Страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5.24 а) $(\frac{a}{2x})^5$;

б) $(\frac{5y}{3})^3$;

в) $(\frac{8z}{9})^2$;

г) $(\frac{t}{4b})^4$.

а) Для того чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель. Это следует из свойства степени: $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$. Знаменатель $2x$ является произведением, и для его возведения в степень нужно возвести в эту степень каждый множитель: $(A \cdot B)^n = A^n \cdot B^n$.

Выполним преобразование:

$(\frac{a}{2x})^5 = \frac{a^5}{(2x)^5} = \frac{a^5}{2^5 \cdot x^5} = \frac{a^5}{32x^5}$

Ответ: $\frac{a^5}{32x^5}$

б) Аналогично предыдущему примеру, возводим в третью степень числитель и знаменатель дроби.

Выполним преобразование:

$(\frac{5y}{3})^3 = \frac{(5y)^3}{3^3} = \frac{5^3 \cdot y^3}{27} = \frac{125y^3}{27}$

Ответ: $\frac{125y^3}{27}$

в) Возводим дробь в квадрат (во вторую степень), применяя те же правила возведения в степень дроби и произведения.

Выполним преобразование:

$(\frac{8z}{9})^2 = \frac{(8z)^2}{9^2} = \frac{8^2 \cdot z^2}{81} = \frac{64z^2}{81}$

Ответ: $\frac{64z^2}{81}$

г) Возводим дробь в четвертую степень, последовательно применяя свойство степени для дроби, а затем для произведения в знаменателе.

Выполним преобразование:

$(\frac{t}{4b})^4 = \frac{t^4}{(4b)^4} = \frac{t^4}{4^4 \cdot b^4} = \frac{t^4}{256b^4}$

Ответ: $\frac{t^4}{256b^4}$

5.25 a) $\left(-\frac{2x}{3y}\right)^5$;

б) $\left(-\frac{8z}{15t}\right)^2$;

в) $\left(-\frac{4t}{5s}\right)^3$;

г) $\left(-\frac{3m}{4n}\right)^4$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Так как показатель степени нечетный (5), знак минус у выражения сохраняется. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\ -\frac{2x}{3y}\ )^5 = -(\frac{2x}{3y})^5 = -\frac{(2x)^5}{(3y)^5}$

Далее применяем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ для числителя и знаменателя:

$-\frac{2^5 \cdot x^5}{3^5 \cdot y^5} = -\frac{32x^5}{243y^5}$

Ответ: $-\frac{32x^5}{243y^5}$

б) При возведении отрицательной дроби в четную степень (2) результат будет положительным. Это следует из правила $(-a)^n = a^n$, если $n$ — четное число.

$(\ -\frac{8z}{15t}\ )^2 = (\frac{8z}{15t})^2 = \frac{(8z)^2}{(15t)^2}$

Возводим в квадрат каждый множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{8^2 \cdot z^2}{15^2 \cdot t^2} = \frac{64z^2}{225t^2}$

Ответ: $\frac{64z^2}{225t^2}$

в) В данном случае показатель степени нечетный (3), поэтому знак минус сохраняется. Возводим в степень числитель и знаменатель дроби.

$(\ -\frac{4t}{5s}\ )^3 = -\frac{(4t)^3}{(5s)^3}$

Возводим в куб каждый множитель в числителе и знаменателе:

$-\frac{4^3 \cdot t^3}{5^3 \cdot s^3} = -\frac{64t^3}{125s^3}$

Ответ: $-\frac{64t^3}{125s^3}$

г) Так как показатель степени четный (4), знак минус исчезает, и результат будет положительным.

$(\ -\frac{3m}{4n}\ )^4 = (\frac{3m}{4n})^4 = \frac{(3m)^4}{(4n)^4}$

Возводим в четвертую степень каждый множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{3^4 \cdot m^4}{4^4 \cdot n^4} = \frac{81m^4}{256n^4}$

Ответ: $\frac{81m^4}{256n^4}$

5.26 а) $(\frac{2x^2y^3}{3z^6})^4$;

б) $(-\frac{3n^6k^3}{10p^4})^3$;

в) $(\frac{5a^4c^3}{2k^3})^3$;

г) $(-\frac{5x^6y^3}{z^8})^4$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель по отдельности. Для возведения произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень. При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$(\frac{2x^2y^3}{3z^6})^4 = \frac{(2x^2y^3)^4}{(3z^6)^4}$
Вычисляем числитель: $(2x^2y^3)^4 = 2^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 = 16x^{2 \cdot 4}y^{3 \cdot 4} = 16x^8y^{12}$.
Вычисляем знаменатель: $(3z^6)^4 = 3^4 \cdot (z^6)^4 = 81z^{6 \cdot 4} = 81z^{24}$.
Соединяем числитель и знаменатель:
Ответ: $\frac{16x^8y^{12}}{81z^{24}}$.

б) Возводим дробь в третью степень. Так как степень нечетная (3), знак "минус" у выражения сохраняется.
$(-\frac{3n^6k^3}{10p^4})^3 = -(\frac{3n^6k^3}{10p^4})^3 = -\frac{(3n^6k^3)^3}{(10p^4)^3}$
Вычисляем числитель: $(3n^6k^3)^3 = 3^3 \cdot (n^6)^3 \cdot (k^3)^3 = 27n^{6 \cdot 3}k^{3 \cdot 3} = 27n^{18}k^9$.
Вычисляем знаменатель: $(10p^4)^3 = 10^3 \cdot (p^4)^3 = 1000p^{4 \cdot 3} = 1000p^{12}$.
Соединяем числитель и знаменатель, не забывая про знак "минус":
Ответ: $-\frac{27n^{18}k^9}{1000p^{12}}$.

в) Возводим дробь в третью степень, для чего возводим в эту степень числитель и знаменатель.
$(\frac{5a^4c^3}{2k^3})^3 = \frac{(5a^4c^3)^3}{(2k^3)^3}$
Вычисляем числитель: $(5a^4c^3)^3 = 5^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (c^3)^3 = 125a^{4 \cdot 3}c^{3 \cdot 3} = 125a^{12}c^9$.
Вычисляем знаменатель: $(2k^3)^3 = 2^3 \cdot (k^3)^3 = 8k^{3 \cdot 3} = 8k^9$.
Соединяем числитель и знаменатель:
Ответ: $\frac{125a^{12}c^9}{8k^9}$.

г) Возводим дробь в четвертую степень. Так как степень четная (4), отрицательное основание становится положительным.
$(-\frac{5x^6y^3}{z^8})^4 = (\frac{5x^6y^3}{z^8})^4 = \frac{(5x^6y^3)^4}{(z^8)^4}$
Вычисляем числитель: $(5x^6y^3)^4 = 5^4 \cdot (x^6)^4 \cdot (y^3)^4 = 625x^{6 \cdot 4}y^{3 \cdot 4} = 625x^{24}y^{12}$.
Вычисляем знаменатель: $(z^8)^4 = z^{8 \cdot 4} = z^{32}$.
Соединяем числитель и знаменатель:
Ответ: $\frac{625x^{24}y^{12}}{z^{32}}$.

5.27 Укажите допустимые значения переменных, при которых справедливо тождество:

a) $(\frac{a}{b})^0 = 1;$

б) $(\frac{2a-b}{a+2})^0 = 1;$

в) $(\frac{a^2-9}{a})^0 = 1;$

г) $(\frac{16-a^2}{a^2-9})^0 = 1.$

Для того чтобы тождество $x^0 = 1$ было справедливым, необходимо и достаточно, чтобы его основание $x$ было определено и не равнялось нулю. В задачах даны выражения вида $(\frac{A}{B})^0 = 1$, где основанием является дробь.
Дробь $\frac{A}{B}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю ($B \neq 0$).
Дробь $\frac{A}{B}$ не равна нулю, если ее числитель не равен нулю ($A \neq 0$).
Следовательно, для каждого из заданных тождеств мы должны найти значения переменных, при которых одновременно выполняются два условия: числитель дроби не равен нулю и знаменатель дроби не равен нулю.

а) В выражении $(\frac{a}{b})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{a}{b}$. Для того чтобы тождество было верным, основание степени должно быть определено и не равно нулю. Это означает, что числитель и знаменатель дроби не должны равняться нулю.
1. Числитель не равен нулю: $a \neq 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $b \neq 0$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$ и $b$, кроме $a=0$ и $b=0$.
Ответ: $a \neq 0$, $b \neq 0$.

б) В выражении $(\frac{2a-b}{a+2})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{2a-b}{a+2}$. Требуется, чтобы числитель и знаменатель этой дроби были не равны нулю.
1. Числитель не равен нулю: $2a-b \neq 0$, что эквивалентно $b \neq 2a$.
2. Знаменатель не равен нулю: $a+2 \neq 0$, что эквивалентно $a \neq -2$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условиям $a \neq -2$ и $b \neq 2a$.
Ответ: $a \neq -2$, $b \neq 2a$.

в) В выражении $(\frac{a^2 - 9}{a})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{a^2 - 9}{a}$. Требуется, чтобы числитель и знаменатель этой дроби были не равны нулю.
1. Числитель не равен нулю: $a^2 - 9 \neq 0$. Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(a-3)(a+3) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 3$ и $a \neq -3$.
2. Знаменатель не равен нулю: $a \neq 0$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$, кроме $a=0$, $a=3$ и $a=-3$.
Ответ: $a \neq 0$, $a \neq 3$, $a \neq -3$.

г) В выражении $(\frac{16 - a^2}{a^2 - 9})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{16 - a^2}{a^2 - 9}$. Требуется, чтобы числитель и знаменатель этой дроби были не равны нулю.
1. Числитель не равен нулю: $16 - a^2 \neq 0$. Разложим на множители: $(4-a)(4+a) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 4$ и $a \neq -4$.
2. Знаменатель не равен нулю: $a^2 - 9 \neq 0$. Разложим на множители: $(a-3)(a+3) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 3$ и $a \neq -3$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$, кроме $a=3$, $a=-3$, $a=4$ и $a=-4$.
Ответ: $a \neq \pm 3$, $a \neq \pm 4$.

Упростите выражение:

5.28 a) $ \frac{a^2}{x} \cdot \left(\frac{x^2}{a^3}\right)^2; $

б) $ \left(\frac{p}{x^3}\right)^3 : \left(\frac{p^2}{x^3}\right)^2; $

в) $ \left(\frac{a^3b}{c^4}\right)^5 \cdot \left(\frac{c^7}{a^5b^2}\right)^3; $

г) $ \left(\frac{x^6y^8}{z^5}\right)^5 : \frac{x^{10}y^{13}}{z^8}. $

а) Для упрощения выражения $ \frac{a^2}{x} \cdot (\frac{x^2}{a^3})^2 $ сначала возведем в степень дробь в скобках. Используем свойство степени дроби $ (\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n} $ и свойство степени степени $ (A^m)^n = A^{mn} $.
$ (\frac{x^2}{a^3})^2 = \frac{(x^2)^2}{(a^3)^2} = \frac{x^{2 \cdot 2}}{a^{3 \cdot 2}} = \frac{x^4}{a^6} $.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ \frac{a^2}{x} \cdot \frac{x^4}{a^6} = \frac{a^2 \cdot x^4}{x \cdot a^6} $.
Сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{A^m}{A^n} = A^{m-n} $:
$ \frac{a^2}{a^6} \cdot \frac{x^4}{x^1} = a^{2-6} \cdot x^{4-1} = a^{-4} \cdot x^3 = \frac{x^3}{a^4} $.
Ответ: $ \frac{x^3}{a^4} $

б) Упростим выражение $ (\frac{p}{x^3})^3 : (\frac{p^2}{x^3})^2 $. Сначала возведем в степень каждую из дробей.
$ (\frac{p}{x^3})^3 = \frac{p^3}{(x^3)^3} = \frac{p^3}{x^9} $
$ (\frac{p^2}{x^3})^2 = \frac{(p^2)^2}{(x^3)^2} = \frac{p^4}{x^6} $
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$ \frac{p^3}{x^9} : \frac{p^4}{x^6} = \frac{p^3}{x^9} \cdot \frac{x^6}{p^4} = \frac{p^3 x^6}{x^9 p^4} $.
Сократим полученную дробь:
$ \frac{p^3}{p^4} \cdot \frac{x^6}{x^9} = p^{3-4} \cdot x^{6-9} = p^{-1} \cdot x^{-3} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{1}{px^3} $.
Ответ: $ \frac{1}{px^3} $

в) Упростим выражение $ (\frac{a^3b}{c^4})^5 \cdot (\frac{c^7}{a^5b^2})^3 $. Возведем в степень каждую из дробей.
$ (\frac{a^3b}{c^4})^5 = \frac{(a^3)^5 b^5}{(c^4)^5} = \frac{a^{15}b^5}{c^{20}} $
$ (\frac{c^7}{a^5b^2})^3 = \frac{(c^7)^3}{(a^5)^3 (b^2)^3} = \frac{c^{21}}{a^{15}b^6} $
Теперь перемножим полученные дроби:
$ \frac{a^{15}b^5}{c^{20}} \cdot \frac{c^{21}}{a^{15}b^6} = \frac{a^{15}b^5 c^{21}}{c^{20} a^{15} b^6} $.
Сократим дробь, группируя переменные с одинаковыми основаниями:
$ \frac{a^{15}}{a^{15}} \cdot \frac{b^5}{b^6} \cdot \frac{c^{21}}{c^{20}} = a^{15-15} \cdot b^{5-6} \cdot c^{21-20} = a^0 \cdot b^{-1} \cdot c^1 = 1 \cdot \frac{1}{b} \cdot c = \frac{c}{b} $.
Ответ: $ \frac{c}{b} $

г) Упростим выражение $ (\frac{x^6y^8}{z^5})^5 : \frac{x^{10}y^{13}}{z^8} $. Сначала возведем в степень первую дробь.
$ (\frac{x^6y^8}{z^5})^5 = \frac{(x^6)^5 (y^8)^5}{(z^5)^5} = \frac{x^{30}y^{40}}{z^{25}} $.
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{x^{30}y^{40}}{z^{25}} : \frac{x^{10}y^{13}}{z^8} = \frac{x^{30}y^{40}}{z^{25}} \cdot \frac{z^8}{x^{10}y^{13}} = \frac{x^{30}y^{40}z^8}{z^{25}x^{10}y^{13}} $.
Сократим полученную дробь:
$ \frac{x^{30}}{x^{10}} \cdot \frac{y^{40}}{y^{13}} \cdot \frac{z^8}{z^{25}} = x^{30-10} \cdot y^{40-13} \cdot z^{8-25} = x^{20} \cdot y^{27} \cdot z^{-17} = \frac{x^{20}y^{27}}{z^{17}} $.
Ответ: $ \frac{x^{20}y^{27}}{z^{17}} $

5.29 а) $ (-\frac{18a^3}{11b^3}) \cdot (-\frac{22b^4}{9a^2}); $

б) $ \frac{17x^2y}{5a} : (-\frac{34xy^2}{25a^2}); $

в) $ -\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy}; $

г) $ (-\frac{27c^3}{4b^2}) : (-\frac{45c^5}{32b}). $

а) Чтобы перемножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Произведение двух отрицательных выражений является положительным.
$(-\frac{18a^3}{11b^3}) \cdot (-\frac{22b^4}{9a^2}) = \frac{18a^3}{11b^3} \cdot \frac{22b^4}{9a^2} = \frac{18a^3 \cdot 22b^4}{11b^3 \cdot 9a^2}$
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и выполним сокращение:
$\frac{18 \cdot 22}{11 \cdot 9} \cdot \frac{a^3}{a^2} \cdot \frac{b^4}{b^3} = \frac{^2\cancel{18} \cdot ^2\cancel{22}}{^1\cancel{11} \cdot ^1\cancel{9}} \cdot a^{3-2} \cdot b^{4-3} = (2 \cdot 2) \cdot a^1 \cdot b^1 = 4ab$
Ответ: $4ab$

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую). При делении положительного выражения на отрицательное результат будет отрицательным.
$\frac{17x^2y}{5a} : (-\frac{34xy^2}{25a^2}) = -(\frac{17x^2y}{5a} \cdot \frac{25a^2}{34xy^2}) = -\frac{17x^2y \cdot 25a^2}{5a \cdot 34xy^2}$
Сгруппируем коэффициенты и переменные и сократим дробь:
$-\frac{17 \cdot 25}{5 \cdot 34} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^2} = -\frac{^1\cancel{17} \cdot ^5\cancel{25}}{^1\cancel{5} \cdot ^2\cancel{34}} \cdot a^{2-1} \cdot x^{2-1} \cdot y^{1-2} = -\frac{5}{2} \cdot a \cdot x \cdot y^{-1} = -\frac{5ax}{2y}$
Ответ: $-\frac{5ax}{2y}$

в) Перемножим числители и знаменатели дробей. Произведение отрицательного и положительного выражения является отрицательным.
$-\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy} = -\frac{35ax^2 \cdot 8ab}{12b^2y \cdot 21xy}$
Сгруппируем и сократим числовые множители и переменные. $35 = 5 \cdot 7$, $8 = 2 \cdot 4$, $12 = 3 \cdot 4$, $21 = 3 \cdot 7$.
$-\frac{35 \cdot 8}{12 \cdot 21} \cdot \frac{a \cdot a}{1} \cdot \frac{b}{b^2} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{1}{y \cdot y} = -\frac{(5 \cdot \cancel{7}) \cdot (2 \cdot \cancel{4})}{(3 \cdot \cancel{4}) \cdot (3 \cdot \cancel{7})} \cdot a^2 \cdot b^{1-2} \cdot x^{2-1} \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{10}{9} \cdot a^2 \cdot b^{-1} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{10a^2x}{9by^2}$
Ответ: $-\frac{10a^2x}{9by^2}$

г) Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь. При делении отрицательного выражения на отрицательное результат будет положительным.
$(-\frac{27c^3}{4b^2}) : (-\frac{45c^5}{32b}) = \frac{27c^3}{4b^2} \cdot \frac{32b}{45c^5} = \frac{27c^3 \cdot 32b}{4b^2 \cdot 45c^5}$
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные. $27 = 3 \cdot 9$, $32 = 4 \cdot 8$, $45 = 5 \cdot 9$.
$\frac{27 \cdot 32}{4 \cdot 45} \cdot \frac{b}{b^2} \cdot \frac{c^3}{c^5} = \frac{(3 \cdot \cancel{9}) \cdot (\cancel{4} \cdot 8)}{\cancel{4} \cdot (5 \cdot \cancel{9})} \cdot b^{1-2} \cdot c^{3-5} = \frac{24}{5} \cdot b^{-1} \cdot c^{-2} = \frac{24}{5bc^2}$
Ответ: $\frac{24}{5bc^2}$

5.30 а) $ (-\frac{2pq^5}{3ma^2})^2 \cdot \frac{9m^2a^2}{4p^3q^7};$

б) $ -\frac{50a^4b^5}{63m^9n^8} : (\frac{5a^2b^3}{3m^2n^5})^3;$

в) $ (-\frac{2x^3y^4}{5a^2b})^3 \cdot (-\frac{25a^4b^3}{24x^8y^{13}});$

г) $ (-\frac{10p^2q^2}{3a^3})^2 : (-\frac{25p^3q^3}{27a^6}).$

а) $\left(-\frac{2pq^5}{3ma^2}\right)^2 \cdot \frac{9m^2a^2}{4p^3q^7}$

1. Сначала возведем первую дробь в квадрат. Так как степень четная (2), знак минус при возведении исчезает:

$\left(-\frac{2pq^5}{3ma^2}\right)^2 = \frac{(2pq^5)^2}{(3ma^2)^2} = \frac{2^2 \cdot p^2 \cdot (q^5)^2}{3^2 \cdot m^2 \cdot (a^2)^2} = \frac{4p^2q^{10}}{9m^2a^4}$

2. Теперь умножим полученный результат на вторую дробь и запишем все под одной чертой:

$\frac{4p^2q^{10}}{9m^2a^4} \cdot \frac{9m^2a^2}{4p^3q^7} = \frac{4 \cdot 9 \cdot p^2q^{10}m^2a^2}{9 \cdot 4 \cdot m^2a^4p^3q^7}$

3. Сократим общие множители (числовые коэффициенты 4 и 9, переменную $m^2$) и применим свойство степеней $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$ для остальных переменных:

$\frac{p^2}{p^3} = p^{2-3} = p^{-1} = \frac{1}{p}$

$\frac{q^{10}}{q^7} = q^{10-7} = q^3$

$\frac{a^2}{a^4} = a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

Собрав все вместе, получаем: $\frac{q^3}{pa^2}$.

Ответ: $\frac{q^3}{pa^2}$

б) $-\frac{50a^4b^5}{63m^9n^8} : \left(\frac{5a^2b^3}{3m^2n^5}\right)^3$

1. Возведем дробь в скобках в третью степень:

$\left(\frac{5a^2b^3}{3m^2n^5}\right)^3 = \frac{(5a^2b^3)^3}{(3m^2n^5)^3} = \frac{5^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3}{3^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^5)^3} = \frac{125a^6b^9}{27m^6n^{15}}$

2. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$-\frac{50a^4b^5}{63m^9n^8} \cdot \frac{27m^6n^{15}}{125a^6b^9} = -\frac{50 \cdot 27 \cdot a^4b^5m^6n^{15}}{63 \cdot 125 \cdot m^9n^8a^6b^9}$

3. Сократим числовые коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{50 \cdot 27}{63 \cdot 125} = \frac{(2 \cdot 25) \cdot 27}{(7 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 25)} = \frac{2 \cdot (3 \cdot 9)}{7 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{6}{35}$

Переменные: $\frac{a^4}{a^6} = \frac{1}{a^2}$, $\frac{b^5}{b^9} = \frac{1}{b^4}$, $\frac{m^6}{m^9} = \frac{1}{m^3}$, $\frac{n^{15}}{n^8} = n^7$

4. Объединим результаты, не забывая про знак "минус" перед выражением:

$-\frac{6n^7}{35a^2b^4m^3}$

Ответ: $-\frac{6n^7}{35a^2b^4m^3}$

в) $\left(-\frac{2x^3y^4}{5a^2b}\right)^3 \cdot \left(-\frac{25a^4b^3}{24x^8y^{13}}\right)$

1. Возведем первую дробь в куб. Так как степень нечетная (3), знак "минус" сохраняется:

$\left(-\frac{2x^3y^4}{5a^2b}\right)^3 = -\frac{2^3(x^3)^3(y^4)^3}{5^3(a^2)^3b^3} = -\frac{8x^9y^{12}}{125a^6b^3}$

2. Умножим результат на вторую дробь. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число ($(-) \cdot (-) = (+)$):

$\left(-\frac{8x^9y^{12}}{125a^6b^3}\right) \cdot \left(-\frac{25a^4b^3}{24x^8y^{13}}\right) = \frac{8 \cdot 25 \cdot x^9y^{12}a^4b^3}{125 \cdot 24 \cdot a^6b^3x^8y^{13}}$

3. Сократим коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{8 \cdot 25}{125 \cdot 24} = \frac{8}{24} \cdot \frac{25}{125} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

Переменные: $\frac{x^9}{x^8} = x$, $\frac{y^{12}}{y^{13}} = \frac{1}{y}$, $\frac{a^4}{a^6} = \frac{1}{a^2}$, $\frac{b^3}{b^3} = 1$

4. Объединим результаты:

$\frac{x}{15a^2y}$

Ответ: $\frac{x}{15a^2y}$

г) $\left(-\frac{10p^2q^2}{3a^3}\right)^2 : \left(-\frac{25p^3q^3}{27a^6}\right)$

1. Возведем первую дробь в квадрат. Степень четная, поэтому знак "минус" исчезает:

$\left(-\frac{10p^2q^2}{3a^3}\right)^2 = \frac{10^2(p^2)^2(q^2)^2}{3^2(a^3)^2} = \frac{100p^4q^4}{9a^6}$

2. Заменим деление умножением на обратную дробь. Делим положительное число на отрицательное, поэтому результат будет отрицательным:

$\frac{100p^4q^4}{9a^6} \cdot \left(-\frac{27a^6}{25p^3q^3}\right) = -\frac{100 \cdot 27 \cdot p^4q^4a^6}{9 \cdot 25 \cdot a^6p^3q^3}$

3. Сократим коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{100 \cdot 27}{9 \cdot 25} = \frac{100}{25} \cdot \frac{27}{9} = 4 \cdot 3 = 12$

Переменные: $\frac{p^4}{p^3} = p$, $\frac{q^4}{q^3} = q$, $\frac{a^6}{a^6} = 1$

4. Объединим результаты, не забывая про знак "минус":

$-12pq$

Ответ: $-12pq$

5.31 а) $\frac{10y^5}{9a} : \frac{5y^3}{3b} \cdot \frac{3a^2}{by}$;

б) $\frac{25a^3b^3}{14x^2y^4} \cdot \frac{21xy^3}{10a^2b^2} \cdot \frac{8xy^2}{15ab}$;

в) $\frac{28a^2}{27x^3} : \frac{21x^4}{45y} \cdot \frac{x^8}{20ya}$;

г) $\frac{45m^4}{49n^2t} \cdot \frac{56n^3}{27m^2} : \frac{20m^2n}{63t^2}$.

а)

Чтобы решить данное выражение, сначала выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь, а затем выполним умножение дробей.

$\frac{10y^5}{9a} : \frac{5y^3}{3b} \cdot \frac{3a^2}{by} = \frac{10y^5}{9a} \cdot \frac{3b}{5y^3} \cdot \frac{3a^2}{by}$

Теперь объединим все числители и знаменатели в одну дробь и сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$\frac{10y^5 \cdot 3b \cdot 3a^2}{9a \cdot 5y^3 \cdot by} = \frac{(10 \cdot 3 \cdot 3) \cdot a^2 \cdot b \cdot y^5}{(9 \cdot 5) \cdot a \cdot b \cdot (y^3 \cdot y)}$

Выполним сокращение дроби. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{10 \cdot 3 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{90}{45} = 2$

Теперь сократим переменные, используя свойства степеней ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

$\frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1$

$\frac{y^5}{y^3 \cdot y} = \frac{y^5}{y^{3+1}} = \frac{y^5}{y^4} = y^{5-4} = y$

Соберем все вместе:

$2 \cdot a \cdot 1 \cdot y = 2ay$

Ответ: $2ay$

б)

В этом выражении все операции — умножение. Объединим все дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели.

$\frac{25a^3b^3}{14x^2y^4} \cdot \frac{21xy^3}{10a^2b^2} \cdot \frac{8xy^2}{15ab} = \frac{25a^3b^3 \cdot 21xy^3 \cdot 8xy^2}{14x^2y^4 \cdot 10a^2b^2 \cdot 15ab}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе:

$\frac{(25 \cdot 21 \cdot 8) \cdot (a^3) \cdot (b^3) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2)}{(14 \cdot 10 \cdot 15) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) \cdot (x^2) \cdot (y^4)} = \frac{(25 \cdot 21 \cdot 8) \cdot a^3 b^3 x^2 y^5}{(14 \cdot 10 \cdot 15) \cdot a^3 b^3 x^2 y^4}$

Сократим переменные:

$\frac{a^3b^3x^2y^5}{a^3b^3x^2y^4} = y^{5-4} = y$

Теперь сократим числовые коэффициенты:

$\frac{25 \cdot 21 \cdot 8}{14 \cdot 10 \cdot 15} = \frac{4200}{2100} = 2$

Объединив результаты, получаем:

$2 \cdot y = 2y$

Ответ: $2y$

в)

Выражение содержит деление и умножение. Выполняем операции по порядку, слева направо. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{28a^2}{27x^3} : \frac{21x^4}{45y} \cdot \frac{x^8}{20ya} = \frac{28a^2}{27x^3} \cdot \frac{45y}{21x^4} \cdot \frac{x^8}{20ya}$

Объединим все в одну дробь:

$\frac{28a^2 \cdot 45y \cdot x^8}{27x^3 \cdot 21x^4 \cdot 20ya} = \frac{(28 \cdot 45) \cdot a^2 x^8 y}{(27 \cdot 21 \cdot 20) \cdot a x^{(3+4)} y} = \frac{1260 \cdot a^2 x^8 y}{11340 \cdot a x^7 y}$

Сократим переменные:

$\frac{a^2}{a} = a$

$\frac{x^8}{x^7} = x$

$\frac{y}{y} = 1$

Остается $ax$. Теперь сократим коэффициенты:

$\frac{1260}{11340} = \frac{126}{1134} = \frac{1}{9}$

Итоговый результат:

$\frac{1}{9} \cdot ax = \frac{ax}{9}$

Ответ: $\frac{ax}{9}$

г)

Выполним операции в порядке их следования. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{45m^4}{49n^2t} \cdot \frac{56n^3}{27m^2} : \frac{20m^2n}{63t^2} = \frac{45m^4}{49n^2t} \cdot \frac{56n^3}{27m^2} \cdot \frac{63t^2}{20m^2n}$

Объединим все в одну дробь:

$\frac{(45 \cdot 56 \cdot 63) \cdot m^4 \cdot n^3 \cdot t^2}{(49 \cdot 27 \cdot 20) \cdot (m^2 \cdot m^2) \cdot (n^2 \cdot n) \cdot t} = \frac{(45 \cdot 56 \cdot 63) \cdot m^4 n^3 t^2}{(49 \cdot 27 \cdot 20) \cdot m^4 n^3 t}$

Сократим переменные: $\frac{m^4 n^3 t^2}{m^4 n^3 t} = t^{2-1} = t$.

Сократим коэффициенты, разложив их на множители:

$\frac{45 \cdot 56 \cdot 63}{49 \cdot 27 \cdot 20} = \frac{(9 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 8) \cdot (9 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 9) \cdot (4 \cdot 5)} = \frac{9 \cdot 8}{3 \cdot 4} = (3 \cdot 2) = 6$.

Итоговый результат:

$6 \cdot t = 6t$

Ответ: $6t$