Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7.12 a) $ \frac{2x + 1}{5} = 1; $

б) $ \frac{10 - 3y}{4y} = -2; $

в) $ \frac{3z - 14}{2} = -1; $

г) $ \frac{2t + 9}{5t} = 4. $

а)

Дано уравнение: $\frac{2x+1}{5} = 1$.

Это линейное уравнение. Чтобы найти $x$, сначала избавимся от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на 5:

$( \frac{2x+1}{5} ) \cdot 5 = 1 \cdot 5$

$2x + 1 = 5$

Теперь перенесем постоянную (1) из левой части в правую, изменив ее знак:

$2x = 5 - 1$

$2x = 4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Ответ: 2

б)

Дано уравнение: $\frac{10-3y}{4y} = -2$.

Это дробно-рациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как знаменатель не может быть равен нулю:

$4y \neq 0 \implies y \neq 0$.

Теперь решим уравнение, умножив обе части на знаменатель $4y$:

$10 - 3y = -2 \cdot (4y)$

$10 - 3y = -8y$

Соберем все члены с переменной $y$ в одной части уравнения. Перенесем $-8y$ в левую часть, изменив знак:

$10 - 3y + 8y = 0$

$10 + 5y = 0$

Перенесем 10 в правую часть:

$5y = -10$

Разделим обе части на 5:

$y = \frac{-10}{5}$

$y = -2$

Найденный корень $y=-2$ не равен нулю, следовательно, он удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2

в)

Дано уравнение: $\frac{3z-14}{2} = -1$.

Это линейное уравнение. Умножим обе части уравнения на знаменатель 2:

$( \frac{3z-14}{2} ) \cdot 2 = -1 \cdot 2$

$3z - 14 = -2$

Перенесем -14 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3z = -2 + 14$

$3z = 12$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $z$:

$z = \frac{12}{3}$

$z = 4$

Ответ: 4

г)

Дано уравнение: $\frac{2t+9}{5t} = 4$.

Это дробно-рациональное уравнение. Найдем ОДЗ: знаменатель $5t$ не должен быть равен нулю.

$5t \neq 0 \implies t \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $5t$:

$2t + 9 = 4 \cdot (5t)$

$2t + 9 = 20t$

Перенесем члены с переменной $t$ в одну сторону. Вычтем $2t$ из обеих частей:

$9 = 20t - 2t$

$9 = 18t$

Чтобы найти $t$, поменяем местами части уравнения и разделим на 18:

$18t = 9$

$t = \frac{9}{18}$

Сократим дробь на 9:

$t = \frac{1}{2}$ или $t=0.5$

Корень $t=0.5$ не равен нулю, значит, он удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 0.5

7.13 а) $\frac{a}{a-3} = \frac{4}{5}$;

б) $\frac{6-v}{2v-1} = \frac{4}{3}$;

в) $\frac{3c}{c-1} = \frac{7}{3}$;

г) $\frac{s+2}{3s-5} = \frac{5}{4}$.

а)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{a}{a-3} = \frac{4}{5}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $a - 3 \neq 0$, откуда $a \neq 3$.

Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением): произведение крайних членов равно произведению средних.

$5 \cdot a = 4 \cdot (a - 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5a = 4a - 12$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть уравнения:

$5a - 4a = -12$

Приведем подобные слагаемые:

$a = -12$

Полученное значение $a = -12$ удовлетворяет ОДЗ ($ -12 \neq 3$).

Ответ: $a = -12$.

б)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{6-v}{2v-1} = \frac{4}{3}$.

ОДЗ: $2v - 1 \neq 0$, откуда $2v \neq 1$ и $v \neq \frac{1}{2}$.

Применим перекрестное умножение:

$3 \cdot (6 - v) = 4 \cdot (2v - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$18 - 3v = 8v - 4$

Перенесем слагаемые с переменной $v$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$18 + 4 = 8v + 3v$

Приведем подобные слагаемые:

$22 = 11v$

Найдем $v$:

$v = \frac{22}{11}$

$v = 2$

Полученное значение $v = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq \frac{1}{2}$).

Ответ: $v = 2$.

в)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{3c}{c-1} = \frac{7}{3}$.

ОДЗ: $c - 1 \neq 0$, откуда $c \neq 1$.

Применим перекрестное умножение:

$3 \cdot (3c) = 7 \cdot (c - 1)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой:

$9c = 7c - 7$

Перенесем слагаемые с переменной $c$ в левую часть:

$9c - 7c = -7$

Приведем подобные слагаемые:

$2c = -7$

Найдем $c$:

$c = -\frac{7}{2}$ или $c = -3.5$

Полученное значение $c = -3.5$ удовлетворяет ОДЗ ($-3.5 \neq 1$).

Ответ: $c = -3.5$.

г)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{s+2}{3s-5} = \frac{5}{4}$.

ОДЗ: $3s - 5 \neq 0$, откуда $3s \neq 5$ и $s \neq \frac{5}{3}$.

Применим перекрестное умножение:

$4 \cdot (s + 2) = 5 \cdot (3s - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4s + 8 = 15s - 25$

Перенесем слагаемые с переменной $s$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$8 + 25 = 15s - 4s$

Приведем подобные слагаемые:

$33 = 11s$

Найдем $s$:

$s = \frac{33}{11}$

$s = 3$

Полученное значение $s = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq \frac{5}{3}$).

Ответ: $s = 3$.

Решите уравнение:

7.14 а) $\frac{3n + 75}{5} = \frac{6n + 42}{5}$;

б) $\frac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{2x + 1}{x^2 + 1}$;

в) $\frac{8r + 3}{7} = \frac{10r - 1}{7}$;

г) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 2} = \frac{4 - 3x}{x^2 + 2}$.

а) Исходное уравнение: $ \frac{3n + 75}{5} = \frac{6n + 42}{5} $.

Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны и не равны нулю, мы можем приравнять их числители:

$ 3n + 75 = 6n + 42 $

Теперь соберем слагаемые с переменной n в одной стороне уравнения, а числовые значения — в другой. Для этого вычтем $ 3n $ из обеих частей и вычтем $ 42 $ из обеих частей:

$ 75 - 42 = 6n - 3n $

Выполним вычисления:

$ 33 = 3n $

Чтобы найти n, разделим обе части уравнения на 3:

$ n = \frac{33}{3} $

$ n = 11 $

Ответ: 11

б) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} $.

Знаменатель $ x^2 + 1 $ никогда не равен нулю, так как $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного числа x, а значит $ x^2 + 1 \ge 1 $. Поэтому область допустимых значений уравнения — все действительные числа.

Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители:

$ x^2 + 2x = 2x + 1 $

Вычтем $ 2x $ из обеих частей уравнения:

$ x^2 = 1 $

Это квадратное уравнение имеет два корня. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$ x = \pm\sqrt{1} $

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -1 $

Ответ: -1; 1

в) Исходное уравнение: $ \frac{8r + 3}{7} = \frac{10r - 1}{7} $.

Знаменатели дробей равны и не равны нулю, следовательно, мы можем приравнять их числители:

$ 8r + 3 = 10r - 1 $

Перенесем слагаемые с переменной r в правую часть, а свободные члены — в левую:

$ 3 + 1 = 10r - 8r $

Упростим обе части уравнения:

$ 4 = 2r $

Разделим обе части на 2, чтобы найти значение r:

$ r = \frac{4}{2} $

$ r = 2 $

Ответ: 2

г) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 2} = \frac{4 - 3x}{x^2 + 2} $.

Знаменатель $ x^2 + 2 $ не может быть равен нулю, так как $ x^2 \ge 0 $, следовательно, $ x^2 + 2 \ge 2 $. Область допустимых значений — все действительные числа.

Так как знаменатели равны, приравниваем числители:

$ x^2 - 3x = 4 - 3x $

Прибавим $ 3x $ к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:

$ x^2 = 4 $

Это квадратное уравнение, которое имеет два корня. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$ x = \pm\sqrt{4} $

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = -2 $

Ответ: -2; 2

7.15 a) $\frac{x^2}{x+3} = \frac{x}{x+3}$;

б) $\frac{5y^2-1}{y} = \frac{y^2+3}{y}$;

в) $\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}$;

г) $\frac{3t^2+5}{t} = \frac{9+2t^2}{t}$.

а) Дано уравнение $\frac{x^2}{x+3} = \frac{x}{x+3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Поскольку знаменатели в левой и правой частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять числители:

$x^2 = x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное уравнение:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня ($0$ и $1$) не равны $-3$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; 1$.

б) Дано уравнение $\frac{5y^2 - 1}{y} = \frac{y^2 + 3}{y}$.

ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, то есть $y \neq 0$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$5y^2 - 1 = y^2 + 3$

Соберем слагаемые с переменной в левой части, а свободные члены — в правой:

$5y^2 - y^2 = 3 + 1$

$4y^2 = 4$

$y^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Оба корня ($1$ и $-1$) не равны $0$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 1$.

в) Дано уравнение $\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}$.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю: $3-x \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$x^2 = 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим уравнение:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$.

Оба корня ($0$ и $2$) не равны $3$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; 2$.

г) Дано уравнение $\frac{3t^2 + 5}{t} = \frac{9 + 2t^2}{t}$.

ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, то есть $t \neq 0$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$3t^2 + 5 = 9 + 2t^2$

Соберем слагаемые с переменной в левой части, а свободные члены — в правой:

$3t^2 - 2t^2 = 9 - 5$

$t^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.

Оба корня ($2$ и $-2$) не равны $0$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 2$.

7.16 a) $\frac{x^2 - 2}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$

б) $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{-x}{x + 1}$

в) $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$

г) $\frac{2x}{2 - x} = \frac{x^2}{2 - x}$

а) Решим уравнение $\frac{x^2 - 2}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:

$x^2 - 2 = 2$

Перенесем -2 в правую часть:

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \neq -2$. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Ответ: $2$

б) Решим уравнение $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{-x}{x + 1}$.

ОДЗ: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Приравниваем числители дробей:

$x^2 = -x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x + 1 = 0$, то есть $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq -1$. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $0$

в) Решим уравнение $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$.

ОДЗ: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Приравниваем числители:

$x^2 + 1 = 2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-1$

г) Решим уравнение $\frac{2x}{2 - x} = \frac{x^2}{2 - x}$.

ОДЗ: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Приравниваем числители дробей:

$2x = x^2$

Перенесем все в одну часть:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ или $x - 2 = 0$, то есть $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq 2$. Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Ответ: $0$

7.17 a) $\frac{x^2 - 1}{x - 3} = \frac{3x - 1}{x - 3}$;

б) $\frac{x^2 - 15}{x + 5} = \frac{10}{x + 5}$;

в) $\frac{x^2 + 3}{x} = \frac{2x + 3}{x}$;

г) $\frac{16 + 3x^2}{x - 4} = \frac{4x^2}{x - 4}$.

а) $ \frac{x^2 - 1}{x - 3} = \frac{3x - 1}{x - 3} $
Данное уравнение является рациональным. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$ x - 3 \neq 0 $
$ x \neq 3 $
Поскольку знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:
$ x^2 - 1 = 3x - 1 $
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$ x^2 - 3x - 1 + 1 = 0 $
$ x^2 - 3x = 0 $
Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$ x(x - 3) = 0 $
Это уравнение имеет два корня:
$ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 3 $
Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \neq 3 $).
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию ОДЗ.
Корень $ x_2 = 3 $ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $ x = 3 $ является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 0

б) $ \frac{x^2 - 15}{x + 5} = \frac{10}{x + 5} $
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ x + 5 \neq 0 $
$ x \neq -5 $
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$ x^2 - 15 = 10 $
Переносим постоянные в правую часть:
$ x^2 = 10 + 15 $
$ x^2 = 25 $
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, получая два возможных корня:
$ x_1 = 5 $
$ x_2 = -5 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq -5 $).
Корень $ x_1 = 5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -5 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
Ответ: 5

в) $ \frac{x^2 + 3}{x} = \frac{2x + 3}{x} $
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ x \neq 0 $
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$ x^2 + 3 = 2x + 3 $
Переносим все слагаемые в левую часть:
$ x^2 - 2x + 3 - 3 = 0 $
$ x^2 - 2x = 0 $
Выносим общий множитель $x$ за скобки:
$ x(x - 2) = 0 $
Получаем два возможных корня:
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 2 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0 $).
Корень $ x_1 = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2

г) $ \frac{16 + 3x^2}{x - 4} = \frac{4x^2}{x - 4} $
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ x - 4 \neq 0 $
$ x \neq 4 $
Приравниваем числители, поскольку знаменатели одинаковы:
$ 16 + 3x^2 = 4x^2 $
Переносим слагаемые с $ x^2 $ в правую часть, а число оставляем в левой:
$ 16 = 4x^2 - 3x^2 $
$ 16 = x^2 $
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$ x_1 = 4 $
$ x_2 = -4 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 4 $).
Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
Корень $ x_2 = -4 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4

7.18 a) $\frac{x^2 - 8x}{x - 6} = \frac{4x - 36}{x - 6}$;

б) $\frac{4x - 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 2}$;

в) $\frac{x^2 + 16x}{x + 5} = \frac{6x - 25}{x + 5}$

г) $\frac{7x + 4}{x + 3} = \frac{3x - 8}{x + 3}$.

а) $\frac{x^2 - 8x}{x - 6} = \frac{4x - 36}{x - 6}$

Данное уравнение является рациональным. Дроби равны, и у них одинаковые знаменатели. Это означает, что их числители также должны быть равны, при условии, что знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 6 \neq 0$
$x \neq 6$

2. Приравняем числители:
$x^2 - 8x = 4x - 36$

3. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 8x - 4x + 36 = 0$
$x^2 - 12x + 36 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Заметим, что левая часть является полным квадратом (квадратом разности):
$(x - 6)^2 = 0$

5. Из этого следует, что:
$x - 6 = 0$
$x = 6$

6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы нашли, что $x=6$, однако ОДЗ требует, чтобы $x \neq 6$. Поскольку единственный найденный корень не входит в область допустимых значений, у уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.

б) $\frac{4x - 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 2}$

Уравнение имеет одинаковые знаменатели в обеих частях. Приравняем числители при условии, что знаменатель не равен нулю.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$

2. Приравняем числители:
$4x - 1 = x + 5$

3. Решим полученное линейное уравнение:
$4x - x = 5 + 1$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

4. Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $\frac{x^2 + 16x}{x + 5} = \frac{6x - 25}{x + 5}$

Поскольку знаменатели дробей равны, приравняем их числители, предварительно определив область допустимых значений.

1. ОДЗ:
$x + 5 \neq 0$
$x \neq -5$

2. Приравняем числители:
$x^2 + 16x = 6x - 25$

3. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 16x - 6x + 25 = 0$
$x^2 + 10x + 25 = 0$

4. Левая часть уравнения является формулой квадрата суммы:
$(x + 5)^2 = 0$

5. Решим уравнение:
$x + 5 = 0$
$x = -5$

6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Корень $x = -5$ не входит в область допустимых значений ($x \neq -5$). Таким образом, у данного уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.

г) $\frac{7x + 4}{x + 3} = \frac{3x - 8}{x + 3}$

Дроби имеют одинаковые знаменатели, поэтому для решения уравнения достаточно приравнять числители, учитывая ОДЗ.

1. ОДЗ:
$x + 3 \neq 0$
$x \neq -3$

2. Приравняем числители:
$7x + 4 = 3x - 8$

3. Решим линейное уравнение:
$7x - 3x = -8 - 4$
$4x = -12$
$x = \frac{-12}{4}$
$x = -3$

4. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Найденный корень $x = -3$ исключается областью допустимых значений ($x \neq -3$). Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.

7.19 a) $\frac{a}{4} - \frac{a-3}{5} = -1;$

б) $\frac{p}{5} + \frac{p+12}{15} = \frac{1}{3};$

в) $\frac{c}{7} - \frac{3c-1}{14} = 2;$

г) $\frac{2-q}{5} - \frac{q}{20} = \frac{1}{4}.$

а) $\frac{a}{4} - \frac{a-3}{5} = -1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей. В данном случае это НОК(4, 5) = 20.

$20 \cdot (\frac{a}{4} - \frac{a-3}{5}) = 20 \cdot (-1)$

$\frac{20a}{4} - \frac{20(a-3)}{5} = -20$

$5a - 4(a-3) = -20$

Раскроем скобки:

$5a - 4a + 12 = -20$

Приведем подобные слагаемые:

$a + 12 = -20$

Перенесем 12 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$a = -20 - 12$

$a = -32$

Ответ: -32.

б) $\frac{p}{5} + \frac{p+12}{15} = \frac{1}{3}$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей: НОК(5, 15, 3) = 15. Умножим обе части уравнения на 15.

$15 \cdot (\frac{p}{5} + \frac{p+12}{15}) = 15 \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{15p}{5} + \frac{15(p+12)}{15} = \frac{15}{3}$

$3p + (p+12) = 5$

Раскроем скобки:

$3p + p + 12 = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$4p + 12 = 5$

Перенесем 12 в правую часть уравнения:

$4p = 5 - 12$

$4p = -7$

Найдем p:

$p = -\frac{7}{4}$ или $p = -1,75$

Ответ: -1,75.

в) $\frac{c}{7} - \frac{3c-1}{14} = 2$

Наименьший общий знаменатель дробей: НОК(7, 14) = 14. Умножим обе части уравнения на 14.

$14 \cdot (\frac{c}{7} - \frac{3c-1}{14}) = 14 \cdot 2$

$\frac{14c}{7} - \frac{14(3c-1)}{14} = 28$

$2c - (3c-1) = 28$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед скобкой:

$2c - 3c + 1 = 28$

Приведем подобные слагаемые:

$-c + 1 = 28$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$-c = 28 - 1$

$-c = 27$

Умножим обе части на -1, чтобы найти c:

$c = -27$

Ответ: -27.

г) $\frac{2-q}{5} - \frac{q}{20} = \frac{1}{4}$

Наименьший общий знаменатель дробей: НОК(5, 20, 4) = 20. Умножим обе части уравнения на 20.

$20 \cdot (\frac{2-q}{5} - \frac{q}{20}) = 20 \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{20(2-q)}{5} - \frac{20q}{20} = \frac{20}{4}$

$4(2-q) - q = 5$

Раскроем скобки:

$8 - 4q - q = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$8 - 5q = 5$

Перенесем 8 в правую часть уравнения:

$-5q = 5 - 8$

$-5q = -3$

Найдем q:

$q = \frac{-3}{-5}$

$q = \frac{3}{5}$ или $q = 0,6$

Ответ: 0,6.