Страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7.2 а) $ \frac{3x+1}{x+3} $

б) $ \frac{(x+3)(x-1)}{3x} $

в) $ \frac{6x-18}{x-2} $

г) $ \frac{(x+4)(x-5)}{x} $?

а) Заданная дробь $\frac{3x+1}{x+3}$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$ \begin{cases} 3x + 1 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$3x + 1 = 0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию системы (области допустимых значений):
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.
Поскольку $-\frac{1}{3} \neq -3$, найденное значение $x$ является решением.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

б) Заданная дробь $\frac{(x+3)(x-1)}{3x}$.
Аналогично, найдём значения $x$, при которых дробь равна нулю. Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.
Система:
$ \begin{cases} (x+3)(x-1) = 0 \\ 3x \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x+3=0$ или $x-1=0$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Проверим условие для знаменателя: $3x \neq 0 \implies x \neq 0$. Оба корня ($-3$ и $1$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $x = -3; 1$.

в) Заданная дробь $\frac{6x-18}{x-2}$.
Найдём, при каких значениях $x$ дробь равна нулю. Составим и решим соответствующую систему:
$ \begin{cases} 6x - 18 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $
Решаем первое уравнение:
$6x = 18$
$x = \frac{18}{6} = 3$
Проверяем второе условие: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Поскольку $3 \neq 2$, найденный корень $x=3$ является решением.
Ответ: $x = 3$.

г) Заданная дробь $\frac{(x+4)(x-5)}{x}$.
Найдём, при каких значениях $x$ дробь равна нулю. Условия те же: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.
Система:
$ \begin{cases} (x+4)(x-5) = 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $
Решаем первое уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю:
$x+4=0$ или $x-5=0$.
Отсюда получаем корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$.
Проверяем условие для знаменателя: $x \neq 0$. Оба корня ($-4$ и $5$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $x = -4; 5$.

7.3 а) $\frac{x^2 + 3x}{x^2}$;

б) $\frac{4x^2 - 1}{6x + 3}$;

в) $\frac{x^2 - 4x}{4x}$;

г) $\frac{4 - 9x^2}{6x - 4}$?

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 3x}{x^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 + 3x = x(x+3)$. Знаменатель $x^2$ можно представить как $x \cdot x$. Таким образом, исходная дробь принимает вид $\frac{x(x+3)}{x^2}$. Сократим дробь на общий множитель $x$. Это допустимо при условии, что $x \neq 0$. В результате получаем: $\frac{x(x+3)}{x \cdot x} = \frac{x+3}{x}$.
Ответ: $\frac{x+3}{x}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{4x^2 - 1}{6x + 3}$. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Числитель $4x^2 - 1$ можно представить как $(2x)^2 - 1^2$, что равно $(2x-1)(2x+1)$. В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки: $6x + 3 = 3(2x+1)$. Теперь дробь можно записать как $\frac{(2x-1)(2x+1)}{3(2x+1)}$. Сократим общий множитель $(2x+1)$ в числителе и знаменателе, что возможно при $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -0.5$. В итоге получаем $\frac{2x-1}{3}$.
Ответ: $\frac{2x-1}{3}$.

в) Дана дробь $\frac{x^2 - 4x}{4x}$. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 4x = x(x-4)$. Дробь примет вид: $\frac{x(x-4)}{4x}$. Сократим общий множитель $x$ в числителе и знаменателе. Это действие правомерно при $x \neq 0$. В результате сокращения получаем: $\frac{x-4}{4}$.
Ответ: $\frac{x-4}{4}$.

г) Упростим дробь $\frac{4 - 9x^2}{6x - 4}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $4 - 9x^2$ является разностью квадратов: $4 - 9x^2 = 2^2 - (3x)^2 = (2-3x)(2+3x)$. В знаменателе $6x - 4$ вынесем за скобки общий множитель 2: $6x - 4 = 2(3x-2)$. Дробь принимает вид: $\frac{(2-3x)(2+3x)}{2(3x-2)}$. Заметим, что выражения $(2-3x)$ и $(3x-2)$ являются противоположными, так как $(2-3x) = -(3x-2)$. Вынесем знак минус за скобки в числителе: $\frac{-(3x-2)(2+3x)}{2(3x-2)}$. Теперь можем сократить общий множитель $(3x-2)$, что возможно при $3x-2 \neq 0$, или $x \neq \frac{2}{3}$. В результате получаем: $-\frac{2+3x}{2}$, что то же самое, что и $-\frac{3x+2}{2}$.
Ответ: $-\frac{3x+2}{2}$.

7.4 а) $\frac{x-4}{x^2-4x}$;

б) $\frac{x^2+1}{x}$;

в) $\frac{x^2}{x^2+2x}$;

г) $\frac{x^2+2}{2x}$?

а)Рассмотрим дробь $\frac{x-4}{x^2-4x}$.Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить знаменатель на множители.В знаменателе $x^2-4x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x^2-4x = x(x-4)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:$\frac{x-4}{x(x-4)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x(x-4) \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 4$.
При этих условиях мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-4)$:$\frac{x-4}{x(x-4)} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$

б)Рассмотрим дробь $\frac{x^2+1}{x}$.Числитель $x^2+1$ и знаменатель $x$ не имеют общих множителей, кроме 1. Выражение $x^2+1$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2+1=0$ не имеет действительных корней.
Следовательно, данная дробь является несократимой.
Однако, можно представить эту дробь в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель (выделить целую часть):$\frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$.
Ответ: Дробь несократима. Можно представить в виде $x + \frac{1}{x}$.

в)Рассмотрим дробь $\frac{x^2}{x^2+2x}$.Разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:$x^2+2x = x(x+2)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:$\frac{x^2}{x(x+2)}$.
ОДЗ: $x(x+2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
При этих условиях сократим дробь на общий множитель $x$:$\frac{x^2}{x(x+2)} = \frac{x}{x+2}$.
Ответ: $\frac{x}{x+2}$

г)Рассмотрим дробь $\frac{x^2+2}{2x}$.Числитель $x^2+2$ и знаменатель $2x$ не имеют общих множителей, кроме 1. Выражение $x^2+2$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2+2=0$ не имеет действительных корней.
Следовательно, данная дробь является несократимой.
Можно представить эту дробь в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:$\frac{x^2+2}{2x} = \frac{x^2}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$.
Ответ: Дробь несократима. Можно представить в виде $\frac{x}{2} + \frac{1}{x}$.

Решите уравнение:

7.5 а) $\frac{2x+5}{2}=0;$

б) $\frac{x(x-2)}{x^2+4}=0;$

в) $\frac{3x-4}{4}=0;$

г) $\frac{x(x+1)}{x^2+1}=0.$

а) Дано уравнение $\frac{2x + 5}{2} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель в данном уравнении равен 2, что не равно нулю. Следовательно, для нахождения решения достаточно приравнять числитель к нулю:
$2x + 5 = 0$
Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2x = -5$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{5}{2}$
$x = -2.5$
Ответ: $-2.5$.

б) Дано уравнение $\frac{x(x - 2)}{x^2 + 4} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
или
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
2. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при найденных значениях $x$. Знаменатель равен $x^2 + 4$.
Так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4 ($x^2 + 4 \ge 4$). Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю.
Оба найденных корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 2$.

в) Дано уравнение $\frac{3x - 4}{4} = 0$.
Как и в пункте а), дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель - нет. Знаменатель равен 4, что не равно нулю. Приравниваем числитель к нулю:
$3x - 4 = 0$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$3x = 4$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$.

г) Дано уравнение $\frac{x(x + 1)}{x^2 + 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
или
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
2. Проверим знаменатель $x^2 + 1$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$). Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, оба найденных корня являются решениями уравнения.
Ответ: $-1; 0$.

7.6 a) $ \frac{4x - 1}{4x} = 0; $

б) $ \frac{(2x + 3)(x - 5)}{3x + 2} = 0; $

в) $ \frac{5x + 2}{5x} = 0; $

г) $ \frac{(2x - 1)(x + 3)}{2x + 1} = 0. $

а) Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$ \begin{cases} 4x - 1 = 0 \\ 4x \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию системы (области допустимых значений):
$4x \neq 0$
$x \neq 0$
Поскольку $x = \frac{1}{4}$ не равно $0$, корень подходит.
Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

б) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем систему:
$ \begin{cases} (2x + 3)(x - 5) = 0 \\ 3x + 2 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x + 3 = 0$ или $x - 5 = 0$
$2x = -3$ или $x = 5$
$x_1 = -\frac{3}{2} = -1.5$
$x_2 = 5$
Теперь решим неравенство для знаменателя, чтобы найти область допустимых значений:
$3x + 2 \neq 0$
$3x \neq -2$
$x \neq -\frac{2}{3}$
Сравним найденные корни с ограничением. Оба корня, $x_1 = -1.5$ и $x_2 = 5$, не равны $-\frac{2}{3}$, следовательно, оба являются решениями уравнения.
Ответ: $x_1 = -1.5; x_2 = 5$.

в) Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Составим систему:
$ \begin{cases} 5x + 2 = 0 \\ 5x \neq 0 \end{cases} $
Решаем уравнение:
$5x + 2 = 0$
$5x = -2$
$x = -\frac{2}{5}$
Проверяем по условию для знаменателя:
$5x \neq 0$
$x \neq 0$
Корень $x = -\frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $x \neq 0$.
Ответ: $x = -\frac{2}{5}$.

г) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:
$ \begin{cases} (2x - 1)(x + 3) = 0 \\ 2x + 1 \neq 0 \end{cases} $
Решим уравнение из системы. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$2x - 1 = 0$ или $x + 3 = 0$
$2x = 1$ или $x = -3$
$x_1 = \frac{1}{2}$
$x_2 = -3$
Теперь найдем область допустимых значений из условия, что знаменатель не равен нулю:
$2x + 1 \neq 0$
$2x \neq -1$
$x \neq -\frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни этому ограничению. $x_1 = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$ и $x_2 = -3 \neq -\frac{1}{2}$. Оба корня подходят.
Ответ: $x_1 = -3; x_2 = 0.5$.

7.7 а) $\frac{m^2 + 5m}{5} = 0;$

б) $\frac{p^2 + 4p}{2 - p} = 0;$

в) $\frac{n^2 - 9n}{9} = 0;$

г) $\frac{q^2 - 16q}{q + 4} = 0.$

а) $\frac{m^2 + 5m}{5} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель дроби равен $5$, что не равно нулю. Следовательно, уравнение равносильно тому, что его числитель равен нулю.

$m^2 + 5m = 0$

Вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m(m + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$m_1 = 0$ или $m + 5 = 0 \implies m_2 = -5$

Ответ: -5; 0.

б) $\frac{p^2 + 4p}{2 - p} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} p^2 + 4p = 0, \\ 2 - p \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Вынесем $p$ за скобки:

$p(p + 4) = 0$

Корни уравнения:

$p_1 = 0$ или $p + 4 = 0 \implies p_2 = -4$

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни второму условию системы (области допустимых значений):

$2 - p \neq 0 \implies p \neq 2$

Оба найденных корня ($0$ и $-4$) не равны $2$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -4; 0.

в) $\frac{n^2 - 9n}{9} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель равен $9$, что не равно нулю. Значит, нужно только приравнять числитель к нулю:

$n^2 - 9n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

$n_1 = 0$ или $n - 9 = 0 \implies n_2 = 9$

Ответ: 0; 9.

г) $\frac{q^2 - 16q}{q + 4} = 0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} q^2 - 16q = 0, \\ q + 4 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, вынеся $q$ за скобки:

$q(q - 16) = 0$

Корни уравнения:

$q_1 = 0$ или $q - 16 = 0 \implies q_2 = 16$

Проверим найденные корни по второму условию системы (ОДЗ):

$q + 4 \neq 0 \implies q \neq -4$

Оба корня ($0$ и $16$) удовлетворяют этому условию, так как не равны $-4$. Следовательно, оба являются решениями.

Ответ: 0; 16.

7.8 а) $\frac{x^2 - 100}{x^2 + 100} = 0;$

б) $\frac{4x^2 - 9}{4x^2} = 0;$

в) $\frac{z^2 - 36}{z^2 + 36} = 0;$

г) $\frac{9x^2 - 1}{3x} = 0.$

а)

Дано уравнение $\frac{x^2 - 100}{x^2 + 100} = 0$.

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 100 = 0 \\ x^2 + 100 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x^2 - 100 = 0$

$x^2 = 100$

$x_1 = \sqrt{100} = 10$

$x_2 = -\sqrt{100} = -10$

Теперь проверим второе условие для найденных корней. Знаменатель $x^2 + 100$ не должен равняться нулю. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 100$ всегда будет больше или равно 100, и, следовательно, никогда не будет равно нулю. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: $-10; 10$.

б)

Дано уравнение $\frac{4x^2 - 9}{4x^2} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 9 = 0 \\ 4x^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$4x^2 - 9 = 0$

$4x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{4}$

$x_1 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим второе условие (область допустимых значений). Знаменатель $4x^2$ не должен быть равен нулю:

$4x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Найденные корни $1.5$ и $-1.5$ не равны нулю, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $-1.5; 1.5$.

в)

Дано уравнение $\frac{z^2 - 36}{z^2 + 36} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} z^2 - 36 = 0 \\ z^2 + 36 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$z^2 - 36 = 0$

$z^2 = 36$

$z_1 = \sqrt{36} = 6$

$z_2 = -\sqrt{36} = -6$

Проверим второе условие. Знаменатель $z^2 + 36$ не должен равняться нулю. Так как $z^2 \ge 0$, то $z^2 + 36 \ge 36$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: $-6; 6$.

г)

Дано уравнение $\frac{9x^2 - 1}{3x} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 9x^2 - 1 = 0 \\ 3x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$9x^2 - 1 = 0$

$9x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{9}$

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$

Проверим второе условие. Знаменатель $3x$ не должен быть равен нулю:

$3x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Найденные корни $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3}$ не равны нулю, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

7.9 a) $\frac{x^2 - 4x}{4x} = 0$;

б) $\frac{x^2 + 3x}{5x + 15} = 0$;

в) $\frac{x^2 + 5x}{5x} = 0$;

г) $\frac{x^2 - 7x}{3x - 21} = 0.$

а) $\frac{x^2 - 4x}{4x} = 0$

Дробное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 4x = 0 \\ 4x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.

2. Проверим выполнение условия для знаменателя $4x \neq 0$:

$x \neq 0$.

3. Сравниваем полученные корни с областью допустимых значений (ОДЗ). Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию.

Ответ: $4$.

б) $\frac{x^2 + 3x}{5x + 15} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 3x = 0 \\ 5x + 15 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 + 3x = 0$:

$x(x + 3) = 0$

$x_1 = 0$ или $x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$.

2. Проверим условие $5x + 15 \neq 0$:

$5x \neq -15$

$x \neq -3$.

3. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.

Ответ: $0$.

в) $\frac{x^2 + 5x}{5x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 5x = 0 \\ 5x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 + 5x = 0$:

$x(x + 5) = 0$

$x_1 = 0$ или $x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$.

2. Проверим условие $5x \neq 0$:

$x \neq 0$.

3. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он отбрасывается. Корень $x_2 = -5$ является решением.

Ответ: $-5$.

г) $\frac{x^2 - 7x}{3x - 21} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 7x = 0 \\ 3x - 21 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 - 7x = 0$:

$x(x - 7) = 0$

$x_1 = 0$ или $x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$.

2. Проверим условие $3x - 21 \neq 0$:

$3x \neq 21$

$x \neq 7$.

3. Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.

Ответ: $0$.

7.10 а) $\frac{x^2 - 25}{3x + 15} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 36}{x^2 + 6x} = 0;$

в) $\frac{x^2 - 49}{4x - 28} = 0;$

г) $\frac{x^2 - 64}{8x - x^2} = 0.$

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ 3x + 15 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 25 = 0$
$(x-5)(x+5) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Теперь решим второе неравенство (найдем область допустимых значений):
$3x + 15 \neq 0$
$3x \neq -15$
$x \neq -5$
Сравнивая корни первого уравнения с ограничением, мы видим, что корень $x = -5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, этот корень является посторонним.
Единственным решением является $x = 5$.
Ответ: 5

б) Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 36 = 0 \\ x^2 + 6x \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение (числитель равен нулю):
$x^2 - 36 = 0$
$(x-6)(x+6) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Решим второе неравенство (знаменатель не равен нулю):
$x^2 + 6x \neq 0$
$x(x+6) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $x+6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.
Корень $x = -6$ не удовлетворяет условию, так как при нем знаменатель равен нулю. Исключаем его.
Остается единственный корень $x = 6$.
Ответ: 6

в) Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ 4x - 28 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 - 49 = 0$
$(x-7)(x+7) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Решим второе неравенство:
$4x - 28 \neq 0$
$4x \neq 28$
$x \neq 7$
Корень $x = 7$ является посторонним, так как он не входит в область допустимых значений.
Следовательно, решением является $x = -7$.
Ответ: -7

г) Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 64 = 0 \\ 8x - x^2 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 - 64 = 0$
$(x-8)(x+8) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Решим второе неравенство:
$8x - x^2 \neq 0$
$x(8-x) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $8-x \neq 0$, то есть $x \neq 8$.
Корень $x = 8$ не удовлетворяет условию, так как при нем знаменатель обращается в ноль.
Единственным решением является $x = -8$.
Ответ: -8

7.11 a) $\frac{t^4 - 81}{t^2 + 9} = 0;$

б) $\frac{a^3 - 4a}{a + 2} = 0;$

в) $\frac{y^4 - 16}{y^2 + 4} = 0;$

г) $\frac{9d - d^3}{d - 3} = 0.$

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} t^4 - 81 = 0 \\ t^2 + 9 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, разложив левую часть на множители как разность квадратов:

$t^4 - 81 = (t^2)^2 - 9^2 = (t^2 - 9)(t^2 + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $t^2 - 9 = 0 \implies t^2 = 9 \implies t_1 = 3, t_2 = -3$.

2) $t^2 + 9 = 0 \implies t^2 = -9$. В этом уравнении нет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Теперь проверим условие неравенства знаменателя нулю: $t^2 + 9 \neq 0$. Так как $t^2 \ge 0$ для любого действительного $t$, то $t^2 + 9 \ge 9$. Значит, знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $t_1 = 3, t_2 = -3$

б) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a^3 - 4a = 0 \\ a + 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a^2 - 4) = 0$

Разложим выражение в скобках как разность квадратов:

$a(a - 2)(a + 2) = 0$

Получаем три возможных корня:

$a_1 = 0$

$a_2 = 2$

$a_3 = -2$

Теперь учтем область допустимых значений (ОДЗ) из второго условия системы: $a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$.

Исключаем корень $a = -2$, так как он обращает знаменатель в ноль.

Ответ: $a_1 = 0, a_2 = 2$

в) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Составим систему:

$\begin{cases} y^4 - 16 = 0 \\ y^2 + 4 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, используя формулу разности квадратов:

$y^4 - 16 = (y^2)^2 - 4^2 = (y^2 - 4)(y^2 + 4) = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $y^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y_1 = 2, y_2 = -2$.

2) $y^2 + 4 = 0 \implies y^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней.

Проверим знаменатель: $y^2 + 4 \neq 0$. Поскольку $y^2 \ge 0$, то $y^2 + 4$ всегда больше или равно 4, а значит, никогда не равно нулю.

Оба найденных корня подходят.

Ответ: $y_1 = 2, y_2 = -2$

г) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 9d - d^3 = 0 \\ d - 3 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение. Вынесем $d$ за скобки:

$d(9 - d^2) = 0$

Разложим на множители разность квадратов в скобках:

$d(3 - d)(3 + d) = 0$

Отсюда находим возможные корни:

$d_1 = 0$

$d_2 = 3$

$d_3 = -3$

Проверим область допустимых значений из второго условия системы: $d - 3 \neq 0 \implies d \neq 3$.

Корень $d = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому мы его исключаем.

Ответ: $d_1 = 0, d_2 = -3$