым, а 100 на 31 не делится. Следовательно, дробь $\frac{31}{100}$ несократимая. Объединим целую и дробную части в смешанное число.

Ответ: $7\frac{31}{100}$

г) В десятичной дроби 91,856 целая часть равна 91, а дробная часть — 0,856. Представим дробную часть в виде обыкновенной дроби. Три знака после запятой означают, что знаменатель равен 1000:

$0,856 = \frac{856}{1000}$

Теперь сократим эту дробь. Можно заметить, что и числитель, и знаменатель делятся на 8 (так как оба делятся на 2 трижды):

$\frac{856 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{107}{125}$

Число 107 является простым, а 125 ($=5^3$) не делится на 107. Значит, дробь $\frac{107}{125}$ несократимая. Запишем итоговое смешанное число.

Ответ: $91\frac{107}{125}$

10.18 а) 1;

б) 35;

в) 108;

г) 572.

а) 1

Чтобы найти количество натуральных делителей числа, необходимо сначала разложить это число на простые множители. Если каноническое разложение числа $n$ имеет вид $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, то количество его натуральных делителей $\tau(n)$ вычисляется по формуле $\tau(n) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$.

Число 1 является особым случаем. У него есть только один натуральный делитель — само число 1.

Формально, можно считать, что разложение числа 1 на простые множители не содержит простых сомножителей (или что все простые числа входят в него в нулевой степени, например $1 = 2^0$). В этом случае формула для числа делителей представляет собой "пустое произведение", которое по определению равно 1.

Таким образом, у числа 1 ровно один натуральный делитель.

Ответ: 1.

б) 35

Найдем количество натуральных делителей числа 35. Для этого сначала разложим число 35 на простые множители.

$35 = 5 \cdot 7$.

Оба множителя, 5 и 7, являются простыми числами. Степени, в которых они входят в разложение, равны 1. Таким образом, каноническое разложение числа 35 имеет вид: $35 = 5^1 \cdot 7^1$.

Чтобы найти количество делителей $\tau(35)$, воспользуемся формулой, подставив в нее степени из разложения: $a_1 = 1$ и $a_2 = 1$.

$\tau(35) = (1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 = 4$.

Для проверки, перечислим все делители числа 35: 1, 5, 7, 35. Всего их 4.

Ответ: 4.

в) 108

Найдем количество натуральных делителей числа 108. Сначала разложим 108 на простые множители.

$108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$.

Каноническое разложение числа 108: $108 = 2^2 \cdot 3^3$.

Теперь применим формулу для нахождения числа делителей. Степени простых множителей в разложении: $a_1 = 2$ (для простого числа 2) и $a_2 = 3$ (для простого числа 3).

Количество делителей $\tau(108)$ равно:

$\tau(108) = (2+1)(3+1) = 3 \cdot 4 = 12$.

Таким образом, у числа 108 всего 12 натуральных делителей.

Ответ: 12.

г) 572

Найдем количество натуральных делителей числа 572. Для этого разложим его на простые множители.

Число 572 является четным, поэтому оно делится на 2:

$572 = 2 \cdot 286$.

Число 286 также четное:

$286 = 2 \cdot 143$.

Таким образом, $572 = 2 \cdot 2 \cdot 143 = 2^2 \cdot 143$.

Теперь нужно разложить на множители число 143. Проверим его делимость на простые числа по порядку:

- Не делится на 3 (сумма цифр $1+4+3=8$, не делится на 3).

- Не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).

- Проверим делимость на 7: $143 = 7 \cdot 20 + 3$. Не делится.

- Проверим делимость на 11: $143 = 11 \cdot 13$. Делится.

Числа 11 и 13 являются простыми.

Следовательно, каноническое разложение числа 572 имеет вид: $572 = 2^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1$.

Теперь найдем количество делителей по формуле. Степени простых множителей: $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 1$.

$\tau(572) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.

У числа 572 всего 12 натуральных делителей.

Ответ: 12.

10.19 a) $0,(3)$;

б) $0,(15)$;

в) $0,(6)$;

г) $0,(108)$.

а) Чтобы представить периодическую дробь $0,(3)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,(3) = 0,333...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 3,333...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{3}{9}$
Сократим полученную дробь на 3:
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Обозначим периодическую дробь $0,(15)$ через $x$:
$x = 0,(15) = 0,151515...$
Так как в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 15,151515...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 15,151515... - 0,151515...$
$99x = 15$
Находим $x$:
$x = \frac{15}{99}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{15 \div 3}{99 \div 3} = \frac{5}{33}$
Ответ: $\frac{5}{33}$

в) Обозначим периодическую дробь $0,(6)$ через $x$:
$x = 0,(6) = 0,666...$
В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10:
$10x = 6,666...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
Находим $x$:
$x = \frac{6}{9}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Обозначим периодическую дробь $0,(108)$ через $x$:
$x = 0,(108) = 0,108108108...$
В периоде три цифры, поэтому умножим обе части на 1000:
$1000x = 108,108108...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - x = 108,108108... - 0,108108...$
$999x = 108$
Находим $x$:
$x = \frac{108}{999}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($1+0+8=9$) и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9.
$x = \frac{108 \div 9}{999 \div 9} = \frac{12}{111}$
Теперь сократим на 3 (сумма цифр $1+2=3$ и $1+1+1=3$ делится на 3).
$x = \frac{12 \div 3}{111 \div 3} = \frac{4}{37}$
Ответ: $\frac{4}{37}$

10.20 а) $15,(3)$;

б) $2,(14)$;

в) $7,(2)$;

г) $23,(25)$.

а) Для преобразования периодической дроби $15,(3)$ в обыкновенную, обозначим ее как $x$.

$x = 15,(3) = 15.333...$

Так как в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:

$10x = 153.333...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:

$10x - x = 153.333... - 15.333...$

$9x = 138$

Найдем $x$:

$x = \frac{138}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{46}{3}$

Ответ: $\frac{46}{3}$

б) Обозначим периодическую дробь $2,(14)$ как $x$.

$x = 2,(14) = 2.141414...$

Так как в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:

$100x = 214.141414...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 214.141414... - 2.141414...$

$99x = 212$

Найдем $x$:

$x = \frac{212}{99}$

Данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{212}{99}$

в) Обозначим периодическую дробь $7,(2)$ как $x$.

$x = 7,(2) = 7.222...$

Так как в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:

$10x = 72.222...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 72.222... - 7.222...$

$9x = 65$

Найдем $x$:

$x = \frac{65}{9}$

Данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{65}{9}$

г) Обозначим периодическую дробь $23,(25)$ как $x$.

$x = 23,(25) = 23.252525...$

Так как в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:

$100x = 2325.252525...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 2325.252525... - 23.252525...$

$99x = 2302$

Найдем $x$:

$x = \frac{2302}{99}$

Данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{2302}{99}$

10.21 а) $0,0(24)$;

б) $0,00(3)$;

в) $0,0(6)$;

г) $0,00(18)$.

а) Для преобразования смешанной периодической дроби $0,0(24)$ в обыкновенную дробь, введем обозначение $x = 0,0(24)$.
Это означает, что $x = 0,0242424...$
Сначала умножим число на $10$ (так как до периода одна цифра), чтобы получить чисто периодическую дробь в правой части:
$10x = 0,242424...$
Теперь умножим это уравнение на $100$ (так как в периоде две цифры), чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$100 \cdot (10x) = 1000x = 24,242424...$
Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:
$1000x - 10x = 24,242424... - 0,242424...$
$990x = 24$
Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{24}{990}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:
$x = \frac{4}{165}$
Ответ: $\frac{4}{165}$.

б) Обозначим $x = 0,00(3)$.
$x = 0,00333...$
Умножим $x$ на $100$ (так как до периода две цифры):
$100x = 0,333...$
Умножим $100x$ на $10$ (так как в периоде одна цифра):
$1000x = 3,333...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 100x = 3,333... - 0,333...$
$900x = 3$
$x = \frac{3}{900}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{1}{300}$
Ответ: $\frac{1}{300}$.

в) Обозначим $x = 0,0(6)$.
$x = 0,0666...$
Умножим $x$ на $10$ (так как до периода одна цифра):
$10x = 0,666...$
Умножим $10x$ на $10$ (так как в периоде одна цифра):
$100x = 6,666...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 6,666... - 0,666...$
$90x = 6$
$x = \frac{6}{90}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{1}{15}$
Ответ: $\frac{1}{15}$.

г) Обозначим $x = 0,00(18)$.
$x = 0,00181818...$
Умножим $x$ на $100$ (так как до периода две цифры):
$100x = 0,181818...$
Умножим $100x$ на $100$ (так как в периоде две цифры):
$10000x = 18,181818...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10000x - 100x = 18,181818... - 0,181818...$
$9900x = 18$
$x = \frac{18}{9900}$
Сократим дробь на 18:
$x = \frac{1}{550}$
Ответ: $\frac{1}{550}$.

10.22 а) $1,6(1)$;

б) $2,03(5)$;

в) $3,9(12)$;

г) $0,7(72)$.

Чтобы преобразовать периодические десятичные дроби в обыкновенные, используется следующий алгоритм: число обозначается переменной, затем с помощью умножения на степени 10 составляются два уравнения так, чтобы их дробные части были одинаковыми. Вычитая одно уравнение из другого, избавляемся от периодической части и находим искомую дробь.

Представим число $1,6(1)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 1,6(1) = 1,6111...$

2. Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сместить непериодическую часть влево от запятой:

$10x = 16,111...$

3. Умножим исходное уравнение на 100, чтобы сместить один период влево от запятой:

$100x = 161,111...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - 10x = 161,111... - 16,111...$

$90x = 145$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{145}{90} = \frac{145 \div 5}{90 \div 5} = \frac{29}{18}$

Ответ: $ \frac{29}{18} $

Представим число $2,03(5)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 2,03(5) = 2,03555...$

2. В непериодической части после запятой две цифры (03), поэтому умножим $x$ на 100:

$100x = 203,555...$

3. Период состоит из одной цифры (5), поэтому умножим $x$ на 1000:

$1000x = 2035,555...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 100x = 2035,555... - 203,555...$

$900x = 1832$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{1832}{900} = \frac{1832 \div 4}{900 \div 4} = \frac{458}{225}$

Ответ: $ \frac{458}{225} $

Представим число $3,9(12)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 3,9(12) = 3,9121212...$

2. В непериодической части после запятой одна цифра (9), поэтому умножим $x$ на 10:

$10x = 39,121212...$

3. Период состоит из двух цифр (12), поэтому умножим $x$ на 1000 (10 * 100):

$1000x = 3912,121212...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 10x = 3912,121212... - 39,121212...$

$990x = 3873$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{3873}{990} = \frac{3873 \div 3}{990 \div 3} = \frac{1291}{330}$

Ответ: $ \frac{1291}{330} $

Представим число $0,7(72)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 0,7(72) = 0,7727272...$

2. В непериодической части после запятой одна цифра (7), поэтому умножим $x$ на 10:

$10x = 7,727272...$

3. Период состоит из двух цифр (72), поэтому умножим $x$ на 1000 (10 * 100):

$1000x = 772,727272...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 10x = 772,727272... - 7,727272...$

$990x = 765$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{765}{990} = \frac{765 \div 5}{990 \div 5} = \frac{153}{198} = \frac{153 \div 9}{198 \div 9} = \frac{17}{22}$

Ответ: $ \frac{17}{22} $

10.23 Дан отрезок $[1; 5]$. Укажите:

а) целое число, принадлежащее этому отрезку;

б) рациональное число, принадлежащее этому отрезку;

в) целое число, не принадлежащее этому отрезку;

г) рациональное число, не принадлежащее этому отрезку.

а) целое число, принадлежащее этому отрезку;

Заданный отрезок $[1; 5]$ включает в себя все действительные числа $x$, для которых справедливо двойное неравенство $1 \le x \le 5$. Целые числа — это числа без дробной части ($..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$). Целыми числами, которые принадлежат отрезку $[1; 5]$, являются $1, 2, 3, 4, 5$. В качестве примера можно выбрать любое из них.

Ответ: 3.

б) рациональное число, принадлежащее этому отрезку;

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Любое целое число является рациональным, но можно выбрать и дробное число. Например, число $2,5$ принадлежит отрезку $[1; 5]$, так как $1 \le 2,5 \le 5$. Число $2,5$ можно представить в виде дроби $\frac{5}{2}$, следовательно, оно является рациональным.

Ответ: 2,5.

в) целое число, не принадлежащее этому отрезку;

Чтобы число не принадлежало отрезку $[1; 5]$, оно должно быть либо меньше 1, либо больше 5. Нужно выбрать целое число, удовлетворяющее этому условию. Например, число $0$ меньше 1 ($0 < 1$), а число $6$ больше 5 ($6 > 5$). Оба числа являются целыми и не принадлежат данному отрезку.

Ответ: 6.

г) рациональное число, не принадлежащее этому отрезку.

Нужно выбрать рациональное число, которое либо меньше 1, либо больше 5. Например, число $0,5$ меньше 1. Его можно представить в виде дроби $\frac{1}{2}$, значит, оно рациональное и не принадлежит заданному отрезку. Другой пример — число $5,1$, которое больше 5.

Ответ: 0,5.