Страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Докажите тождество:

8.30

$\left( \frac{y^2(xy^{-1} - 1)^2}{x(1 + x^{-1}y)^2} \cdot \frac{y^2(x^{-2} + y^{-2})}{x(xy^{-1} + x^{-1}y)} \right) : \frac{1 - x^{-1}y}{xy^{-1} + 1} = \frac{x - y}{x + y}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим все выражения с отрицательной степенью, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Исходное выражение:

$ \left( \frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2} \cdot \frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)} \right) : \frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1} $

После замены отрицательных степеней:

$ \left( \frac{y^2(\frac{x}{y}-1)^2}{x(1+\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{y^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}{x(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})} \right) : \frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1} $

Теперь будем последовательно упрощать каждую часть выражения.

1. Первый множитель в скобках:

Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе дроби:

$ \frac{y^2(\frac{x-y}{y})^2}{x(\frac{x+y}{x})^2} = \frac{y^2 \frac{(x-y)^2}{y^2}}{x \frac{(x+y)^2}{x^2}} = \frac{(x-y)^2}{\frac{(x+y)^2}{x}} = \frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2} $

2. Второй множитель в скобках:

Также приведем к общему знаменателю:

$ \frac{y^2(\frac{y^2+x^2}{x^2y^2})}{x(\frac{x^2+y^2}{xy})} = \frac{\frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2y^2}}{\frac{x(x^2+y^2)}{xy}} = \frac{\frac{x^2+y^2}{x^2}}{\frac{x^2+y^2}{y}} = \frac{x^2+y^2}{x^2} \cdot \frac{y}{x^2+y^2} = \frac{y}{x^2} $

3. Результат умножения в скобках:

Перемножим результаты шагов 1 и 2:

$ \frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{y}{x^2} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2} $

4. Делитель:

Упростим третье выражение:

$ \frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1} = \frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x+y}{y}} = \frac{x-y}{x} \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x(x+y)} $

5. Финальное деление:

Разделим результат шага 3 на результат шага 4, для этого умножим на обратную дробь:

$ \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2} : \frac{y(x-y)}{x(x+y)} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2} \cdot \frac{x(x+y)}{y(x-y)} $

Сгруппируем множители:

$ \frac{x \cdot y \cdot (x-y)^2 \cdot (x+y)}{x \cdot y \cdot (x-y) \cdot (x+y)^2} $

Сокращаем общие множители $x$ и $y$:

$ \frac{(x-y)^2 (x+y)}{(x-y) (x+y)^2} $

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, сокращаем дальше:

$ (x-y)^{2-1} \cdot (x+y)^{1-2} = (x-y)^1 \cdot (x+y)^{-1} = \frac{x-y}{x+y} $

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части: $ \frac{x-y}{x+y} = \frac{x-y}{x+y} $.

Ответ: Тождество доказано.

8.31 $\left(\frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} - \frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-n} + b^{-n}}\right)^{-1} = \frac{a^{-n}b^{n} - b^{-n}a^{n}}{4}.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ).

ЛЧ = $ \left( \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} - \frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-n} + b^{-n}} \right)^{-1} $

Сначала выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $ (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) $.

$ \frac{(a^{-n} + b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) - (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} - b^{-n})}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})} = \frac{(a^{-n} + b^{-n})^2 - (a^{-n} - b^{-n})^2}{(a^{-n})^2 - (b^{-n})^2} $

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: $ (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy $ для числителя и $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $ для знаменателя. Пусть $ x = a^{-n} $ и $ y = b^{-n} $.

Числитель: $ (a^{-n} + b^{-n})^2 - (a^{-n} - b^{-n})^2 = 4a^{-n}b^{-n} $.

Знаменатель: $ (a^{-n})^2 - (b^{-n})^2 = a^{-2n} - b^{-2n} $.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{4a^{-n}b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} $

Теперь возведем полученную дробь в степень $ -1 $. Это то же самое, что найти обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

ЛЧ = $ \left( \frac{4a^{-n}b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} \right)^{-1} = \frac{a^{-2n} - b^{-2n}}{4a^{-n}b^{-n}} $

Преобразуем полученное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$ \frac{a^{-2n}}{4a^{-n}b^{-n}} - \frac{b^{-2n}}{4a^{-n}b^{-n}} $

Используя свойства степеней ($ \frac{x^k}{x^m} = x^{k-m} $ и $ x^{-k} = \frac{1}{x^k} $), упростим каждое слагаемое:

$ \frac{a^{-2n}}{a^{-n}b^{-n}} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = a^{-n}b^n $
$ \frac{b^{-2n}}{a^{-n}b^{-n}} = \frac{b^{-n}}{a^{-n}} = b^{-n}a^n $

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

ЛЧ = $ \frac{a^{-n}b^n}{4} - \frac{b^{-n}a^n}{4} = \frac{a^{-n}b^n - b^{-n}a^n}{4} $

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество верно.

Ответ: тождество доказано.

8.32 $(\frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}})^{-1} + (\frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}})^{-1} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}}$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ) и покажем, что она равна правой части (ПЧ).

Исходное выражение для левой части:

$ \text{ЛЧ} = \left( \frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}} \right)^{-1} + \left( \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}} \right)^{-1} $

Степень $-1$ означает, что мы должны взять обратные дроби (перевернуть их):

$ \text{ЛЧ} = \frac{a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}}{a^{-n} - b^{-n}} + \frac{a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}}{a^{-n} + b^{-n}} $

Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение их знаменателей: $(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})$.

Используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = a^{-n}$ и $y = b^{-n}$, получаем:

$(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) = (a^{-n})^2 - (b^{-n})^2 = a^{-2n} - b^{-2n}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$ \text{ЛЧ} = \frac{(a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} + b^{-n}) + (a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} - b^{-n})}{a^{-2n} - b^{-2n}} $

Упростим числитель. Для этого воспользуемся формулами суммы и разности кубов:

$ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $

$ (x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $

В нашем случае $x = a^{-n}$ и $y = b^{-n}$.

Первое слагаемое в числителе соответствует формуле суммы кубов:

$ (a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} + b^{-n}) = (a^{-n})^3 + (b^{-n})^3 = a^{-3n} + b^{-3n} $

Второе слагаемое в числителе соответствует формуле разности кубов:

$ (a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} - b^{-n}) = (a^{-n})^3 - (b^{-n})^3 = a^{-3n} - b^{-3n} $

Сложим полученные выражения, чтобы найти весь числитель:

$ (a^{-3n} + b^{-3n}) + (a^{-3n} - b^{-3n}) = 2a^{-3n} $

Теперь выражение для левой части выглядит так:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2a^{-3n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} $

Преобразуем это выражение, чтобы оно совпало с правой частью тождества ПЧ = $ \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} $. Для этого избавимся от отрицательных степеней, используя свойство $z^{-k} = \frac{1}{z^k}$:

$ \text{ЛЧ} = \frac{\frac{2}{a^{3n}}}{\frac{1}{a^{2n}} - \frac{1}{b^{2n}}} $

Упростим знаменатель в большой дроби:

$ \frac{1}{a^{2n}} - \frac{1}{b^{2n}} = \frac{b^{2n} - a^{2n}}{a^{2n}b^{2n}} $

Подставим это обратно в выражение для ЛЧ:

$ \text{ЛЧ} = \frac{\frac{2}{a^{3n}}}{\frac{b^{2n} - a^{2n}}{a^{2n}b^{2n}}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2}{a^{3n}} \cdot \frac{a^{2n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} = \frac{2a^{2n}b^{2n}}{a^{3n}(b^{2n} - a^{2n})} $

Сократим степени $a$: $ \frac{a^{2n}}{a^{3n}} = a^{2n-3n} = a^{-n} $.

$ \text{ЛЧ} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} $

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате упрощения левая часть оказалась равна правой части: $ \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} $.

9.1 Значение переменной a случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 9 включительно.

а) Для скольких значений переменной a значение дроби $ \frac{a^2(a^2 - 4)}{a(a - 2)} $ не определено?

Упростите дробь и найдите вероятность того, что значение дроби является:

б) не целым числом;

в) двузначным числом;

г) чётным числом.

По условию, значение переменной $a$ случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 9 включительно. Это означает, что $a$ может принимать одно из значений множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Всего 10 равновозможных исходов.

а) Для скольких значений переменной $a$ значение дроби $\frac{a^2(a^2 - 4)}{a(a - 2)}$ не определено?

Значение дроби не определено, когда ее знаменатель равен нулю. Знаменатель дроби равен $a(a - 2)$. Приравняем его к нулю, чтобы найти недопустимые значения $a$: $a(a - 2) = 0$. Это уравнение истинно, если $a = 0$ или $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$. Оба значения, $a=0$ и $a=2$, входят в заданный диапазон целых чисел. Следовательно, для двух значений переменной $a$ значение дроби не определено.

Ответ: 2.

Упростите дробь и найдите вероятность того, что значение дроби является:

Сначала упростим данное выражение. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $\frac{a^2(a^2 - 4)}{a(a - 2)} = \frac{a^2(a - 2)(a + 2)}{a(a - 2)}$. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $a \neq 0$ и $a \neq 2$. При всех допустимых значениях $a$ мы можем сократить дробь на общие множители $a$ и $(a - 2)$: $\frac{a^{\cancel{2}}( \cancel{a-2})(a+2)}{\cancel{a}(\cancel{a-2})} = a(a+2)$. Таким образом, для всех $a \in \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ значение дроби равно значению выражения $a(a+2)$.

б) не целым числом;

Значение дроби является не целым числом, если оно не определено. Как было найдено в пункте а), это происходит при $a = 0$ и $a = 2$. В этих двух случаях событие является благоприятным. Для всех остальных 8 значений $a$ (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) значение дроби равно $a(a + 2)$. Поскольку $a$ — целое число, то $a+2$ также является целым, и их произведение $a(a + 2)$ всегда будет целым числом. Таким образом, число благоприятных исходов равно 2 (когда $a=0$ или $a=2$). Общее число исходов равно 10. Вероятность $P$ того, что значение дроби не является целым числом, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(\text{не целое}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) двузначным числом;

Нам нужно найти вероятность того, что значение выражения $a(a+2)$ является двузначным числом. Вычислим это значение для каждого допустимого $a$ (т.е. $a \notin \{0, 2\}$):
При $a=1$, значение равно $1(1+2) = 3$.
При $a=3$, значение равно $3(3+2) = 15$.
При $a=4$, значение равно $4(4+2) = 24$.
При $a=5$, значение равно $5(5+2) = 35$.
При $a=6$, значение равно $6(6+2) = 48$.
При $a=7$, значение равно $7(7+2) = 63$.
При $a=8$, значение равно $8(8+2) = 80$.
При $a=9$, значение равно $9(9+2) = 99$.
Двузначными являются значения, полученные при $a \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Число таких значений (благоприятных исходов) равно 7. Общее число исходов, когда мы выбираем $a$ из первоначального множества, равно 10. Вероятность $P$ равна: $P(\text{двузначное}) = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$.

г) чётным числом.

Значение дроби будет чётным числом, если значение выражения $a(a+2)$ является чётным числом. Произведение $a(a+2)$ чётно, если хотя бы один из множителей, $a$ или $a+2$, является чётным. Если $a$ чётное, то и $a+2$ чётное. Если $a$ нечётное, то и $a+2$ нечётное. Следовательно, произведение $a(a+2)$ чётно тогда и только тогда, когда $a$ чётно. Из множества допустимых значений $a \in \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ выберем чётные: $\{4, 6, 8\}$. Проверим значения дроби для этих $a$:
При $a=4$, значение $4 \cdot 6 = 24$ (чётное).
При $a=6$, значение $6 \cdot 8 = 48$ (чётное).
При $a=8$, значение $8 \cdot 10 = 80$ (чётное).
При нечётных допустимых $a$ (1, 3, 5, 7, 9) произведение будет нечётным. Таким образом, благоприятными являются исходы, когда $a \in \{4, 6, 8\}$. Число благоприятных исходов равно 3. Общее число исходов - 10. Вероятность $P$ равна: $P(\text{чётное}) = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

9.2 Числитель дроби равен 1, 3, 7 или 10, а знаменатель меньше числителя на 2 или на 5.

а) У скольких дробей знаменатель равен 5?

б) Запишите все составленные обыкновенные дроби в виде десятичных дробей и составьте упорядоченный ряд данных.

в) Найдите объём и размах полученного ряда.

г) Постройте круговую диаграмму распределения данных.

Для решения задачи сначала найдем все возможные дроби, которые можно составить по заданным условиям.
Возможные числители: 1, 3, 7, 10.
Знаменатель вычисляется по правилу: знаменатель = числитель - 2 или знаменатель = числитель - 5.
Принято, что знаменатель дроби должен быть натуральным (положительным целым) числом.

• Если числитель равен 1: знаменатель $1-2 = -1$ или $1-5 = -4$. Оба значения отрицательные, такие дроби не рассматриваем.
• Если числитель равен 3: знаменатель $3-2 = 1$. Получаем дробь $\frac{3}{1}$. Второй возможный знаменатель $3-5 = -2$ является отрицательным.
• Если числитель равен 7: знаменатель $7-2 = 5$ или $7-5 = 2$. Получаем две дроби: $\frac{7}{5}$ и $\frac{7}{2}$.
• Если числитель равен 10: знаменатель $10-2 = 8$ или $10-5 = 5$. Получаем две дроби: $\frac{10}{8}$ и $\frac{10}{5}$.

Таким образом, мы получили 5 возможных дробей: $\frac{3}{1}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{10}{8}$, $\frac{10}{5}$.

а) У скольких дробей знаменатель равен 5?

В полученном списке дробей ($\frac{3}{1}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{10}{8}$, $\frac{10}{5}$) найдем те, знаменатель которых равен 5. Это дроби $\frac{7}{5}$ и $\frac{10}{5}$. Всего таких дробей две.
Ответ: 2.

б) Запишите все составленные обыкновенные дроби в виде десятичных дробей и составьте упорядоченный ряд данных.

Переведем каждую обыкновенную дробь в десятичную:

• $\frac{3}{1} = 3$
• $\frac{7}{5} = 1.4$
• $\frac{7}{2} = 3.5$
• $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$
• $\frac{10}{5} = 2$

Составим упорядоченный ряд, расположив полученные десятичные дроби в порядке возрастания: 1.25; 1.4; 2; 3; 3.5.
Ответ: 1.25; 1.4; 2; 3; 3.5.

в) Найдите объём и размах полученного ряда.

Дан упорядоченный ряд: 1.25; 1.4; 2; 3; 3.5.
Объём ряда — это количество элементов в ряду. В данном ряду 5 элементов.
Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим элементами.
Наибольший элемент: 3.5.
Наименьший элемент: 1.25.
Размах = $3.5 - 1.25 = 2.25$.
Ответ: объём ряда равен 5, размах ряда равен 2.25.

г) Постройте круговую диаграмму распределения данных.

Для построения круговой диаграммы нужно определить, какую долю от общего числа данных составляет каждый элемент. Ряд данных (1.25; 1.4; 2; 3; 3.5) состоит из 5 уникальных значений. Это значит, что частота каждого значения равна 1.
Каждый элемент составляет $\frac{1}{5}$ от всего набора данных.
Полный круг составляет $360^\circ$. Угол сектора для каждого значения рассчитывается как его доля, умноженная на $360^\circ$.
Так как все доли одинаковы, углы всех секторов будут равны:
Угол сектора = $\frac{1}{5} \times 360^\circ = 72^\circ$.
Следовательно, круговая диаграмма будет состоять из 5 равных секторов, каждый с центральным углом $72^\circ$. Каждый сектор соответствует одному из значений ряда: 1.25, 1.4, 2, 3, 3.5.
Ответ: Диаграмма состоит из 5 равных секторов с углом $72^\circ$ каждый, которые соответствуют значениям 1.25, 1.4, 2, 3 и 3.5.

9.3 Знаменатель дроби выбирают из чисел -10, -4, 4, 10, а её числитель отличается от квадрата выбранного знаменателя на 3.

а) Выпишите все возможные значения числителя дроби.

б) Сколько всего дробей можно составить?

в) Выпишите все полученные положительные числа.

г) Укажите наибольшее отрицательное число.

а) По условию, знаменатель дроби $d$ выбирается из множества $\{-10, -4, 4, 10\}$. Числитель дроби $n$ отличается от квадрата знаменателя $d^2$ на 3. Это означает, что $n = d^2 + 3$ или $n = d^2 - 3$.
Рассмотрим все возможные знаменатели:

• Если $d = -10$, то $d^2 = (-10)^2 = 100$. Возможные числители: $n = 100 + 3 = 103$ и $n = 100 - 3 = 97$.
• Если $d = -4$, то $d^2 = (-4)^2 = 16$. Возможные числители: $n = 16 + 3 = 19$ и $n = 16 - 3 = 13$.
• Если $d = 4$, то $d^2 = 4^2 = 16$. Возможные числители: $n = 16 + 3 = 19$ и $n = 16 - 3 = 13$.
• Если $d = 10$, то $d^2 = 10^2 = 100$. Возможные числители: $n = 100 + 3 = 103$ и $n = 100 - 3 = 97$.

Таким образом, уникальные возможные значения числителя: 13, 19, 97, 103.
Ответ: 13, 19, 97, 103.

б) Для каждого из 4 возможных знаменателей ($\{-10, -4, 4, 10\}$) существует 2 варианта числителя. Общее количество дробей равно произведению количества вариантов для знаменателя на количество вариантов для числителя для каждого знаменателя. Количество дробей = $4 \times 2 = 8$.
Вот все возможные дроби: $\frac{103}{-10}$, $\frac{97}{-10}$, $\frac{19}{-4}$, $\frac{13}{-4}$, $\frac{19}{4}$, $\frac{13}{4}$, $\frac{103}{10}$, $\frac{97}{10}$.
Ответ: 8.

в) Положительное число получается, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Все возможные числители (13, 19, 97, 103) являются положительными. Следовательно, для получения положительной дроби знаменатель также должен быть положительным. Возможные положительные знаменатели: 4 и 10.
Для $d = 4$ получаем дроби: $\frac{19}{4}$ и $\frac{13}{4}$.
Для $d = 10$ получаем дроби: $\frac{103}{10}$ и $\frac{97}{10}$.
Ответ: $\frac{13}{4}, \frac{19}{4}, \frac{97}{10}, \frac{103}{10}$.

г) Отрицательное число получается, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как все числители положительны, знаменатель должен быть отрицательным. Возможные отрицательные знаменатели: -10 и -4.
Для $d = -10$ получаем дроби: $\frac{103}{-10} = -10.3$ и $\frac{97}{-10} = -9.7$.
Для $d = -4$ получаем дроби: $\frac{19}{-4} = -4.75$ и $\frac{13}{-4} = -3.25$.
Получили следующие отрицательные числа: $-10.3, -9.7, -4.75, -3.25$. Наибольшим из этих чисел является то, которое ближе всего к нулю, то есть $-3.25$.
Ответ: $-\frac{13}{4}$.