Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.26 а) $\frac{2}{a(a+b)} + \frac{2}{b(a+b)};$

б) $\frac{y+c}{c(c+a)} + \frac{y-a}{a(c+a)};$

в) $\frac{3}{x(x-y)} - \frac{3}{y(x-y)};$

г) $\frac{y-x}{x(x-a)} - \frac{y-a}{a(x-a)}.$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{2}{a(a + b)} + \frac{2}{b(a + b)}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $a(a+b)$ и $b(a+b)$ является $ab(a+b)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, а для второй — $a$. Выполним сложение:
$\frac{2}{a(a + b)} + \frac{2}{b(a + b)} = \frac{2 \cdot b}{ab(a + b)} + \frac{2 \cdot a}{ab(a + b)} = \frac{2b + 2a}{ab(a + b)}$.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $\frac{2(b + a)}{ab(a + b)}$.
Так как $b+a = a+b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a+b)$:
$\frac{2(a+b)}{ab(a+b)} = \frac{2}{ab}$.
Ответ: $\frac{2}{ab}$.

б) Чтобы сложить дроби $\frac{y + c}{c(c + a)} + \frac{y - a}{a(c + a)}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $c(c+a)$ и $a(c+a)$ является $ac(c+a)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $c$. Выполним сложение:
$\frac{a(y + c)}{ac(c + a)} + \frac{c(y - a)}{ac(c + a)} = \frac{a(y + c) + c(y - a)}{ac(c + a)}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{ay + ac + cy - ca}{ac(c + a)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе ($ac$ и $-ca$ взаимно уничтожаются): $\frac{ay + cy}{ac(c + a)}$.
Вынесем в числителе общий множитель $y$ за скобки: $\frac{y(a + c)}{ac(c + a)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a+c)$:
$\frac{y(a+c)}{ac(c+a)} = \frac{y}{ac}$.
Ответ: $\frac{y}{ac}$.

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3}{x(x - y)} - \frac{3}{y(x - y)}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $x(x-y)$ и $y(x-y)$ является $xy(x-y)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$. Выполним вычитание:
$\frac{3 \cdot y}{xy(x - y)} - \frac{3 \cdot x}{xy(x - y)} = \frac{3y - 3x}{xy(x - y)}$.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $\frac{3(y - x)}{xy(x - y)}$.
Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Подставим это в числитель: $\frac{-3(x - y)}{xy(x - y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:
$\frac{-3(x-y)}{xy(x-y)} = -\frac{3}{xy}$.
Ответ: $-\frac{3}{xy}$.

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{y - x}{x(x - a)} - \frac{y - a}{a(x - a)}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражений $x(x-a)$ и $a(x-a)$ является $ax(x-a)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $x$. Выполним вычитание:
$\frac{a(y - x)}{ax(x - a)} - \frac{x(y - a)}{ax(x - a)} = \frac{a(y - x) - x(y - a)}{ax(x - a)}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{ay - ax - xy + xa}{ax(x - a)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе ($-ax$ и $+xa$ взаимно уничтожаются): $\frac{ay - xy}{ax(x - a)}$.
Вынесем в числителе общий множитель $y$ за скобки: $\frac{y(a - x)}{ax(x - a)}$.
Заметим, что $a-x = -(x-a)$. Подставим это в числитель: $\frac{-y(x - a)}{ax(x - a)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x-a)$:
$\frac{-y(x-a)}{ax(x-a)} = -\frac{y}{ax}$.
Ответ: $-\frac{y}{ax}$.

4.27 a) $\frac{y}{x(x + y)} - \frac{x}{y(x + y)};$

б) $\frac{m + 2n}{n(m + n)} + \frac{n}{m(m + n)};$

в) $\frac{9t}{p(3t - p)} - \frac{p}{t(3t - p)};$

г) $\frac{a}{b(a - b)} - \frac{2a - b}{a(a - b)}.$

а) $ \frac{y}{x(x+y)} - \frac{x}{y(x+y)} $

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $ \frac{y}{x(x+y)} $ и $ \frac{x}{y(x+y)} $ равен $ xy(x+y) $.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $ y $, а для второй — $ x $.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$ \frac{y \cdot y}{xy(x+y)} - \frac{x \cdot x}{xy(x+y)} = \frac{y^2 - x^2}{xy(x+y)} $

Числитель $ y^2 - x^2 $ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $ y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) $.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$ \frac{(y-x)(y+x)}{xy(x+y)} $

Сократим общий множитель $ (x+y) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{y-x}{xy} $

Ответ: $ \frac{y-x}{xy} $

б) $ \frac{m+2n}{n(m+n)} + \frac{n}{m(m+n)} $

Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для $ n(m+n) $ и $ m(m+n) $ равен $ mn(m+n) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ m $, для второй — $ n $.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$ \frac{m(m+2n)}{mn(m+n)} + \frac{n \cdot n}{mn(m+n)} = \frac{m^2+2mn+n^2}{mn(m+n)} $

Числитель $ m^2+2mn+n^2 $ является полным квадратом суммы: $ (m+n)^2 $.

Заменим числитель на его свернутое выражение:

$ \frac{(m+n)^2}{mn(m+n)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (m+n) $:

$ \frac{m+n}{mn} $

Ответ: $ \frac{m+n}{mn} $

в) $ \frac{9t}{p(3t-p)} - \frac{p}{t(3t-p)} $

Общим знаменателем для данных дробей является выражение $ pt(3t-p) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ t $, для второй — $ p $.

Выполним вычитание, умножив числители на соответствующие множители:

$ \frac{9t \cdot t}{pt(3t-p)} - \frac{p \cdot p}{pt(3t-p)} = \frac{9t^2 - p^2}{pt(3t-p)} $

Числитель $ 9t^2 - p^2 $ представляет собой разность квадратов $ (3t)^2 - p^2 $, которую можно разложить на множители $ (3t-p)(3t+p) $.

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{(3t-p)(3t+p)}{pt(3t-p)} $

Сократим общий множитель $ (3t-p) $:

$ \frac{3t+p}{pt} $

Ответ: $ \frac{3t+p}{pt} $

г) $ \frac{a}{b(a-b)} - \frac{2a-b}{a(a-b)} $

Общий знаменатель для данных дробей — $ ab(a-b) $.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $ a $, для второй — $ b $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание. Обратим внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$ \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} - \frac{b(2a-b)}{ab(a-b)} = \frac{a^2 - (2ab-b^2)}{ab(a-b)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab(a-b)} $

Числитель $ a^2 - 2ab + b^2 $ является полным квадратом разности: $ (a-b)^2 $.

Заменим числитель на свернутое выражение:

$ \frac{(a-b)^2}{ab(a-b)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a-b) $:

$ \frac{a-b}{ab} $

Ответ: $ \frac{a-b}{ab} $

4.28 а) $\frac{c}{b(c - 2b)} + \frac{2}{2b - c};$

б) $\frac{c}{b(c - b)} + \frac{b}{c(b - c)};$

в) $\frac{6}{a(a - 2)} + \frac{3}{2 - a};$

г) $\frac{9n}{m(3n - m)} + \frac{m}{n(m - 3n)}.$

а) $\frac{c}{b(c - 2b)} + \frac{2}{2b - c}$

Чтобы сложить эти дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $b(c - 2b)$ и $2b - c$ связаны друг с другом. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби: $2b - c = -(c - 2b)$.

$\frac{c}{b(c - 2b)} + \frac{2}{-(c - 2b)} = \frac{c}{b(c - 2b)} - \frac{2}{c - 2b}$

Теперь общий знаменатель — это $b(c - 2b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $b$:

$\frac{c}{b(c - 2b)} - \frac{2 \cdot b}{b(c - 2b)} = \frac{c - 2b}{b(c - 2b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c - 2b)$:

$\frac{c - 2b}{b(c - 2b)} = \frac{1}{b}$

Ответ: $\frac{1}{b}$

б) $\frac{c}{b(c - b)} + \frac{b}{c(b - c)}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого в знаменателе второй дроби вынесем знак минус за скобки: $b - c = -(c - b)$.

$\frac{c}{b(c - b)} + \frac{b}{c(-(c - b))} = \frac{c}{b(c - b)} - \frac{b}{c(c - b)}$

Общий знаменатель для этих дробей — $bc(c - b)$. Домножим первую дробь на $c$, а вторую на $b$:

$\frac{c \cdot c}{bc(c - b)} - \frac{b \cdot b}{bc(c - b)} = \frac{c^2 - b^2}{bc(c - b)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$\frac{(c - b)(c + b)}{bc(c - b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c - b)$:

$\frac{c + b}{bc}$

Ответ: $\frac{c + b}{bc}$

в) $\frac{6}{a(a - 2)} + \frac{3}{2 - a}$

Для приведения к общему знаменателю преобразуем знаменатель второй дроби: $2 - a = -(a - 2)$.

$\frac{6}{a(a - 2)} + \frac{3}{-(a - 2)} = \frac{6}{a(a - 2)} - \frac{3}{a - 2}$

Общий знаменатель — $a(a - 2)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $a$:

$\frac{6}{a(a - 2)} - \frac{3 \cdot a}{a(a - 2)} = \frac{6 - 3a}{a(a - 2)}$

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(2 - a)}{a(a - 2)}$

Так как $2 - a = -(a - 2)$, мы можем сократить дробь:

$\frac{3(-(a - 2))}{a(a - 2)} = \frac{-3}{a} = -\frac{3}{a}$

Ответ: $-\frac{3}{a}$

г) $\frac{9n}{m(3n - m)} + \frac{m}{n(m - 3n)}$

Чтобы найти общий знаменатель, заметим, что $3n - m = -(m - 3n)$. Преобразуем первую дробь:

$\frac{9n}{m(-(m - 3n))} + \frac{m}{n(m - 3n)} = -\frac{9n}{m(m - 3n)} + \frac{m}{n(m - 3n)}$

Переставим дроби для удобства:

$\frac{m}{n(m - 3n)} - \frac{9n}{m(m - 3n)}$

Общий знаменатель — $mn(m - 3n)$. Домножим первую дробь на $m$, а вторую на $n$:

$\frac{m \cdot m}{mn(m - 3n)} - \frac{9n \cdot n}{mn(m - 3n)} = \frac{m^2 - 9n^2}{mn(m - 3n)}$

Числитель $m^2 - 9n^2$ является разностью квадратов $m^2 - (3n)^2$. Разложим его на множители:

$\frac{(m - 3n)(m + 3n)}{mn(m - 3n)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 3n)$:

$\frac{m + 3n}{mn}$

Ответ: $\frac{m + 3n}{mn}$

4.29 a) $\frac{x}{x + y} + \frac{y}{x - y}$;

б) $\frac{a - 3}{a + 3} - \frac{a + 2}{a - 2}$;

в) $\frac{m}{m - n} - \frac{n}{m + n}$;

г) $\frac{p + 2}{p + 1} - \frac{p + 6}{p + 3}$.

а)

Для сложения дробей $\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для $(x+y)$ и $(x-y)$ является их произведение $(x+y)(x-y)$, которое по формуле разности квадратов равно $x^2 - y^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(x-y)$, а второй дроби — на $(x+y)$:

$\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y} = \frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, можно сложить их числители:

$\frac{x(x-y) + y(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$x(x-y) + y(x+y) = x^2 - xy + yx + y^2 = x^2 + y^2$

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

б)

Для вычитания дробей $\frac{a-3}{a+3} - \frac{a+2}{a-2}$ приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение $(a+3)(a-2)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-2)$, а второй — на $(a+3)$:

$\frac{(a-3)(a-2)}{(a+3)(a-2)} - \frac{(a+2)(a+3)}{(a-2)(a+3)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(a-3)(a-2) - (a+2)(a+3)}{(a+3)(a-2)}$

Раскроем скобки в числителе, используя правило умножения многочленов:

$(a-3)(a-2) = a^2 - 2a - 3a + 6 = a^2 - 5a + 6$

$(a+2)(a+3) = a^2 + 3a + 2a + 6 = a^2 + 5a + 6$

Подставим полученные выражения в числитель и упростим:

$(a^2 - 5a + 6) - (a^2 + 5a + 6) = a^2 - 5a + 6 - a^2 - 5a - 6 = -10a$

Раскроем скобки в знаменателе: $(a+3)(a-2) = a^2 - 2a + 3a - 6 = a^2 + a - 6$.

Итоговое выражение:

$\frac{-10a}{a^2+a-6}$

Ответ: $\frac{-10a}{a^2+a-6}$

в)

Для вычитания дробей $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}$ найдем общий знаменатель. Он равен произведению знаменателей $(m-n)(m+n)$, что по формуле разности квадратов равно $m^2 - n^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}$

Объединим дроби, вычитая числители:

$\frac{m(m+n) - n(m-n)}{m^2 - n^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$m(m+n) - n(m-n) = m^2 + mn - (nm - n^2) = m^2 + mn - mn + n^2 = m^2 + n^2$

В результате получаем:

$\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

г)

Для вычитания дробей $\frac{p+2}{p+1} - \frac{p+6}{p+3}$ приведем их к общему знаменателю, который равен $(p+1)(p+3)$.

Домножим первую дробь на $(p+3)$, а вторую — на $(p+1)$:

$\frac{(p+2)(p+3)}{(p+1)(p+3)} - \frac{(p+6)(p+1)}{(p+1)(p+3)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(p+2)(p+3) - (p+6)(p+1)}{(p+1)(p+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(p+2)(p+3) = p^2 + 3p + 2p + 6 = p^2 + 5p + 6$

$(p+6)(p+1) = p^2 + p + 6p + 6 = p^2 + 7p + 6$

Вычтем второе выражение из первого в числителе:

$(p^2 + 5p + 6) - (p^2 + 7p + 6) = p^2 + 5p + 6 - p^2 - 7p - 6 = -2p$

Раскроем скобки в знаменателе: $(p+1)(p+3) = p^2 + 3p + p + 3 = p^2 + 4p + 3$.

Итоговое выражение:

$\frac{-2p}{p^2+4p+3}$

Ответ: $\frac{-2p}{p^2+4p+3}$

4.30 a) $\frac{c-d}{2d(c+d)} + \frac{c+d}{2d(c-d)};$

б) $\frac{x+4y}{5y(x+y)} - \frac{x-y}{5y(x-4y)};$

в) $\frac{x+y}{4x(x-y)} - \frac{x-y}{4x(x+y)};$

г) $\frac{d-c}{3c(2c+d)} + \frac{2c-d}{3c(c+d)}.$

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{c-d}{2d(c+d)} + \frac{c+d}{2d(c-d)} $, необходимо привести их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $ 2d(c+d) $ и $ 2d(c-d) $. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению всех уникальных множителей: $ 2d(c+d)(c-d) $. Используя формулу разности квадратов, его можно записать как $ 2d(c^2 - d^2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ (c-d) $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ (c+d) $.
Приводим дроби к общему знаменателю и складываем их:
$ \frac{(c-d)(c-d)}{2d(c+d)(c-d)} + \frac{(c+d)(c+d)}{2d(c-d)(c+d)} = \frac{(c-d)^2 + (c+d)^2}{2d(c^2 - d^2)} $
Теперь упростим числитель. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$ (c-d)^2 = c^2 - 2cd + d^2 $
$ (c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2 $
Сложим полученные выражения:
$ (c^2 - 2cd + d^2) + (c^2 + 2cd + d^2) = 2c^2 + 2d^2 = 2(c^2 + d^2) $
Подставим результат в нашу дробь:
$ \frac{2(c^2 + d^2)}{2d(c^2 - d^2)} $
Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе:
$ \frac{c^2 + d^2}{d(c^2 - d^2)} $
Ответ: $ \frac{c^2 + d^2}{d(c^2 - d^2)} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{x+4y}{5y(x+y)} - \frac{x-y}{5y(x-4y)} $.
Знаменатели дробей: $ 5y(x+y) $ и $ 5y(x-4y) $. Наименьший общий знаменатель: $ 5y(x+y)(x-4y) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ (x-4y) $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ (x+y) $.
Приводим дроби к общему знаменателю и выполняем вычитание:
$ \frac{(x+4y)(x-4y)}{5y(x+y)(x-4y)} - \frac{(x-y)(x+y)}{5y(x-4y)(x+y)} = \frac{(x+4y)(x-4y) - (x-y)(x+y)}{5y(x+y)(x-4y)} $
Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ (x+4y)(x-4y) = x^2 - (4y)^2 = x^2 - 16y^2 $
$ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $
Вычтем второе из первого в числителе:
$ (x^2 - 16y^2) - (x^2 - y^2) = x^2 - 16y^2 - x^2 + y^2 = -15y^2 $
Подставим результат в дробь:
$ \frac{-15y^2}{5y(x+y)(x-4y)} $
Сократим дробь на общий множитель $ 5y $:
$ \frac{-3y \cdot 5y}{5y(x+y)(x-4y)} = \frac{-3y}{(x+y)(x-4y)} $
Ответ: $ -\frac{3y}{(x+y)(x-4y)} $

в) Выполним вычитание дробей $ \frac{x+y}{4x(x-y)} - \frac{x-y}{4x(x+y)} $.
Наименьший общий знаменатель: $ 4x(x-y)(x+y) = 4x(x^2 - y^2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ (x+y) $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ (x-y) $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{(x+y)(x+y)}{4x(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{4x(x+y)(x-y)} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{4x(x^2 - y^2)} $
Упростим числитель. Можно применить формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = x+y $ и $ b = x-y $:
$ (x+y)^2 - (x-y)^2 = ((x+y) - (x-y))((x+y) + (x-y)) = (x+y-x+y)(x+y+x-y) = (2y)(2x) = 4xy $
Подставим упрощенный числитель в дробь:
$ \frac{4xy}{4x(x^2-y^2)} $
Сократим дробь на $ 4x $:
$ \frac{y}{x^2-y^2} $
Ответ: $ \frac{y}{x^2 - y^2} $

г) Рассмотрим сумму дробей $ \frac{d-c}{3c(2c+d)} + \frac{2c-d}{3c(c+d)} $.
Наименьший общий знаменатель: $ 3c(2c+d)(c+d) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ (c+d) $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ (2c+d) $.
Приводим к общему знаменателю и складываем:
$ \frac{(d-c)(c+d)}{3c(2c+d)(c+d)} + \frac{(2c-d)(2c+d)}{3c(c+d)(2c+d)} = \frac{(d-c)(c+d) + (2c-d)(2c+d)}{3c(2c+d)(c+d)} $
Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:
$ (d-c)(c+d) = (d-c)(d+c) = d^2 - c^2 $
$ (2c-d)(2c+d) = (2c)^2 - d^2 = 4c^2 - d^2 $
Сложим выражения в числителе:
$ (d^2 - c^2) + (4c^2 - d^2) = d^2 - c^2 + 4c^2 - d^2 = 3c^2 $
Подставим результат в дробь:
$ \frac{3c^2}{3c(2c+d)(c+d)} $
Сократим дробь на общий множитель $ 3c $:
$ \frac{c}{(2c+d)(c+d)} $
Ответ: $ \frac{c}{(2c+d)(c+d)} $

4.31 a) $\frac{x^2 - 3xy}{(x + y)(x - y)} + \frac{y}{x - y}$;

б) $\frac{a - 3c}{a - c} + \frac{a^2 + 3c^2}{(a - c)(a + c)};$

в) $\frac{b - 2m}{b + m} - \frac{m^2 - 5bm}{(b - m)(b + m)};$

г) $\frac{3d}{d + 4} - \frac{d^2 - 20d}{(d - 4)(d + 4)};$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{x^2 - 3xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{y}{x-y}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем является выражение $(x+y)(x-y)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(x+y)$:

$\frac{y}{x-y} = \frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy+y^2}{(x+y)(x-y)}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{x^2 - 3xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{xy+y^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2 - 3xy + xy + y^2}{(x+y)(x-y)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$x^2 - 3xy + xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Полученный числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:

$\frac{x-y}{x+y}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

б) В выражении $\frac{a-3c}{a-c} + \frac{a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)}$ общий знаменатель равен $(a-c)(a+c)$.

Домножим первую дробь на недостающий множитель $(a+c)$:

$\frac{(a-3c)(a+c)}{(a-c)(a+c)} + \frac{a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)} = \frac{(a-3c)(a+c) + a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a-3c)(a+c) = a^2 + ac - 3ac - 3c^2 = a^2 - 2ac - 3c^2$

Подставим и упростим числитель:

$\frac{a^2 - 2ac - 3c^2 + a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)} = \frac{2a^2 - 2ac}{(a-c)(a+c)}$

Вынесем за скобки общий множитель $2a$ в числителе:

$\frac{2a(a-c)}{(a-c)(a+c)}$

Сократим дробь на $(a-c)$:

$\frac{2a}{a+c}$

Ответ: $\frac{2a}{a+c}$

в) В выражении $\frac{b-2m}{b+m} - \frac{m^2 - 5bm}{(b-m)(b+m)}$ общий знаменатель равен $(b-m)(b+m)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее на $(b-m)$:

$\frac{(b-2m)(b-m)}{(b+m)(b-m)} - \frac{m^2 - 5bm}{(b-m)(b+m)} = \frac{(b-2m)(b-m) - (m^2 - 5bm)}{(b-m)(b+m)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(b-2m)(b-m) - (m^2 - 5bm) = (b^2 - bm - 2bm + 2m^2) - m^2 + 5bm = b^2 - 3bm + 2m^2 - m^2 + 5bm$

Приведем подобные слагаемые:

$b^2 + (-3bm + 5bm) + (2m^2 - m^2) = b^2 + 2bm + m^2$

Числитель является полным квадратом суммы: $b^2 + 2bm + m^2 = (b+m)^2$.

Подставим в дробь:

$\frac{(b+m)^2}{(b-m)(b+m)}$

Сократим дробь на $(b+m)$:

$\frac{b+m}{b-m}$

Ответ: $\frac{b+m}{b-m}$

г) В выражении $\frac{3d}{d+4} - \frac{d^2 - 20d}{(d-4)(d+4)}$ общий знаменатель $(d-4)(d+4)$.

Домножим первую дробь на $(d-4)$:

$\frac{3d(d-4)}{(d+4)(d-4)} - \frac{d^2 - 20d}{(d-4)(d+4)} = \frac{3d(d-4) - (d^2 - 20d)}{(d-4)(d+4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{3d^2 - 12d - d^2 + 20d}{(d-4)(d+4)} = \frac{2d^2 + 8d}{(d-4)(d+4)}$

Вынесем общий множитель $2d$ за скобки в числителе:

$\frac{2d(d+4)}{(d-4)(d+4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(d+4)$:

$\frac{2d}{d-4}$

Ответ: $\frac{2d}{d-4}$

4.32 a) $ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{2}{3 - 2x}; $

б) $ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} - \frac{2a}{-2a - 1}; $

в) $ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} + \frac{4}{-3y - 5x}; $

г) $ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{3x}{2 - 3x}. $

а) $ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{2}{3 - 2x} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ 3 - 2x = -(2x - 3) $. Это позволяет изменить знак перед дробью и в знаменателе:
$ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{2}{-(2x - 3)} = \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{2}{2x - 3} $
2. Приведем дроби к общему знаменателю $ (2x - 3)(2x + 3) $. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (2x + 3) $:
$ \frac{-6x - 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{2(2x + 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} $
3. Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{-6x - 3 + 2(2x + 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{-6x - 3 + 4x + 6}{(2x - 3)(2x + 3)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{-2x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} $
5. Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе и сократим дробь:
$ \frac{-(2x - 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{-1}{2x + 3} = -\frac{1}{2x + 3} $
Ответ: $ -\frac{1}{2x + 3} $

б) $ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} - \frac{2a}{-2a - 1} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ -2a - 1 = -(2a + 1) $. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:
$ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} - \frac{2a}{-(2a + 1)} = \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} + \frac{2a}{2a + 1} $
2. Общий знаменатель $ (2a + 1)(2a - 1) $. Домножим вторую дробь на $ (2a - 1) $:
$ \frac{6a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} + \frac{2a(2a - 1)}{(2a + 1)(2a - 1)} $
3. Сложим дроби:
$ \frac{6a + 1 + 2a(2a - 1)}{(2a + 1)(2a - 1)} = \frac{6a + 1 + 4a^2 - 2a}{(2a + 1)(2a - 1)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{4a^2 + 4a + 1}{(2a + 1)(2a - 1)} $
5. Числитель является полным квадратом: $ 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2 $. Сократим дробь:
$ \frac{(2a + 1)^2}{(2a + 1)(2a - 1)} = \frac{2a + 1}{2a - 1} $
Ответ: $ \frac{2a + 1}{2a - 1} $

в) $ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} + \frac{4}{-3y - 5x} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ -3y - 5x = -(5x + 3y) $. Изменим знак перед дробью:
$ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} - \frac{4}{5x + 3y} $
2. Приведем дроби к общему знаменателю $ (5x - 3y)(5x + 3y) $. Домножим вторую дробь на $ (5x - 3y) $:
$ \frac{15x - 15y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} - \frac{4(5x - 3y)}{(5x - 3y)(5x + 3y)} $
3. Выполним вычитание дробей:
$ \frac{15x - 15y - (4(5x - 3y))}{(5x - 3y)(5x + 3y)} = \frac{15x - 15y - 20x + 12y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{-5x - 3y}{(5x - 3y)(5x + 3y)} $
5. Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе и сократим дробь:
$ \frac{-(5x + 3y)}{(5x - 3y)(5x + 3y)} = \frac{-1}{5x - 3y} = -\frac{1}{5x - 3y} $
Ответ: $ -\frac{1}{5x - 3y} $

г) $ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{3x}{2 - 3x} $
1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ 2 - 3x = -(3x - 2) $. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:
$ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} - \frac{3x}{-(3x - 2)} = \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{3x}{3x - 2} $
2. Общий знаменатель $ (3x - 2)(3x + 2) $. Домножим вторую дробь на $ (3x + 2) $:
$ \frac{4 - 18x}{(3x - 2)(3x + 2)} + \frac{3x(3x + 2)}{(3x - 2)(3x + 2)} $
3. Сложим дроби:
$ \frac{4 - 18x + 3x(3x + 2)}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{4 - 18x + 9x^2 + 6x}{(3x - 2)(3x + 2)} $
4. Упростим числитель:
$ \frac{9x^2 - 12x + 4}{(3x - 2)(3x + 2)} $
5. Числитель является полным квадратом: $ 9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2 $. Сократим дробь:
$ \frac{(3x - 2)^2}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{3x - 2}{3x + 2} $
Ответ: $ \frac{3x - 2}{3x + 2} $

4.33 a) $ \frac{4b}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{a(a+b)} $

б) $ \frac{3-x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-2}{x(1-x)} $

в) $ \frac{c+2}{c(c-2)} - \frac{8}{(c-2)(c+2)} $

г) $ \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} + \frac{a+4}{a(-a-3)} $

а)

$\frac{4b}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{a(a+b)}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $(a-b)(a+b)$ и $a(a+b)$. Наименьший общий знаменатель равен $a(a-b)(a+b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $(a-b)$.

Выполним сложение:

$\frac{4b \cdot a}{a(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{a(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a(a-b)(a+b)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{(a+b)^2}{a(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{a+b}{a(a-b)}$

Ответ: $\frac{a+b}{a(a-b)}$

б)

$\frac{3-x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-2}{x(1-x)}$

Заметим, что в знаменателе второй дроби множитель $(1-x)$ можно представить как $-(x-1)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя перед дробью:

$\frac{3-x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-2}{-x(x-1)} = \frac{3-x}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-2}{x(x-1)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $x(x-1)(x+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $(x+1)$.

$\frac{x(3-x)}{x(x-1)(x+1)} + \frac{(x-2)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x - x^2 + x^2 + x - 2x - 2}{x(x-1)(x+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(3x+x-2x) + (-x^2+x^2) - 2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{2x - 2}{x(x-1)(x+1)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\frac{2}{x(x+1)}$

Ответ: $\frac{2}{x(x+1)}$

в)

$\frac{c+2}{c(c-2)} - \frac{8}{(c-2)(c+2)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $c(c-2)(c+2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(c+2)$, для второй — $c$.

Выполним вычитание:

$\frac{(c+2)(c+2)}{c(c-2)(c+2)} - \frac{8 \cdot c}{c(c-2)(c+2)} = \frac{(c+2)^2 - 8c}{c(c-2)(c+2)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы:

$\frac{c^2 + 4c + 4 - 8c}{c(c-2)(c+2)} = \frac{c^2 - 4c + 4}{c(c-2)(c+2)}$

Свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{(c-2)^2}{c(c-2)(c+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-2)$:

$\frac{c-2}{c(c+2)}$

Ответ: $\frac{c-2}{c(c+2)}$

г)

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} + \frac{a+4}{a(-a-3)}$

Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся -1 за скобки: $a(-a-3) = -a(a+3)$.

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} + \frac{a+4}{-a(a+3)} = \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} - \frac{a+4}{a(a+3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-3)(a+3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $(a-3)$.

$\frac{a(a+5)}{a(a-3)(a+3)} - \frac{(a+4)(a-3)}{a(a-3)(a+3)} = \frac{a(a+5) - (a+4)(a-3)}{a(a-3)(a+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 + 5a - (a^2 - 3a + 4a - 12)}{a(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 5a - (a^2 + a - 12)}{a(a-3)(a+3)}$

$\frac{a^2 + 5a - a^2 - a + 12}{a(a-3)(a+3)} = \frac{4a + 12}{a(a-3)(a+3)}$

Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(a+3)}{a(a-3)(a+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$:

$\frac{4}{a(a-3)}$

Ответ: $\frac{4}{a(a-3)}$