Страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Какова вероятность того, что при каждом из двух бросков монеты результаты будут одинаковы?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $N$. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{N}$.

При броске одной монеты есть два возможных исхода: орел (О) или решка (Р).

При двух бросках монеты мы можем получить следующие комбинации исходов (общее число исходов $N$):

1. Орел, Орел (ОО)
2. Орел, Решка (ОР)
3. Решка, Орел (РО)
4. Решка, Решка (РР)

Таким образом, общее число всех равновозможных исходов $N = 4$.

Нас интересуют случаи, когда результаты обоих бросков одинаковы. Это благоприятствующие исходы $m$. Таких исходов два:

1. Орел, Орел (ОО)
2. Решка, Решка (РР)

Число благоприятствующих исходов $m = 2$.

Теперь можем вычислить вероятность:

$P = \frac{m}{N} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: 0.5

4. Какова вероятность, что в вопросе 3 два жителя ответят по-разному (предполагается, что ответы «да», «нет», «не знаю» равновозможны)?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдём общее число исходов. У нас есть два жителя. Каждый из них может выбрать один из трёх ответов: «да», «нет» или «не знаю». Поскольку ответы жителей независимы, общее количество всех возможных пар ответов (исходов) можно найти, перемножив количество вариантов для каждого жителя.
Количество вариантов для первого жителя = 3.
Количество вариантов для второго жителя = 3.
Общее число равновозможных исходов $n$ равно: $n = 3 \times 3 = 9$.

2. Найдём число благоприятных исходов. Благоприятный исход — это ситуация, когда два жителя отвечают по-разному. Проще вычислить вероятность противоположного события (когда жители отвечают одинаково), а затем вычесть её из 1.

Противоположное событие (ответы совпадают) наступает в следующих случаях:

• Оба ответили «да».
• Оба ответили «нет».
• Оба ответили «не знаю».

Таким образом, существует 3 исхода, при которых ответы одинаковы. Вероятность того, что ответы совпадут, равна: $P(\text{одинаковые}) = \frac{\text{число одинаковых ответов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

3. Вычислим искомую вероятность. Событие «ответы разные» является противоположным событию «ответы одинаковые». Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Следовательно, искомая вероятность того, что ответы будут разными, вычисляется как: $P(\text{разные}) = 1 - P(\text{одинаковые}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Альтернативный способ (прямой подсчёт): Можно напрямую посчитать количество благоприятных исходов $m$, когда ответы разные. Если первый житель выбрал один из 3-х ответов, то второму жителю, чтобы его ответ отличался, нужно выбрать один из оставшихся 2-х ответов. Таким образом, число пар с разными ответами равно $3 \times 2 = 6$.
Тогда искомая вероятность равна: $P(\text{разные}) = \frac{m}{n} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

6. В скольких случаях в вопросе 5 будет два последовательных одинаковых выбора?

6. Для решения этой задачи необходимо сделать предположение о содержании вопроса 5, поскольку его текст не предоставлен. Будем исходить из наиболее распространенного типа задач, к которым может относиться данный вопрос: речь идет о последовательности выборов из определенного набора вариантов.

Предположим, что в вопросе 5 рассматривалась ситуация, где необходимо сделать 5 последовательных выборов, и для каждого выбора доступно 4 варианта (например, ответы на 5 вопросов теста, где каждый вопрос имеет 4 варианта ответа A, B, C, D). В этом случае $k=5$ (количество выборов), $n=4$ (количество вариантов для каждого выбора).

Задача состоит в том, чтобы найти количество последовательностей, в которых есть хотя бы одна пара одинаковых выборов, идущих подряд (например, ...АА..., ...ВВ... и т.д.).

Наиболее удобный способ решения — это найти общее количество всех возможных последовательностей, а затем вычесть из него количество "благоприятных" для обратного условия последовательностей, то есть тех, в которых нет двух одинаковых выборов подряд.

1. Общее количество всех возможных последовательностей.
На каждую из 5 позиций мы можем выбрать любой из 4 вариантов. Таким образом, общее число комбинаций вычисляется как $n^k$:
$N_{общ} = 4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024$.

2. Количество последовательностей, в которых нет двух одинаковых выборов подряд.

• Для первого выбора у нас есть 4 варианта.
• Для второго выбора у нас есть только 3 варианта (любой, кроме того, что был выбран первым).
• Для третьего выбора у нас снова 3 варианта (любой, кроме того, что был выбран вторым).
• Для четвертого и пятого выборов аналогично — по 3 варианта.

Таким образом, количество таких последовательностей равно:
$N_{без\_повторов} = 4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 4 \times 3^4 = 4 \times 81 = 324$.

3. Количество случаев, где есть хотя бы два последовательных одинаковых выбора.
Чтобы найти это число, вычтем из общего количества последовательностей те, в которых нет идущих подряд повторов:
$N = N_{общ} - N_{без\_повторов} = 1024 - 324 = 700$.

Ответ: 700

1. При каждом броске монеты выпадает орёл или решка. Нарисуйте дерево вариантов для исходов при двух бросках монеты.

Для построения дерева вариантов для двух бросков монеты, мы последовательно рассматриваем все возможные исходы каждого броска. Обозначим "орёл" буквой "О", а "решка" — буквой "Р".

Шаг 1: Первый бросок

В начале эксперимента (корень дерева) есть два возможных исхода: может выпасть орёл (О) или решка (Р). От начальной точки отходят две ветви, представляющие эти исходы.

Шаг 2: Второй бросок

От каждого исхода первого броска, в свою очередь, отходят еще две ветви, соответствующие исходам второго броска.

• Если первый результат был "О", то второй может быть "О" или "Р". Это создаёт две конечные последовательности: ОО (орёл, орёл) и ОР (орёл, решка).

• Если первый результат был "Р", то второй также может быть "О" или "Р". Это создаёт еще две последовательности: РО (решка, орёл) и РР (решка, решка).

Общее количество исходов можно определить по правилу умножения: для первого броска есть 2 варианта, и для каждого из них есть 2 варианта для второго броска. Итого: $2 \times 2 = 4$ возможных исхода.

Ответ:

Дерево вариантов, иллюстрирующее все исходы при двух бросках монеты (О - орёл, Р - решка), выглядит следующим образом:

● Начало
╱ ╲
О Р (1-й бросок)
╱ ╲ ╱ ╲
О Р О Р (2-й бросок)


В результате получаем 4 возможных исхода:

1. Орёл, Орёл (ОО)

2. Орёл, Решка (ОР)

3. Решка, Орёл (РО)

4. Решка, Решка (РР)

3. При опросе жителей возможны ответы «да», «нет», «не знаю». Нарисуйте дерево вариантов для последовательных ответов двух жителей.

Чтобы нарисовать дерево вариантов для последовательных ответов двух жителей, нужно учесть, что у каждого жителя есть три возможных варианта ответа: «да», «нет» или «не знаю».

1. Ответ первого жителя:

Начнем с корневого узла, который представляет начало опроса. От него отходят три ветви, соответствующие трем возможным ответам первого жителя.

2. Ответ второго жителя:

От конца каждой из этих трех ветвей мы проводим еще по три ветви, которые соответствуют трем возможным ответам второго жителя.

Ниже представлена структура дерева вариантов в виде иерархического списка. Каждый путь от начала до конечной точки (листа дерева) представляет собой один из возможных исходов опроса двух жителей.

• Первый житель ответил «да». Тогда второй житель может ответить:
  • «да» (итоговая комбинация: да, да)
  • «нет» (итоговая комбинация: да, нет)
  • «не знаю» (итоговая комбинация: да, не знаю)
• Первый житель ответил «нет». Тогда второй житель может ответить:
  • «да» (итоговая комбинация: нет, да)
  • «нет» (итоговая комбинация: нет, нет)
  • «не знаю» (итоговая комбинация: нет, не знаю)
• Первый житель ответил «не знаю». Тогда второй житель может ответить:
  • «да» (итоговая комбинация: не знаю, да)
  • «нет» (итоговая комбинация: не знаю, нет)
  • «не знаю» (итоговая комбинация: не знаю, не знаю)

Таким образом, общее количество возможных комбинаций ответов можно рассчитать, перемножив количество вариантов для каждого жителя. Поскольку у первого жителя 3 варианта ответа и у второго 3 варианта, общее число исходов равно:

$3 \times 3 = 9$

Ответ: Дерево вариантов для последовательных ответов двух жителей представлено выше в виде списка. Оно показывает, что существует 9 различных комбинаций ответов: (да, да), (да, нет), (да, не знаю), (нет, да), (нет, нет), (нет, не знаю), (не знаю, да), (не знаю, нет), (не знаю, не знаю).

5. Герою в каждом испытании приходится выбирать между «пойти налево» или «пойти направо». Нарисуйте дерево вариантов выбора для трёх последовательных испытаний.

5.

Для того чтобы нарисовать дерево вариантов, представим каждый выбор как узел, от которого отходят две ветви: «налево» и «направо». Так как испытаний три, дерево будет иметь три уровня ветвления после начальной точки.

Обозначим выбор «пойти налево» буквой Л, а выбор «пойти направо» — буквой П.

Дерево вариантов будет выглядеть следующим образом:

• Начальная точка
  • 1-е испытание: Л (Налево)
    • 2-е испытание: Л (Путь: ЛЛ)
      • 3-е испытание: Л (Итог: ЛЛЛ)
      • 3-е испытание: П (Итог: ЛЛП)
    • 2-е испытание: П (Путь: ЛП)
      • 3-е испытание: Л (Итог: ЛПЛ)
      • 3-е испытание: П (Итог: ЛПП)
  • 1-е испытание: П (Направо)
    • 2-е испытание: Л (Путь: ПЛ)
      • 3-е испытание: Л (Итог: ПЛЛ)
      • 3-е испытание: П (Итог: ПЛП)
    • 2-е испытание: П (Путь: ПП)
      • 3-е испытание: Л (Итог: ППЛ)
      • 3-е испытание: П (Итог: ППП)

Каждый конечный путь на этом дереве представляет одну из возможных последовательностей выбора. Общее количество вариантов можно рассчитать по формуле $N = k^m$, где $k$ — количество выборов на каждом шаге (в нашем случае $k=2$), а $m$ — количество испытаний (в нашем случае $m=3$).

Таким образом, общее число вариантов равно $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

Всего существует 8 уникальных последовательностей выбора:

1. ЛЛЛ (налево, налево, налево)
2. ЛЛП (налево, налево, направо)
3. ЛПЛ (налево, направо, налево)
4. ЛПП (налево, направо, направо)
5. ПЛЛ (направо, налево, налево)
6. ПЛП (направо, налево, направо)
7. ППЛ (направо, направо, налево)
8. ППП (направо, направо, направо)

Ответ: Выше представлено дерево вариантов в виде вложенного списка, которое иллюстрирует все 8 возможных последовательностей выбора для трёх испытаний.

7. Сформулируйте правило нахождения вероятности.

Классическое определение вероятности используется для ситуаций с конечным числом равновозможных исходов. Правило нахождения вероятности случайного события заключается в следующем: необходимо определить отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех возможных и равновероятных исходов.

Чтобы найти вероятность события А, нужно выполнить следующие шаги:

1. Подсчитать общее число всех возможных, несовместных и равновероятных исходов эксперимента. Обозначим это число буквой $n$.
2. Подсчитать число исходов, которые способствуют наступлению события А (их называют благоприятными или благоприятствующими). Обозначим это число буквой $m$.
3. Найти отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Таким образом, формула для вычисления вероятности события А выглядит так:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Где:

• $P(A)$ — это вероятность наступления события А.
• $m$ — это число благоприятных исходов.
• $n$ — это общее число всех равновозможных исходов.

Пример. В корзине лежат 5 красных и 3 синих шара. Все шары одинаковы на ощупь. Из корзины наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет красным?

Решение.
Событие А — «вынутый шар оказался красным».
1. Общее число всех равновозможных исходов — это общее количество шаров в корзине: $n = 5 + 3 = 8$.
2. Число исходов, благоприятствующих событию А — это количество красных шаров: $m = 5$.
3. Вероятность события А рассчитывается по формуле:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5}{8}$

Вероятность является безразмерной величиной, и ее значение всегда находится в диапазоне от 0 до 1 включительно ($0 \le P(A) \le 1$). Вероятность, равная 0, соответствует невозможному событию, а вероятность, равная 1, — достоверному событию.

Ответ: Вероятность события — это отношение числа благоприятствующих этому событию исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($n$). Формула для расчета: $P(A) = \frac{m}{n}$.

Докажите тождество:

4.42 a) $ \frac{12x + 5y}{20x^2y} - \frac{5y - 4x}{25xy^2} = \left(\frac{5y + 4x}{10xy}\right)^2; $

б) $ \frac{2n + 3m}{12mn^2} - \frac{9m - 2n}{18m^2n} = \left(\frac{3m - 2n}{6mn}\right)^2. $

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $ 20x^2y $ и $ 25xy^2 $. Их наименьший общий знаменатель равен $ 100x^2y^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{100x^2y^2}{20x^2y} = 5y $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{100x^2y^2}{25xy^2} = 4x $.

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{12x + 5y}{20x^2y} - \frac{5y - 4x}{25xy^2} = \frac{(12x + 5y) \cdot 5y}{100x^2y^2} - \frac{(5y - 4x) \cdot 4x}{100x^2y^2} = $

$ = \frac{5y(12x + 5y) - 4x(5y - 4x)}{100x^2y^2} = \frac{60xy + 25y^2 - 20xy + 16x^2}{100x^2y^2} = $

$ = \frac{16x^2 + 40xy + 25y^2}{100x^2y^2} $.

Числитель полученной дроби, $ 16x^2 + 40xy + 25y^2 $, представляет собой полный квадрат суммы. Используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, получаем:

$ 16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (5y) + (5y)^2 = (4x + 5y)^2 $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \frac{(4x + 5y)^2}{100x^2y^2} $.

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$ \left(\frac{5y + 4x}{10xy}\right)^2 = \frac{(5y + 4x)^2}{(10xy)^2} = \frac{(4x + 5y)^2}{100x^2y^2} $.

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $ 12mn^2 $ и $ 18m^2n $. Их наименьший общий знаменатель равен $ 36m^2n^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{36m^2n^2}{12mn^2} = 3m $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{36m^2n^2}{18m^2n} = 2n $.

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{2n + 3m}{12mn^2} - \frac{9m - 2n}{18m^2n} = \frac{(2n + 3m) \cdot 3m}{36m^2n^2} - \frac{(9m - 2n) \cdot 2n}{36m^2n^2} = $

$ = \frac{3m(2n + 3m) - 2n(9m - 2n)}{36m^2n^2} = \frac{6mn + 9m^2 - (18mn - 4n^2)}{36m^2n^2} = $

$ = \frac{6mn + 9m^2 - 18mn + 4n^2}{36m^2n^2} = \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{36m^2n^2} $.

Числитель полученной дроби, $ 9m^2 - 12mn + 4n^2 $, представляет собой полный квадрат разности. Используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, получаем:

$ 9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 = (3m - 2n)^2 $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \frac{(3m - 2n)^2}{36m^2n^2} $.

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$ \left(\frac{3m - 2n}{6mn}\right)^2 = \frac{(3m - 2n)^2}{(6mn)^2} = \frac{(3m - 2n)^2}{36m^2n^2} $.

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4.43 a) $\frac{5}{18y} - \frac{2 + 3y}{3y^3} - \frac{y - 3}{9y^2} = \frac{y - 2}{6y^2} - \frac{y + 2}{3y^3};$

б) $\frac{abc - a^3}{a^2b} + \frac{abc - b^3}{b^2c} + \frac{abc - c^3}{c^2a} = 0.$

а) Определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $y \neq 0$.

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей. Знаменатели: $18y, 3y^3, 9y^2, 6y^2$. Разложим их на множители:

$18y = 2 \cdot 3^2 \cdot y$

$3y^3 = 3 \cdot y^3$

$9y^2 = 3^2 \cdot y^2$

$6y^2 = 2 \cdot 3 \cdot y^2$

НОЗ равен произведению всех уникальных множителей в их наивысших степенях: $2 \cdot 3^2 \cdot y^3 = 18y^3$.

Умножим обе части уравнения на $18y^3$, чтобы избавиться от дробей:

$18y^3 \cdot \frac{5}{18y} - 18y^3 \cdot \frac{2 + 3y}{3y^3} - 18y^3 \cdot \frac{y - 3}{9y^2} = 18y^3 \cdot \frac{y - 2}{6y^2} - 18y^3 \cdot \frac{y + 2}{3y^3}$

После сокращения дробей получаем:

$y^2 \cdot 5 - 6 \cdot (2 + 3y) - 2y \cdot (y - 3) = 3y \cdot (y - 2) - 6 \cdot (y + 2)$

Раскроем скобки в полученном выражении:

$5y^2 - 12 - 18y - 2y^2 + 6y = 3y^2 - 6y - 6y - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$(5y^2 - 2y^2) + (-18y + 6y) - 12 = 3y^2 - (6y + 6y) - 12$

$3y^2 - 12y - 12 = 3y^2 - 12y - 12$

Мы получили тождество, верное для всех значений $y$ из области допустимых значений. Это означает, что исходное уравнение является тождеством.

Ответ: $y$ — любое число, кроме $0$.

б) В данном случае требуется доказать, что равенство является тождеством. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, поэтому $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$.

Преобразуем левую часть равенства. Упростим каждую дробь, разделив ее числитель на знаменатель почленно:

$\frac{abc - a^3}{a^2b} = \frac{abc}{a^2b} - \frac{a^3}{a^2b} = \frac{c}{a} - \frac{a}{b}$

$\frac{abc - b^3}{b^2c} = \frac{abc}{b^2c} - \frac{b^3}{b^2c} = \frac{a}{b} - \frac{b}{c}$

$\frac{abc - c^3}{c^2a} = \frac{abc}{c^2a} - \frac{c^3}{c^2a} = \frac{b}{c} - \frac{c}{a}$

Теперь сложим полученные выражения:

$\left(\frac{c}{a} - \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{c}\right) + \left(\frac{b}{c} - \frac{c}{a}\right)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$\frac{c}{a} - \frac{a}{b} + \frac{a}{b} - \frac{b}{c} + \frac{b}{c} - \frac{c}{a} = \left(\frac{c}{a} - \frac{c}{a}\right) + \left(-\frac{a}{b} + \frac{a}{b}\right) + \left(-\frac{b}{c} + \frac{b}{c}\right) = 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть тождественно равна правой части ($0=0$) для всех значений переменных из ОДЗ.

Ответ: Равенство является тождеством и верно при любых $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$.

Упростите выражение:

4.44 a) $\frac{3m + 4}{9m^2 - 4} + \frac{3}{4 - 6m}$;

б) $\frac{x - 12a}{x^2 - 16a^2} - \frac{4a}{4ax - x^2}$;

в) $\frac{3}{2b - 6a} + \frac{3a + 2b}{9a^2 - b^2}$;

г) $\frac{c - 30d}{c^2 - 100d^2} - \frac{10d}{10cd - c^2}\text{.}$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3m+4}{9m^2 - 4} + \frac{3}{4 - 6m}$, сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби, $9m^2 - 4$, является разностью квадратов: $9m^2 - 4 = (3m)^2 - 2^2 = (3m - 2)(3m + 2)$.
В знаменателе второй дроби, $4 - 6m$, вынесем общий множитель за скобки: $4 - 6m = 2(2 - 3m)$. Чтобы получить множитель, схожий с первой дробью, вынесем знак минус: $2(2 - 3m) = -2(3m - 2)$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{3m+4}{(3m - 2)(3m + 2)} + \frac{3}{-2(3m - 2)}$.
Знак минус из знаменателя второй дроби можно перенести перед всей дробью: $\frac{3m+4}{(3m - 2)(3m + 2)} - \frac{3}{2(3m - 2)}$.
Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $2(3m - 2)(3m + 2)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — $(3m+2)$.
$\frac{2(3m+4)}{2(3m - 2)(3m + 2)} - \frac{3(3m+2)}{2(3m - 2)(3m + 2)} = \frac{2(3m+4) - 3(3m+2)}{2(3m - 2)(3m + 2)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$2(3m+4) - 3(3m+2) = 6m + 8 - 9m - 6 = -3m + 2$.
Вынесем минус за скобку в числителе: $-(3m - 2)$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $\frac{-(3m - 2)}{2(3m - 2)(3m + 2)}$.
Сократим общий множитель $(3m - 2)$ в числителе и знаменателе: $-\frac{1}{2(3m+2)}$.
Ответ: $-\frac{1}{2(3m+2)}$.

б) Упростим выражение $\frac{x-12a}{x^2 - 16a^2} - \frac{4a}{4ax - x^2}$.
Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби, $x^2 - 16a^2$, это разность квадратов: $x^2 - (4a)^2 = (x - 4a)(x + 4a)$.
В знаменателе второй дроби, $4ax - x^2$, вынесем за скобки общий множитель $x$: $x(4a - x)$. Вынесем знак минус, чтобы получить множитель $(x - 4a)$: $-x(x - 4a)$.
Выражение примет вид: $\frac{x-12a}{(x - 4a)(x + 4a)} - \frac{4a}{-x(x - 4a)}$.
Два знака минус подряд дают плюс: $\frac{x-12a}{(x - 4a)(x + 4a)} + \frac{4a}{x(x - 4a)}$.
Общий знаменатель: $x(x - 4a)(x + 4a)$. Приведем дроби к нему. Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $(x+4a)$.
$\frac{x(x-12a)}{x(x - 4a)(x + 4a)} + \frac{4a(x+4a)}{x(x - 4a)(x + 4a)} = \frac{x(x-12a) + 4a(x+4a)}{x(x - 4a)(x + 4a)}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 12ax + 4ax + 16a^2 = x^2 - 8ax + 16a^2$.
Числитель является полным квадратом: $(x - 4a)^2$.
Подставим в дробь: $\frac{(x - 4a)^2}{x(x - 4a)(x + 4a)}$.
Сократим общий множитель $(x - 4a)$: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$.
Ответ: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$.

в) Упростим выражение $\frac{3}{2b - 6a} + \frac{3a + 2b}{9a^2 - b^2}$.
Разложим знаменатели на множители.
В первом знаменателе, $2b - 6a$, вынесем общий множитель $2$: $2(b - 3a) = -2(3a - b)$.
Второй знаменатель, $9a^2 - b^2$, является разностью квадратов: $(3a - b)(3a + b)$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{3}{-2(3a - b)} + \frac{3a+2b}{(3a - b)(3a + b)} = -\frac{3}{2(3a - b)} + \frac{3a+2b}{(3a - b)(3a + b)}$.
Общий знаменатель равен $2(3a - b)(3a + b)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(3a+b)$, для второй — $2$.
$\frac{-3(3a+b)}{2(3a - b)(3a + b)} + \frac{2(3a+2b)}{2(3a - b)(3a + b)} = \frac{-3(3a+b) + 2(3a+2b)}{2(3a - b)(3a + b)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$-9a - 3b + 6a + 4b = -3a + b$.
Вынесем минус за скобку: $-(3a - b)$.
Подставим в дробь: $\frac{-(3a - b)}{2(3a - b)(3a + b)}$.
Сократим общий множитель $(3a - b)$: $-\frac{1}{2(3a+b)}$.
Ответ: $-\frac{1}{2(3a+b)}$.

г) Упростим выражение $\frac{c - 30d}{c^2 - 100d^2} - \frac{10d}{10cd - c^2}$.
Разложим знаменатели на множители.
Первый знаменатель, $c^2 - 100d^2$, это разность квадратов: $c^2 - (10d)^2 = (c - 10d)(c + 10d)$.
Во втором знаменателе, $10cd - c^2$, вынесем общий множитель $c$: $c(10d - c) = -c(c - 10d)$.
Подставим в выражение: $\frac{c - 30d}{(c - 10d)(c + 10d)} - \frac{10d}{-c(c - 10d)}$.
Два знака минус дают плюс: $\frac{c - 30d}{(c - 10d)(c + 10d)} + \frac{10d}{c(c - 10d)}$.
Общий знаменатель: $c(c - 10d)(c + 10d)$. Приведем дроби к нему. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $(c+10d)$.
$\frac{c(c - 30d)}{c(c - 10d)(c + 10d)} + \frac{10d(c+10d)}{c(c - 10d)(c + 10d)} = \frac{c(c - 30d) + 10d(c+10d)}{c(c - 10d)(c + 10d)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$c^2 - 30cd + 10cd + 100d^2 = c^2 - 20cd + 100d^2$.
Полученный числитель — это полный квадрат: $(c - 10d)^2$.
Подставим в дробь: $\frac{(c - 10d)^2}{c(c - 10d)(c + 10d)}$.
Сократим общий множитель $(c - 10d)$: $\frac{c-10d}{c(c+10d)}$.
Ответ: $\frac{c-10d}{c(c+10d)}$.

4.45 а) $\frac{4a}{a+2} - \frac{3a^2 + 8a + 4}{(a+2)^2}$;

б) $\frac{7n^2 + mn - 8m^2}{m^2 - 2mn + n^2} - \frac{8m}{n-m}$;

в) $\frac{8y^2 - 9xy + x^2}{(x-y)^2} - \frac{9y}{y-x}$;

г) $\frac{5 + 13p - 6p^2}{9p^2 + 6p + 1} + \frac{2p}{3p+1}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{4a}{a+2} - \frac{3a^2+8a+4}{(a+2)^2}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это $(a+2)^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $(a+2)$:

$\frac{4a(a+2)}{(a+2)^2} - \frac{3a^2+8a+4}{(a+2)^2}$

Теперь выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, он относится ко всему ее числителю:

$\frac{4a(a+2) - (3a^2+8a+4)}{(a+2)^2} = \frac{4a^2+8a - 3a^2-8a-4}{(a+2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4a^2-3a^2) + (8a-8a) - 4}{(a+2)^2} = \frac{a^2-4}{(a+2)^2}$

Числитель $a^2-4$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+2)$:

$\frac{a-2}{a+2}$

Ответ: $\frac{a-2}{a+2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{7n^2+mn-8m^2}{m^2-2mn+n^2} - \frac{8m}{n-m}$.

Преобразуем знаменатели. Знаменатель первой дроби — это полный квадрат разности: $m^2-2mn+n^2 = (m-n)^2$. Также заметим, что $(m-n)^2 = (n-m)^2$. Знаменатель второй дроби — $(n-m)$.

Перепишем выражение, используя знаменатель $(n-m)^2$ для первой дроби, чтобы он соответствовал второй:

$\frac{7n^2+mn-8m^2}{(n-m)^2} - \frac{8m}{n-m}$

Общий знаменатель — $(n-m)^2$. Домножим вторую дробь на $(n-m)$:

$\frac{7n^2+mn-8m^2}{(n-m)^2} - \frac{8m(n-m)}{(n-m)^2}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{7n^2+mn-8m^2 - 8m(n-m)}{(n-m)^2} = \frac{7n^2+mn-8m^2 - 8mn+8m^2}{(n-m)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{7n^2 + (mn-8mn) + (-8m^2+8m^2)}{(n-m)^2} = \frac{7n^2-7mn}{(n-m)^2}$

Вынесем общий множитель $7n$ в числителе:

$\frac{7n(n-m)}{(n-m)^2}$

Сократим дробь на $(n-m)$:

$\frac{7n}{n-m}$

Ответ: $\frac{7n}{n-m}$

в) Упростим выражение $\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} - \frac{9y}{y-x}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $y-x = -(x-y)$. Используем это для преобразования выражения:

$\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} - \frac{9y}{-(x-y)} = \frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} + \frac{9y}{x-y}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)^2$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-y)$:

$\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2} + \frac{9y(x-y)}{(x-y)^2}$

Сложим дроби:

$\frac{8y^2-9xy+x^2 + 9y(x-y)}{(x-y)^2} = \frac{8y^2-9xy+x^2 + 9xy-9y^2}{(x-y)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2 + (8y^2-9y^2) + (-9xy+9xy)}{(x-y)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2}$

Сократим дробь на $(x-y)$:

$\frac{x+y}{x-y}$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$

г) Рассмотрим сумму дробей $\frac{5+13p-6p^2}{9p^2+6p+1} + \frac{2p}{3p+1}$.

Знаменатель первой дроби $9p^2+6p+1$ является полным квадратом суммы: $(3p)^2 + 2 \cdot 3p \cdot 1 + 1^2 = (3p+1)^2$.

Перепишем выражение с преобразованным знаменателем:

$\frac{5+13p-6p^2}{(3p+1)^2} + \frac{2p}{3p+1}$

Общий знаменатель — $(3p+1)^2$. Домножим вторую дробь на $(3p+1)$:

$\frac{5+13p-6p^2}{(3p+1)^2} + \frac{2p(3p+1)}{(3p+1)^2}$

Сложим числители:

$\frac{5+13p-6p^2 + 2p(3p+1)}{(3p+1)^2} = \frac{5+13p-6p^2 + 6p^2+2p}{(3p+1)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5 + (13p+2p) + (-6p^2+6p^2)}{(3p+1)^2} = \frac{5+15p}{(3p+1)^2}$

Вынесем общий множитель $5$ в числителе:

$\frac{5(1+3p)}{(3p+1)^2}$

Так как $1+3p = 3p+1$, сократим дробь на $(3p+1)$:

$\frac{5(3p+1)}{(3p+1)^2} = \frac{5}{3p+1}$

Ответ: $\frac{5}{3p+1}$

4.46 а) $\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 1} - \frac{x}{x^2 + x + 1};$

б) $\frac{6y}{y^3 + 8} + \frac{1}{y + 2};$

в) $\frac{6c^2 + 48}{c^3 + 64} - \frac{3c}{c^2 - 4c + 16};$

г) $\frac{1}{b - 3} - \frac{9b}{b^3 - 27}.$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 1} - \frac{x}{x^2 + x + 1}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Знаменатель второй дроби, $x^2 + x + 1$, является одним из множителей первого знаменателя. Следовательно, общий знаменатель — это $(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(x - 1)$: $\frac{2x^2 + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{x(x - 1)}{(x^2 + x + 1)(x - 1)}$ Теперь выполним вычитание числителей, оставив знаменатель прежним: $\frac{(2x^2 + 1) - x(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x^2 + 1 - x^2 + x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$ Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + x + 1)$: $\frac{1}{x - 1}$
Ответ: $\frac{1}{x - 1}$

б) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{6y}{y^3 + 8} + \frac{1}{y + 2}$, приведем их к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $y^3 + 8 = y^3 + 2^3 = (y + 2)(y^2 - 2y + 4)$. Общий знаменатель — $(y + 2)(y^2 - 2y + 4)$. Домножим вторую дробь на множитель $(y^2 - 2y + 4)$: $\frac{6y}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)} + \frac{1 \cdot (y^2 - 2y + 4)}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}$ Выполним сложение числителей: $\frac{6y + (y^2 - 2y + 4)}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)} = \frac{y^2 + 4y + 4}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}$ Числитель $y^2 + 4y + 4$ является полным квадратом: $(y + 2)^2$. Подставим это в дробь: $\frac{(y + 2)^2}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}$ Сократим дробь на $(y + 2)$: $\frac{y + 2}{y^2 - 2y + 4}$
Ответ: $\frac{y + 2}{y^2 - 2y + 4}$

в) Выполним вычитание дробей $\frac{6c^2 + 48}{c^3 + 64} - \frac{3c}{c^2 - 4c + 16}$. Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $c^3 + 64 = c^3 + 4^3 = (c + 4)(c^2 - 4c + 16)$. Общий знаменатель — $(c + 4)(c^2 - 4c + 16)$. Домножим вторую дробь на $(c + 4)$: $\frac{6c^2 + 48}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)} - \frac{3c(c + 4)}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)}$ Выполним вычитание: $\frac{(6c^2 + 48) - 3c(c + 4)}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)} = \frac{6c^2 + 48 - 3c^2 - 12c}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)} = \frac{3c^2 - 12c + 48}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)}$ Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки: $3c^2 - 12c + 48 = 3(c^2 - 4c + 16)$. Получим дробь: $\frac{3(c^2 - 4c + 16)}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)}$ Сократим дробь на $(c^2 - 4c + 16)$: $\frac{3}{c + 4}$
Ответ: $\frac{3}{c + 4}$

г) Выполним вычитание дробей $\frac{1}{b - 3} - \frac{9b}{b^3 - 27}$. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $b^3 - 27 = b^3 - 3^3 = (b - 3)(b^2 + 3b + 9)$. Общий знаменатель — $(b - 3)(b^2 + 3b + 9)$. Домножим первую дробь на $(b^2 + 3b + 9)$: $\frac{1 \cdot (b^2 + 3b + 9)}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)} - \frac{9b}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)}$ Выполним вычитание числителей: $\frac{(b^2 + 3b + 9) - 9b}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)} = \frac{b^2 - 6b + 9}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)}$ Числитель $b^2 - 6b + 9$ является полным квадратом: $(b - 3)^2$. Подставим это в дробь: $\frac{(b - 3)^2}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)}$ Сократим дробь на $(b - 3)$: $\frac{b - 3}{b^2 + 3b + 9}$
Ответ: $\frac{b - 3}{b^2 + 3b + 9}$

4.47 a) $c^2 - cd + d^2 - \frac{c^3 - d^3}{c + d};$

б) $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - ab + b^2} - a - b;$

B) $\frac{m^3 + n^3}{m - n} - m^2 - mn - n^2;$

г) $\frac{x^3 + y^3}{x^2 + xy + y^2} + x - y.$

а) $c^2 - cd + d^2 - \frac{c^3 - d^3}{c + d}$

Приведем выражение к общему знаменателю $(c + d)$:

$\frac{(c^2 - cd + d^2)(c + d) - (c^3 - d^3)}{c + d}$

В числителе в первом слагаемом используем формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $(c + d)(c^2 - cd + d^2) = c^3 + d^3$. Подставим это в выражение:

$\frac{(c^3 + d^3) - (c^3 - d^3)}{c + d}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{c^3 + d^3 - c^3 + d^3}{c + d} = \frac{2d^3}{c + d}$

Ответ: $\frac{2d^3}{c + d}$

б) $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - ab + b^2} - a - b$

Сначала сгруппируем последние два слагаемых: $-a - b = -(a+b)$. Теперь приведем выражение к общему знаменателю $(a^2 - ab + b^2)$:

$\frac{a^3 - b^3}{a^2 - ab + b^2} - (a + b) = \frac{a^3 - b^3 - (a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$

В числителе во втором слагаемом используем формулу суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. Подставим это в выражение:

$\frac{(a^3 - b^3) - (a^3 + b^3)}{a^2 - ab + b^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^3 - b^3 - a^3 - b^3}{a^2 - ab + b^2} = \frac{-2b^3}{a^2 - ab + b^2}$

Ответ: $\frac{-2b^3}{a^2 - ab + b^2}$

в) $\frac{m^3 + n^3}{m - n} - m^2 - mn - n^2$

Сначала сгруппируем последние три слагаемых: $-m^2 - mn - n^2 = -(m^2 + mn + n^2)$. Теперь приведем выражение к общему знаменателю $(m - n)$:

$\frac{m^3 + n^3}{m - n} - (m^2 + mn + n^2) = \frac{m^3 + n^3 - (m^2 + mn + n^2)(m - n)}{m - n}$

В числителе во втором слагаемом используем формулу разности кубов: $(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 - n^3$. Подставим это в выражение:

$\frac{(m^3 + n^3) - (m^3 - n^3)}{m - n}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{m^3 + n^3 - m^3 + n^3}{m - n} = \frac{2n^3}{m - n}$

Ответ: $\frac{2n^3}{m - n}$

г) $\frac{x^3 + y^3}{x^2 + xy + y^2} + x - y$

Приведем выражение к общему знаменателю $(x^2 + xy + y^2)$:

$\frac{x^3 + y^3 + (x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2}$

В числителе во втором слагаемом используем формулу разности кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$. Подставим это в выражение:

$\frac{(x^3 + y^3) + (x^3 - y^3)}{x^2 + xy + y^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^3 + y^3 + x^3 - y^3}{x^2 + xy + y^2} = \frac{2x^3}{x^2 + xy + y^2}$

Ответ: $\frac{2x^3}{x^2 + xy + y^2}$

4.48 а) $\frac{a^2 - ab + b^2}{a - b} + \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b};$

б) $\frac{m^2 - 2mn + 4n^2}{m - 2n} + \frac{m^2 + 2mn + 4n^2}{m + 2n};$

в) $\frac{9x^2 - 3xy + y^2}{3x - y} + \frac{9x^2 + 3xy + y^2}{3x + y};$

г) $\frac{4l^2 + 6lk + 9k^2}{2l + 3k} + \frac{4l^2 - 6lk + 9k^2}{2l - 3k}.$

а) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей со знаменателями $a-b$ и $a+b$ это их произведение: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$\frac{a^2 - ab + b^2}{a - b} + \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = \frac{(a^2 - ab + b^2)(a + b)}{(a - b)(a + b)} + \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)}{(a + b)(a - b)}$
В числителях получились выражения, которые можно свернуть по формулам суммы и разности кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$\frac{a^3 + b^3}{a^2 - b^2} + \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{(a^3 + b^3) + (a^3 - b^3)}{a^2 - b^2} = \frac{a^3 + b^3 + a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{2a^3}{a^2 - b^2}$
Ответ: $\frac{2a^3}{a^2 - b^2}$

б) Приводим дроби к общему знаменателю $(m-2n)(m+2n) = m^2 - (2n)^2 = m^2 - 4n^2$.
$\frac{m^2 - 2mn + 4n^2}{m - 2n} + \frac{m^2 + 2mn + 4n^2}{m + 2n} = \frac{(m^2 - 2mn + 4n^2)(m + 2n)}{(m - 2n)(m + 2n)} + \frac{(m^2 + 2mn + 4n^2)(m - 2n)}{(m + 2n)(m - 2n)}$
В числителях применяем формулы суммы и разности кубов для выражений $m$ и $2n$.
Первый числитель: $(m+2n)(m^2-m(2n)+(2n)^2) = m^3 + (2n)^3 = m^3 + 8n^3$.
Второй числитель: $(m-2n)(m^2+m(2n)+(2n)^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$.
Складываем числители: $\frac{(m^3 + 8n^3) + (m^3 - 8n^3)}{m^2 - 4n^2} = \frac{2m^3}{m^2 - 4n^2}$
Ответ: $\frac{2m^3}{m^2 - 4n^2}$

в) Общий знаменатель: $(3x-y)(3x+y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$.
$\frac{9x^2 - 3xy + y^2}{3x - y} + \frac{9x^2 + 3xy + y^2}{3x + y} = \frac{((3x)^2 - 3xy + y^2)(3x + y)}{(3x - y)(3x + y)} + \frac{((3x)^2 + 3xy + y^2)(3x - y)}{(3x + y)(3x - y)}$
Используем формулы суммы и разности кубов для выражений $3x$ и $y$.
Первый числитель: $(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2) = (3x)^3 + y^3 = 27x^3 + y^3$.
Второй числитель: $(3x-y)((3x)^2+3xy+y^2) = (3x)^3 - y^3 = 27x^3 - y^3$.
Складываем числители: $\frac{(27x^3 + y^3) + (27x^3 - y^3)}{9x^2 - y^2} = \frac{54x^3}{9x^2 - y^2}$
Ответ: $\frac{54x^3}{9x^2 - y^2}$

г) Общий знаменатель: $(2l+3k)(2l-3k) = (2l)^2 - (3k)^2 = 4l^2 - 9k^2$.
$\frac{4l^2 + 6lk + 9k^2}{2l + 3k} + \frac{4l^2 - 6lk + 9k^2}{2l - 3k} = \frac{(4l^2 + 6lk + 9k^2)(2l - 3k)}{(2l + 3k)(2l - 3k)} + \frac{(4l^2 - 6lk + 9k^2)(2l + 3k)}{(2l - 3k)(2l + 3k)}$
В числителях применяем формулы разности и суммы кубов для выражений $2l$ и $3k$.
Первый числитель: $((2l)^2 + (2l)(3k) + (3k)^2)(2l-3k) = (2l)^3 - (3k)^3 = 8l^3 - 27k^3$.
Второй числитель: $((2l)^2 - (2l)(3k) + (3k)^2)(2l+3k) = (2l)^3 + (3k)^3 = 8l^3 + 27k^3$.
Складываем числители: $\frac{(8l^3 - 27k^3) + (8l^3 + 27k^3)}{4l^2 - 9k^2} = \frac{16l^3}{4l^2 - 9k^2}$
Ответ: $\frac{16l^3}{4l^2 - 9k^2}$