Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Выполните умножение и деление алгебраических дробей:

5.1 a) $ \frac{77}{34} \cdot \frac{17}{33}; $

б) $ \frac{12}{25} : \frac{18}{35}; $

в) $ \frac{20}{9} \cdot \frac{9}{40}; $

г) $ \frac{13}{64} : \frac{65}{128}. $

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед выполнением умножения, сократим дробь, разложив числа на множители: $77 = 7 \cdot 11$, $34 = 2 \cdot 17$, $33 = 3 \cdot 11$.
$ \frac{77}{34} \cdot \frac{17}{33} = \frac{77 \cdot 17}{34 \cdot 33} = \frac{(7 \cdot 11) \cdot 17}{(2 \cdot 17) \cdot (3 \cdot 11)} $
Сократим общие множители $11$ и $17$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{7 \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{17}}{2 \cdot \cancel{17} \cdot 3 \cdot \cancel{11}} = \frac{7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6} $
Ответ: $ \frac{7}{6} $

б) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
$ \frac{12}{25} : \frac{18}{35} = \frac{12}{25} \cdot \frac{35}{18} = \frac{12 \cdot 35}{25 \cdot 18} $
Разложим числа на множители для сокращения: $12 = 2 \cdot 6$, $35 = 5 \cdot 7$, $25 = 5 \cdot 5$, $18 = 3 \cdot 6$.
$ \frac{(2 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 7)}{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 6)} $
Сократим общие множители $6$ и $5$:
$ \frac{2 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5} \cdot 7}{5 \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{6}} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15} $
Ответ: $ \frac{14}{15} $

в) При умножении дробей перемножаем их числители и знаменатели, а затем сокращаем.
$ \frac{20}{9} \cdot \frac{9}{40} = \frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 40} $
Сокращаем общий множитель $9$:
$ \frac{20 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 40} = \frac{20}{40} $
Теперь сокращаем дробь на $20$:
$ \frac{20}{40} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

г) Заменяем деление на умножение на обратную дробь.
$ \frac{13}{64} : \frac{65}{128} = \frac{13}{64} \cdot \frac{128}{65} = \frac{13 \cdot 128}{64 \cdot 65} $
Для сокращения заметим, что $128 = 2 \cdot 64$ и $65 = 5 \cdot 13$.
$ \frac{13 \cdot (2 \cdot 64)}{64 \cdot (5 \cdot 13)} $
Сократим общие множители $13$ и $64$:
$ \frac{\cancel{13} \cdot 2 \cdot \cancel{64}}{\cancel{64} \cdot 5 \cdot \cancel{13}} = \frac{2}{5} $
Ответ: $ \frac{2}{5} $

5.2 a) $ \frac{6x}{19} \cdot \frac{y}{5} $;

б) $ \frac{5}{4a} : \frac{7}{9b} $;

в) $ \frac{11c}{12} \cdot \frac{5d}{13} $;

г) $ \frac{7m}{6} : \frac{3}{5t} $.

а) Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Результат произведения числителей записывается в числитель новой дроби, а результат произведения знаменателей — в её знаменатель.

$\frac{6x}{19} \cdot \frac{y}{5} = \frac{6x \cdot y}{19 \cdot 5}$

Выполним умножение в числителе и знаменателе:

Числитель: $6x \cdot y = 6xy$

Знаменатель: $19 \cdot 5 = 95$

Получаем итоговую дробь: $\frac{6xy}{95}$. У числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1, поэтому дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{6xy}{95}$

б) По правилу умножения дробей, умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

$\frac{5}{4a} \cdot \frac{7}{9b} = \frac{5 \cdot 7}{4a \cdot 9b}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

В числителе: $5 \cdot 7 = 35$.

В знаменателе: $4a \cdot 9b = (4 \cdot 9) \cdot (a \cdot b) = 36ab$.

Результат: $\frac{35}{36ab}$. Числа $35$ (делители 5, 7) и $36$ (делители 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18) являются взаимно простыми, поэтому дробь несократимая.

Ответ: $\frac{35}{36ab}$

в) Умножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй.

$\frac{11c}{12} \cdot \frac{5d}{13} = \frac{11c \cdot 5d}{12 \cdot 13}$

Вычислим произведения в числителе и знаменателе:

Числитель: $11c \cdot 5d = (11 \cdot 5) \cdot (c \cdot d) = 55cd$.

Знаменатель: $12 \cdot 13 = 156$.

Полученная дробь: $\frac{55cd}{156}$. Поскольку у чисел $55$ (делители 5, 11) и $156$ (делители 2, 3, 4, 6, 12, 13...) нет общих делителей, дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{55cd}{156}$

г) Запишем произведение дробей в виде одной дроби, перемножив их числители и знаменатели.

$\frac{7m}{6} \cdot \frac{3}{5t} = \frac{7m \cdot 3}{6 \cdot 5t}$

Прежде чем выполнять умножение, можно выполнить сокращение. Заметим, что в числителе есть множитель $3$, а в знаменателе есть множитель $6$. Так как $6 = 2 \cdot 3$, мы можем сократить дробь на $3$.

$\frac{7m \cdot 3}{6 \cdot 5t} = \frac{7m \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{6}^2 \cdot 5t} = \frac{7m \cdot 1}{2 \cdot 5t}$

Теперь выполним оставшееся умножение в знаменателе:

$\frac{7m}{2 \cdot 5t} = \frac{7m}{10t}$

Ответ: $\frac{7m}{10t}$

5.3 а) $\frac{5x}{6} : x$;

б) $\frac{25}{12y} \cdot y$;

в) $\frac{19t}{20} : t$;

г) $z : \frac{5z}{27}$.

а) Чтобы разделить алгебраическую дробь на переменную, нужно умножить эту дробь на величину, обратную данной переменной. Деление на $x$ эквивалентно умножению на $\frac{1}{x}$.
$\frac{5x}{6} : x = \frac{5x}{6} \cdot \frac{1}{x}$
Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{5x \cdot 1}{6 \cdot x} = \frac{5x}{6x}$
Сократим общий множитель $x$ в числителе и знаменателе (при условии $x \neq 0$):
$\frac{5\cancel{x}}{6\cancel{x}} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Чтобы умножить дробь на переменную, нужно умножить числитель дроби на эту переменную, оставив знаменатель без изменений.
$\frac{25}{12y} \cdot y = \frac{25 \cdot y}{12y}$
Сократим общий множитель $y$ в числителе и знаменателе (при условии $y \neq 0$):
$\frac{25\cancel{y}}{12\cancel{y}} = \frac{25}{12}$
Данную неправильную дробь можно оставить в таком виде или преобразовать в смешанное число: $2\frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{25}{12}$

в) Данное задание аналогично пункту а). Деление на переменную $t$ заменяется умножением на обратную ей дробь $\frac{1}{t}$.
$\frac{19t}{20} : t = \frac{19t}{20} \cdot \frac{1}{t}$
Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{19t \cdot 1}{20 \cdot t} = \frac{19t}{20t}$
Сократим общий множитель $t$ (при условии $t \neq 0$):
$\frac{19\cancel{t}}{20\cancel{t}} = \frac{19}{20}$
Ответ: $\frac{19}{20}$

г) Чтобы разделить переменную на алгебраическую дробь, нужно умножить эту переменную на дробь, обратную делителю.
Дробь, обратная $\frac{5z}{27}$, это $\frac{27}{5z}$.
$z : \frac{5z}{27} = z \cdot \frac{27}{5z}$
Представим $z$ как $\frac{z}{1}$ и перемножим дроби:
$\frac{z}{1} \cdot \frac{27}{5z} = \frac{z \cdot 27}{1 \cdot 5z} = \frac{27z}{5z}$
Сократим общий множитель $z$ (при условии $z \neq 0$):
$\frac{27\cancel{z}}{5\cancel{z}} = \frac{27}{5}$
Данную неправильную дробь можно оставить в таком виде или преобразовать в смешанное число: $5\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{27}{5}$

Упростите выражение:

5.4 а) $\frac{6a}{b} : \frac{3a}{b}$;

б) $-\frac{4p}{q} \cdot \frac{q}{2p}$;

в) $\left(-\frac{9}{2x}\right) \cdot \left(-\frac{5x}{3}\right)$;

г) $\frac{5c}{2d} : \left(-\frac{15c}{d}\right)$.

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{6a}{b} : \frac{3a}{b} = \frac{6a}{b} \cdot \frac{b}{3a}$

Теперь перемножим числители и знаменатели и сгруппируем множители для удобства сокращения:

$\frac{6a \cdot b}{b \cdot 3a} = \frac{6 \cdot a \cdot b}{3 \cdot a \cdot b}$

Сокращаем общие множители $a$ и $b$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne 0$ и $b \ne 0$). Также сокращаем числовые коэффициенты 6 и 3 на 3:

$\frac{6}{3} = 2$

Ответ: $2$

б) Чтобы перемножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем сократить общие множители.

$-\frac{4p}{q} \cdot \frac{q}{2p} = -\frac{4p \cdot q}{q \cdot 2p}$

Сокращаем общие множители $p$ и $q$ в числителе и знаменателе (при условии, что $p \ne 0$ и $q \ne 0$). Также сокращаем числовые коэффициенты 4 и 2 на 2:

$-\frac{4 \cdot p \cdot q}{2 \cdot p \cdot q} = -\frac{4}{2} = -2$

Ответ: $-2$

в) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Поэтому мы можем убрать знаки минуса и перемножить дроби.

$(-\frac{9}{2x}) \cdot (-\frac{5x}{3}) = \frac{9}{2x} \cdot \frac{5x}{3}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$\frac{9 \cdot 5x}{2x \cdot 3} = \frac{9 \cdot 5 \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot x}$

Сокращаем общий множитель $x$ (при условии, что $x \ne 0$). Сокращаем числовые коэффициенты 9 и 3 на 3:

$\frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}$

Ответ: $\frac{15}{2}$

г) Чтобы разделить дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

$\frac{5c}{2d} : (-\frac{15c}{d}) = -(\frac{5c}{2d} \cdot \frac{d}{15c})$

Перемножаем числители и знаменатели дробей в скобках:

$-\frac{5c \cdot d}{2d \cdot 15c} = -\frac{5 \cdot c \cdot d}{2 \cdot 15 \cdot d \cdot c}$

Сокращаем общие множители $c$ и $d$ (при условии, что $c \ne 0$ и $d \ne 0$). Сокращаем числовые коэффициенты 5 и 15 на 5:

$-\frac{5}{2 \cdot 15} = -\frac{1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

5.5 а) $\frac{a^2}{6} : \frac{a}{3}$;

б) $\frac{24}{b^2} \cdot \frac{b^3}{36}$;

в) $\frac{n^{24}}{28} : \frac{n^{39}}{56}$;

г) $\frac{m^5}{10} \cdot \frac{100}{m^{12}}$.

a) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{a^2}{6} : \frac{a}{3} = \frac{a^2}{6} \cdot \frac{3}{a}$
Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{a^2 \cdot 3}{6 \cdot a} = \frac{3a^2}{6a}$
Сократим полученную дробь. Для этого сократим числовые коэффициенты и переменные. Числа $\frac{3}{6}$ сокращаются на 3, в результате получаем $\frac{1}{2}$. Переменные $\frac{a^2}{a}$ сокращаются на $a$, в результате, по свойству степеней, получаем $a^{2-1} = a$.
Объединив результаты, получаем итоговое выражение:
$\frac{1 \cdot a}{2} = \frac{a}{2}$
Ответ: $\frac{a}{2}$

б) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно:
$\frac{24}{b^2} \cdot \frac{b^3}{36} = \frac{24 \cdot b^3}{b^2 \cdot 36} = \frac{24b^3}{36b^2}$
Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты $\frac{24}{36}$. Наибольший общий делитель для 24 и 36 равен 12. Разделив числитель и знаменатель на 12, получим $\frac{24:12}{36:12} = \frac{2}{3}$.
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b$.
Объединив результаты, получаем:
$\frac{2 \cdot b}{3} = \frac{2b}{3}$
Ответ: $\frac{2b}{3}$

в) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{n^{24}}{28} : \frac{n^{39}}{56} = \frac{n^{24}}{28} \cdot \frac{56}{n^{39}}$
Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{n^{24} \cdot 56}{28 \cdot n^{39}} = \frac{56n^{24}}{28n^{39}}$
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{56}{28} = 2$.
Сократим переменные по свойству степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{n^{24}}{n^{39}} = n^{24-39} = n^{-15}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$, получаем $n^{-15} = \frac{1}{n^{15}}$.
В результате получаем: $2 \cdot \frac{1}{n^{15}} = \frac{2}{n^{15}}$.
Ответ: $\frac{2}{n^{15}}$

г) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
$\frac{m^5}{10} \cdot \frac{100}{m^{12}} = \frac{m^5 \cdot 100}{10 \cdot m^{12}} = \frac{100m^5}{10m^{12}}$
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{100}{10} = 10$.
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{m^5}{m^{12}} = m^{5-12} = m^{-7}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$, получаем $m^{-7} = \frac{1}{m^7}$.
Объединив результаты, получаем: $10 \cdot \frac{1}{m^7} = \frac{10}{m^7}$.
Ответ: $\frac{10}{m^7}$

5.6 a) $\frac{12x^5}{55} : \frac{6x^2}{5};$

б) $\frac{4}{3y^3} \cdot \frac{y^8}{18};$

в) $\frac{16}{5d^3} : \frac{12}{d^4};$

г) $\frac{36c^{12}}{49} \cdot \frac{7}{6c^{15}}.$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{12x^5}{55} : \frac{6x^2}{5} = \frac{12x^5}{55} \cdot \frac{5}{6x^2}$
Теперь выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели, а затем сократим полученное выражение. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные для удобства:
$= \frac{12 \cdot 5}{55 \cdot 6} \cdot \frac{x^5}{x^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $12$ и $6$ сокращаются на $6$; $55$ и $5$ сокращаются на $5$.
$\frac{\cancel{12}^2}{\cancel{55}_{11}} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}_1} = \frac{2}{11}$
Сокращаем степени переменной $x$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$
Объединяем полученные результаты:
$\frac{2}{11} \cdot x^3 = \frac{2x^3}{11}$
Ответ: $\frac{2x^3}{11}$

б) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители между собой, а знаменатели - между собой.
$\frac{4}{3y^3} \cdot \frac{y^8}{18} = \frac{4 \cdot y^8}{3y^3 \cdot 18}$
Теперь сократим полученную дробь. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:
$= \frac{4}{3 \cdot 18} \cdot \frac{y^8}{y^3}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $4$ и $18$ сокращаются на $2$.
$\frac{\cancel{4}^2}{3 \cdot \cancel{18}_9} = \frac{2}{3 \cdot 9} = \frac{2}{27}$
Сокращаем степени переменной $y$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{y^8}{y^3} = y^{8-3} = y^5$
Объединяем результаты:
$\frac{2}{27} \cdot y^5 = \frac{2y^5}{27}$
Ответ: $\frac{2y^5}{27}$

в) Для деления одной дроби на другую, умножаем первую дробь на обратную ко второй.
$\frac{16}{5d^3} : \frac{12}{d^4} = \frac{16}{5d^3} \cdot \frac{d^4}{12}$
Перемножаем числители и знаменатели и группируем подобные члены:
$= \frac{16 \cdot d^4}{5d^3 \cdot 12} = \frac{16}{5 \cdot 12} \cdot \frac{d^4}{d^3}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $16$ и $12$ сокращаются на их наибольший общий делитель, равный $4$.
$\frac{\cancel{16}^4}{5 \cdot \cancel{12}_3} = \frac{4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15}$
Сокращаем степени переменной $d$ по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{d^4}{d^3} = d^{4-3} = d^1 = d$
Собираем все вместе:
$\frac{4}{15} \cdot d = \frac{4d}{15}$
Ответ: $\frac{4d}{15}$

г) При умножении дробей перемножаем их числители и знаменатели.
$\frac{36c^{12}}{49} \cdot \frac{7}{6c^{15}} = \frac{36c^{12} \cdot 7}{49 \cdot 6c^{15}}$
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные:
$= \frac{36 \cdot 7}{49 \cdot 6} \cdot \frac{c^{12}}{c^{15}}$
Сокращаем коэффициенты: $36$ и $6$ сокращаются на $6$; $49$ и $7$ сокращаются на $7$.
$\frac{\cancel{36}^6}{\cancel{49}_7} \cdot \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{6}_1} = \frac{6}{7}$
Сокращаем степени переменной $c$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$:
$\frac{c^{12}}{c^{15}} = \frac{1}{c^{15-12}} = \frac{1}{c^3}$
Объединяем полученные части:
$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{c^3} = \frac{6}{7c^3}$
Ответ: $\frac{6}{7c^3}$

5.7 а) $\frac{b^2}{xy} \cdot \frac{xy}{a^2b}$;

б) $\frac{m^3}{cd} : \frac{m^2n}{cd}$;

в) $\frac{a^3b}{c} \cdot \frac{c^2}{a^4b^2}$;

г) $\frac{p^2q^2}{z} : \frac{p^3q^3}{z^2}$.

а)

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{b^2}{xy} \cdot \frac{xy}{a^2b} = \frac{b^2 \cdot xy}{xy \cdot a^2b} $.

Теперь сократим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим одинаковые: $ \frac{b^2 \cdot xy}{xy \cdot a^2b} = \frac{b \cdot b \cdot x \cdot y}{x \cdot y \cdot a^2 \cdot b} $.

Сокращаем общие множители $x$, $y$ и $b$: $ \frac{\cancel{b} \cdot b \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y}}{\cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot a^2 \cdot \cancel{b}} = \frac{b}{a^2} $.

Ответ: $ \frac{b}{a^2} $.

б)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую): $ \frac{m^3}{cd} : \frac{m^2n}{cd} = \frac{m^3}{cd} \cdot \frac{cd}{m^2n} $.

Перемножаем числители и знаменатели: $ \frac{m^3 \cdot cd}{cd \cdot m^2n} $.

Сокращаем общие множители $c$ и $d$: $ \frac{m^3 \cdot \cancel{cd}}{\cancel{cd} \cdot m^2n} = \frac{m^3}{m^2n} $.

Используя свойство степеней $ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $, сокращаем $m$: $ \frac{m^{3-2}}{n} = \frac{m^1}{n} = \frac{m}{n} $.

Ответ: $ \frac{m}{n} $.

в)

Умножаем числители и знаменатели дробей: $ \frac{a^3b}{c} \cdot \frac{c^2}{a^4b^2} = \frac{a^3b \cdot c^2}{c \cdot a^4b^2} = \frac{a^3bc^2}{a^4b^2c} $.

Сократим дробь, используя свойства степеней ($ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $):

Для переменной $a$: $ \frac{a^3}{a^4} = a^{3-4} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.

Для переменной $b$: $ \frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b} $.

Для переменной $c$: $ \frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c^1 = c $.

Собираем все вместе: $ \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot c = \frac{c}{ab} $.

Ответ: $ \frac{c}{ab} $.

г)

Для деления дробей, умножаем первую дробь на перевернутую вторую: $ \frac{p^2q^2}{z} : \frac{p^3q^3}{z^2} = \frac{p^2q^2}{z} \cdot \frac{z^2}{p^3q^3} $.

Перемножаем числители и знаменатели: $ \frac{p^2q^2z^2}{zp^3q^3} $.

Сокращаем полученную дробь, используя свойства степеней:

Для переменной $p$: $ \frac{p^2}{p^3} = p^{2-3} = p^{-1} = \frac{1}{p} $.

Для переменной $q$: $ \frac{q^2}{q^3} = q^{2-3} = q^{-1} = \frac{1}{q} $.

Для переменной $z$: $ \frac{z^2}{z} = z^{2-1} = z^1 = z $.

Объединяем результаты: $ \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{q} \cdot z = \frac{z}{pq} $.

Ответ: $ \frac{z}{pq} $.

5.8 a) $ \frac{3m^2n}{c} : \frac{m^2n}{3c} $

б) $ \frac{x^3}{6y^{10}} \cdot \frac{3y^9}{x^{11}} $

в) $ \frac{a^9}{8b^8} : \frac{a^{11}}{10b^{10}} $

г) $ \frac{5c^2x}{a} \cdot \frac{15a}{c^3x} $

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{3m^2n}{c} : \frac{m^2n}{3c} = \frac{3m^2n}{c} \cdot \frac{3c}{m^2n}$

Далее, сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе. В данном случае мы можем сократить $m^2n$ и $c$.

$\frac{3\cancel{m^2n}}{\cancel{c}} \cdot \frac{3\cancel{c}}{\cancel{m^2n}} = 3 \cdot 3 = 9$

Ответ: $9$

б) Чтобы перемножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели.

$\frac{x^3}{6y^{10}} \cdot \frac{3y^9}{x^{11}} = \frac{x^3 \cdot 3y^9}{6y^{10} \cdot x^{11}}$

Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Сокращаем степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^3}{x^{11}} = x^{3-11} = x^{-8} = \frac{1}{x^8}$

$\frac{y^9}{y^{10}} = y^{9-10} = y^{-1} = \frac{1}{y}$

Собираем все части вместе:

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot y \cdot x^8} = \frac{1}{2x^8y}$

Ответ: $\frac{1}{2x^8y}$

в) Выполняем деление дробей, заменяя его умножением на обратную дробь.

$\frac{a^9}{8b^8} : \frac{a^{11}}{10b^{10}} = \frac{a^9}{8b^8} \cdot \frac{10b^{10}}{a^{11}} = \frac{10a^9b^{10}}{8a^{11}b^8}$

Сокращаем дробь. Числовые коэффициенты: $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. Степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{a^9}{a^{11}} = a^{9-11} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

$\frac{b^{10}}{b^8} = b^{10-8} = b^2$

Объединяем полученные результаты:

$\frac{5 \cdot b^2}{4 \cdot a^2} = \frac{5b^2}{4a^2}$

Ответ: $\frac{5b^2}{4a^2}$

г) Выполняем умножение дробей, перемножая числители и знаменатели.

$\frac{5c^2x}{a} \cdot \frac{15a}{c^3x} = \frac{5c^2x \cdot 15a}{a \cdot c^3x}$

Сокращаем одинаковые множители ($a$ и $x$) и степени с основанием $c$.

$\frac{5 \cdot 15 \cdot \cancel{a} \cdot c^2 \cdot \cancel{x}}{\cancel{a} \cdot c^3 \cdot \cancel{x}} = \frac{75c^2}{c^3}$

$\frac{c^2}{c^3} = c^{2-3} = c^{-1} = \frac{1}{c}$

В результате получаем:

$\frac{75}{c}$

Ответ: $\frac{75}{c}$