Страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5.32 a) $(\frac{x^2}{2a^3})^3 \cdot (\frac{4a^4}{x^3})^2;$

б) $(\frac{-2a^8b^3}{c^7})^5 : (-\frac{4a^{10}b^4}{c^9})^4;$

в) $(-\frac{2a^2}{b^3})^8 \cdot (\frac{b^2}{-2a^3})^2;$

г) $(-\frac{9x^7y^6}{a^{12}})^4 \cdot (-\frac{a^8}{27x^5y^4})^3;$

а) $\left(\frac{x^2}{2a^3}\right)^3 \cdot \left(\frac{4a^4}{x^3}\right)^2$

1. Возведем каждую дробь в соответствующую степень. Для этого используем правило возведения дроби в степень $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$ и правило возведения произведения в степень $(AB)^n = A^n B^n$.

$\left(\frac{x^2}{2a^3}\right)^3 = \frac{(x^2)^3}{(2a^3)^3} = \frac{x^{2 \cdot 3}}{2^3 \cdot (a^3)^3} = \frac{x^6}{8a^9}$

$\left(\frac{4a^4}{x^3}\right)^2 = \frac{(4a^4)^2}{(x^3)^2} = \frac{4^2 \cdot (a^4)^2}{x^{3 \cdot 2}} = \frac{16a^8}{x^6}$

2. Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{x^6}{8a^9} \cdot \frac{16a^8}{x^6} = \frac{16 \cdot x^6 \cdot a^8}{8 \cdot a^9 \cdot x^6}$

3. Сократим выражение. Сокращаем численные коэффициенты, степени переменной $x$ и степени переменной $a$.

$\frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} \cdot \frac{a^8}{a^9} = 2 \cdot 1 \cdot a^{8-9} = 2a^{-1} = \frac{2}{a}$

Ответ: $\frac{2}{a}$

б) $\left(\frac{-2a^8b^3}{c^7}\right)^5 : \left(-\frac{4a^{10}b^4}{c^9}\right)^4$

1. Возведем каждую дробь в степень, учитывая знаки. Отрицательное число в нечетной степени ($5$) остается отрицательным, а в четной степени ($4$) становится положительным.

$\left(\frac{-2a^8b^3}{c^7}\right)^5 = \frac{(-2)^5(a^8)^5(b^3)^5}{(c^7)^5} = \frac{-32a^{40}b^{15}}{c^{35}}$

$\left(-\frac{4a^{10}b^4}{c^9}\right)^4 = \frac{(-4)^4(a^{10})^4(b^4)^4}{(c^9)^4} = \frac{256a^{40}b^{16}}{c^{36}}$

2. Выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{-32a^{40}b^{15}}{c^{35}} : \frac{256a^{40}b^{16}}{c^{36}} = \frac{-32a^{40}b^{15}}{c^{35}} \cdot \frac{c^{36}}{256a^{40}b^{16}}$

3. Перемножим дроби и сгруппируем подобные члены для сокращения.

$-\frac{32 \cdot a^{40} \cdot b^{15} \cdot c^{36}}{256 \cdot c^{35} \cdot a^{40} \cdot b^{16}} = -\frac{32}{256} \cdot \frac{a^{40}}{a^{40}} \cdot \frac{b^{15}}{b^{16}} \cdot \frac{c^{36}}{c^{35}}$

4. Сократим выражение:

$-\frac{1}{8} \cdot 1 \cdot b^{15-16} \cdot c^{36-35} = -\frac{1}{8} b^{-1} c^1 = -\frac{c}{8b}$

Ответ: $-\frac{c}{8b}$

в) $\left(-\frac{2a^2}{b^3}\right)^8 \cdot \left(\frac{b^2}{-2a^3}\right)^2$

1. Возведем каждую дробь в степень. Так как обе степени ($8$ и $2$) четные, знаки минус исчезают.

$\left(-\frac{2a^2}{b^3}\right)^8 = \frac{(2a^2)^8}{(b^3)^8} = \frac{2^8(a^2)^8}{(b^3)^8} = \frac{256a^{16}}{b^{24}}$

$\left(\frac{b^2}{-2a^3}\right)^2 = \frac{(b^2)^2}{(-2a^3)^2} = \frac{b^4}{(-2)^2(a^3)^2} = \frac{b^4}{4a^6}$

2. Перемножим полученные дроби:

$\frac{256a^{16}}{b^{24}} \cdot \frac{b^4}{4a^6} = \frac{256 \cdot a^{16} \cdot b^4}{4 \cdot b^{24} \cdot a^6}$

3. Сократим выражение, используя свойства степеней:

$\frac{256}{4} \cdot \frac{a^{16}}{a^6} \cdot \frac{b^4}{b^{24}} = 64 \cdot a^{16-6} \cdot b^{4-24} = 64a^{10}b^{-20} = \frac{64a^{10}}{b^{20}}$

Ответ: $\frac{64a^{10}}{b^{20}}$

г) $\left(-\frac{9x^7y^6}{a^{12}}\right)^4 \cdot \left(-\frac{a^8}{27x^5y^4}\right)^3$

1. Возведем каждую дробь в степень. Первая дробь возводится в четную степень ($4$), поэтому знак минус исчезает. Вторая дробь возводится в нечетную степень ($3$), поэтому знак минус сохраняется.

$\left(-\frac{9x^7y^6}{a^{12}}\right)^4 = \frac{9^4(x^7)^4(y^6)^4}{(a^{12})^4} = \frac{(3^2)^4 x^{28} y^{24}}{a^{48}} = \frac{3^8 x^{28} y^{24}}{a^{48}}$

$\left(-\frac{a^8}{27x^5y^4}\right)^3 = -\frac{(a^8)^3}{(27x^5y^4)^3} = -\frac{a^{24}}{27^3(x^5)^3(y^4)^3} = -\frac{a^{24}}{(3^3)^3 x^{15} y^{12}} = -\frac{a^{24}}{3^9 x^{15} y^{12}}$

2. Перемножим полученные выражения:

$\frac{3^8 x^{28} y^{24}}{a^{48}} \cdot \left(-\frac{a^{24}}{3^9 x^{15} y^{12}}\right) = -\frac{3^8 \cdot x^{28} \cdot y^{24} \cdot a^{24}}{3^9 \cdot a^{48} \cdot x^{15} \cdot y^{12}}$

3. Сократим дробь, используя свойства степеней:

$-\frac{3^8}{3^9} \cdot \frac{x^{28}}{x^{15}} \cdot \frac{y^{24}}{y^{12}} \cdot \frac{a^{24}}{a^{48}} = -3^{8-9} \cdot x^{28-15} \cdot y^{24-12} \cdot a^{24-48}$

$= -3^{-1} \cdot x^{13} \cdot y^{12} \cdot a^{-24} = -\frac{x^{13}y^{12}}{3a^{24}}$

Ответ: $-\frac{x^{13}y^{12}}{3a^{24}}$

Упростите выражение:

5.33 a) $ \frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{9a - 9b}{a^2 + a}; $

б) $ \frac{(y - 5)^2}{3y + 18} : \frac{2y - 10}{y^2 - 36}; $

в) $ \frac{(x + 4)^2}{3x - 9} \cdot \frac{x^2 - 9}{3x + 12}; $

г) $ \frac{b^2 + 4bc}{b + 6} : \frac{b^2 - 16c^2}{2b + 12}. $

а) $ \frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{9a - 9b}{a^2 + a} $

Чтобы упростить выражение, разложим на множители числители и знаменатели дробей. Для числителя $a^2 - 1$ используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В остальных случаях вынесем общий множитель за скобки.

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
$9a - 9b = 9(a - b)$
$a^2 + a = a(a + 1)$

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$ \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - b} \cdot \frac{9(a - b)}{a(a + 1)} $

Теперь можно сократить общие множители $(a - b)$ и $(a + 1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(a - 1)(a + 1) \cdot 9(a - b)}{(a - b) \cdot a(a + 1)} = \frac{9(a - 1)}{a} $

Ответ: $ \frac{9(a - 1)}{a} $

б) $ \frac{(y - 5)^2}{3y + 18} : \frac{2y - 10}{y^2 - 36} $

Сначала заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):

$ \frac{(y - 5)^2}{3y + 18} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели:

$3y + 18 = 3(y + 6)$
$y^2 - 36 = y^2 - 6^2 = (y - 6)(y + 6)$
$2y - 10 = 2(y - 5)$

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{(y - 5)^2}{3(y + 6)} \cdot \frac{(y - 6)(y + 6)}{2(y - 5)} $

Сократим общие множители $(y - 5)$ и $(y + 6)$:

$ \frac{(y - 5)(y - 5) \cdot (y - 6)(y + 6)}{3(y + 6) \cdot 2(y - 5)} = \frac{(y - 5)(y - 6)}{3 \cdot 2} = \frac{(y - 5)(y - 6)}{6} $

Ответ: $ \frac{(y - 5)(y - 6)}{6} $

в) $ \frac{(x + 4)^2}{3x - 9} \cdot \frac{x^2 - 9}{3x + 12} $

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$3x - 9 = 3(x - 3)$
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$
$3x + 12 = 3(x + 4)$

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \frac{(x + 4)^2}{3(x - 3)} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{3(x + 4)} $

Объединим дроби и сократим общие множители $(x + 4)$ и $(x - 3)$:

$ \frac{(x + 4)(x + 4) \cdot (x - 3)(x + 3)}{3(x - 3) \cdot 3(x + 4)} = \frac{(x + 4)(x + 3)}{3 \cdot 3} = \frac{(x + 4)(x + 3)}{9} $

Ответ: $ \frac{(x + 4)(x + 3)}{9} $

г) $ \frac{b^2 + 4bc}{b + 6} : \frac{b^2 - 16c^2}{2b + 12} $

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{b^2 + 4bc}{b + 6} \cdot \frac{2b + 12}{b^2 - 16c^2} $

Разложим на множители числители и знаменатели:

$b^2 + 4bc = b(b + 4c)$
$2b + 12 = 2(b + 6)$
$b^2 - 16c^2 = b^2 - (4c)^2 = (b - 4c)(b + 4c)$

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{b(b + 4c)}{b + 6} \cdot \frac{2(b + 6)}{(b - 4c)(b + 4c)} $

Сократим общие множители $(b + 6)$ и $(b + 4c)$:

$ \frac{b(b + 4c) \cdot 2(b + 6)}{(b + 6) \cdot (b - 4c)(b + 4c)} = \frac{2b}{b - 4c} $

Ответ: $ \frac{2b}{b - 4c} $

5.34 a) $ \frac{x^2 - 16}{8x^2} : \frac{x + 4}{4x} $;

б) $ \frac{(y - 5)^2}{y} \cdot \frac{7y^2}{y^2 - 25} $;

в) $ \frac{m^2 - n^2}{9m} \cdot \frac{3m^2}{m - n} $;

г) $ \frac{(c + 2)^2}{2c^2} : \frac{c^2 - 4}{4c} $.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{x^2 - 16}{8x^2} : \frac{x + 4}{4x} = \frac{x^2 - 16}{8x^2} \cdot \frac{4x}{x + 4}$
Разложим числитель первой дроби $x^2 - 16$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
Подставим полученное выражение обратно в нашу дробь и выполним умножение:
$\frac{(x - 4)(x + 4)}{8x^2} \cdot \frac{4x}{x + 4} = \frac{(x - 4)(x + 4) \cdot 4x}{8x^2 \cdot (x + 4)}$
Теперь сократим общие множители. Множитель $(x+4)$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем его сократить. Также мы можем сократить $4x$ и $8x^2$. После сокращения в знаменателе останется $2x$:
$\frac{(x - 4)\cancel{(x + 4)} \cdot \cancel{4x}}{\cancel{8x^2}_{2x} \cdot \cancel{(x + 4)}} = \frac{x - 4}{2x}$
Ответ: $\frac{x-4}{2x}$

б)

Для умножения дробей нужно перемножить их числители и знаменатели:
$\frac{(y-5)^2}{y} \cdot \frac{7y^2}{y^2 - 25} = \frac{(y-5)^2 \cdot 7y^2}{y \cdot (y^2 - 25)}$
Разложим знаменатель $y^2 - 25$ на множители по формуле разности квадратов:
$y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$
Подставим это в наше выражение:
$\frac{(y-5)^2 \cdot 7y^2}{y \cdot (y - 5)(y + 5)}$
Сократим общие множители. Сокращаем один множитель $(y-5)$ и $y$:
$\frac{\cancel{(y-5)}(y-5) \cdot 7y^{\cancel{2}}}{\cancel{y} \cdot \cancel{(y-5)}(y+5)} = \frac{7y(y-5)}{y+5}$
Ответ: $\frac{7y(y-5)}{y+5}$

в)

Перемножаем числители и знаменатели дробей:
$\frac{m^2 - n^2}{9m} \cdot \frac{3m^2}{m - n} = \frac{(m^2 - n^2) \cdot 3m^2}{9m \cdot (m - n)}$
Разложим числитель $m^2 - n^2$ по формуле разности квадратов:
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
Подставим и получим:
$\frac{(m - n)(m + n) \cdot 3m^2}{9m \cdot (m - n)}$
Сокращаем общие множители $(m-n)$, $3$ и $m$:
$\frac{\cancel{(m-n)}(m+n) \cdot \cancel{3}\cancel{m^2}^{m}}{\cancel{9}_{3}\cancel{m} \cdot \cancel{(m - n)}} = \frac{m(m+n)}{3}$
Ответ: $\frac{m(m+n)}{3}$

г)

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{(c+2)^2}{2c^2} : \frac{c^2 - 4}{4c} = \frac{(c+2)^2}{2c^2} \cdot \frac{4c}{c^2 - 4}$
Разложим знаменатель $c^2 - 4$ на множители по формуле разности квадратов:
$c^2 - 4 = (c - 2)(c + 2)$
Подставим в выражение и объединим дроби:
$\frac{(c+2)^2 \cdot 4c}{2c^2 \cdot (c-2)(c+2)}$
Сократим общие множители. Один множитель $(c+2)$ сокращается. Также сокращается $2c$ в числителе и $2c^2$ в знаменателе, оставляя $c$ в знаменателе и $2$ в числителе:
$\frac{\cancel{(c+2)}(c+2) \cdot \cancel{4c}^{2}}{\cancel{2c^2}_{c} \cdot (c - 2)\cancel{(c + 2)}} = \frac{2(c+2)}{c(c-2)}$
Ответ: $\frac{2(c+2)}{c(c-2)}$

5.35 a) $\frac{x^2y}{25y^2 - 4} \cdot \frac{15y + 6}{3xy^2};$

б) $\frac{7 - 2x}{22a^2b^2} : \frac{4x^2 - 49}{11ab^3};$

в) $\frac{m^2n}{64n^2 - 9} : \frac{5mn}{8n + 3};$

г) $\frac{24c^2d}{9p^2 - 25} \cdot \frac{5 - 3p}{12cd^3};$

а) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{x^2y}{25y^2 - 4} \cdot \frac{15y + 6}{3xy^2}$, разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.
Знаменатель $25y^2 - 4$ является разностью квадратов: $25y^2 - 4 = (5y)^2 - 2^2 = (5y - 2)(5y + 2)$.
В числителе $15y + 6$ вынесем общий множитель $3$ за скобки: $15y + 6 = 3(5y + 2)$.
Подставим разложенные выражения обратно в пример:
$\frac{x^2y}{(5y - 2)(5y + 2)} \cdot \frac{3(5y + 2)}{3xy^2}$
Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе: $3$, $x$, $y$, и $(5y+2)$.
$\frac{x^{\cancel{2}}\cancel{y}}{(5y - 2)(\cancel{5y + 2})} \cdot \frac{\cancel{3}(\cancel{5y + 2})}{\cancel{3}\cancel{x}y^{\cancel{2}}} = \frac{x}{(5y - 2)y} = \frac{x}{5y^2 - 2y}$
Ответ: $\frac{x}{y(5y-2)}$

б) Чтобы выполнить деление дробей $\frac{7 - 2x}{22a^2b^2} : \frac{4x^2 - 49}{11ab^3}$, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{7 - 2x}{22a^2b^2} \cdot \frac{11ab^3}{4x^2 - 49}$
Разложим на множители выражения. В числителе $7 - 2x$ вынесем знак минус: $7 - 2x = -(2x - 7)$.
Знаменатель $4x^2 - 49$ — это разность квадратов: $4x^2 - 49 = (2x)^2 - 7^2 = (2x - 7)(2x + 7)$.
Подставляем в выражение:
$\frac{-(2x - 7)}{22a^2b^2} \cdot \frac{11ab^3}{(2x - 7)(2x + 7)}$
Сокращаем общие множители: $(2x - 7)$, $11$, $a$, $b^2$.
$\frac{-(\cancel{2x - 7})}{\cancel{22}_2 a^{\cancel{2}} \cancel{b^2}} \cdot \frac{\cancel{11}\cancel{a}b^{\cancel{3}}}{(\cancel{2x - 7})(2x + 7)} = \frac{-b}{2a(2x+7)}$
Ответ: $-\frac{b}{2a(2x+7)}$

в) Чтобы выполнить деление дробей $\frac{m^2n}{64n^2 - 9} : \frac{5mn}{8n + 3}$, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{m^2n}{64n^2 - 9} \cdot \frac{8n + 3}{5mn}$
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $64n^2 - 9 = (8n)^2 - 3^2 = (8n - 3)(8n + 3)$.
Получаем:
$\frac{m^2n}{(8n - 3)(8n + 3)} \cdot \frac{8n + 3}{5mn}$
Сокращаем общие множители $m$, $n$ и $(8n+3)$:
$\frac{m^{\cancel{2}}\cancel{n}}{(8n - 3)(\cancel{8n + 3})} \cdot \frac{\cancel{8n + 3}}{5\cancel{m}\cancel{n}} = \frac{m}{5(8n-3)}$
Ответ: $\frac{m}{5(8n-3)}$

г) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{24c^2d}{9p^2 - 25} \cdot \frac{5 - 3p}{12cd^3}$, разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.
Знаменатель $9p^2 - 25$ — это разность квадратов: $9p^2 - 25 = (3p - 5)(3p + 5)$.
В числителе $5 - 3p$ вынесем знак минус: $5 - 3p = -(3p - 5)$.
Подставляем в выражение:
$\frac{24c^2d}{(3p - 5)(3p + 5)} \cdot \frac{-(3p - 5)}{12cd^3}$
Перемножим и сократим общие множители: $12$, $c$, $d$ и $(3p-5)$.
$\frac{\cancel{24}_2 c^{\cancel{2}}\cancel{d}}{(\cancel{3p - 5})(3p + 5)} \cdot \frac{-(\cancel{3p - 5})}{\cancel{12}\cancel{c}d^{\cancel{3}}_{d^2}} = \frac{2c \cdot (-1)}{(3p+5) \cdot d^2} = -\frac{2c}{d^2(3p+5)}$
Ответ: $-\frac{2c}{d^2(3p+5)}$

5.36 a) $\frac{z^2 - 25}{z^2 - 3z} : \frac{z+5}{9 - z^2}$

б) $\frac{5p^2 - 5q^2}{5p - 10q} \cdot \frac{p^2 - 2pq}{(q - p)^2}$

в) $\frac{6d - 6c}{c + p} \cdot \frac{c^2 + cp}{c^2 - d^2}$

г) $\frac{3x^2 - 3y^2}{xy + 3y^2} : \frac{(y - x)^2}{9y + 3x}$

а)

Исходное выражение: $\frac{z^2 - 25}{z^2 - 3z} : \frac{z+5}{9 - z^2}$.

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{z^2 - 25}{z^2 - 3z} \cdot \frac{9 - z^2}{z+5}$

Разложим числители и знаменатели на множители. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общие множители:

$z^2 - 25 = (z-5)(z+5)$

$z^2 - 3z = z(z-3)$

$9 - z^2 = (3-z)(3+z)$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{(z-5)(z+5)}{z(z-3)} \cdot \frac{(3-z)(3+z)}{z+5}$

Заметим, что $(3-z) = -(z-3)$. Перепишем выражение:

$\frac{(z-5)(z+5)}{z(z-3)} \cdot \frac{-(z-3)(z+3)}{z+5}$

Сократим общие множители $(z+5)$ и $(z-3)$:

$\frac{(z-5)\cancel{(z+5)}}{z\cancel{(z-3)}} \cdot \frac{-\cancel{(z-3)}(z+3)}{\cancel{z+5}} = \frac{(z-5)(-(z+3))}{z} = \frac{-(z-5)(z+3)}{z}$

Внесем знак минуса в первую скобку, чтобы получить более простой вид:

$\frac{(5-z)(z+3)}{z}$

Ответ: $\frac{(5-z)(z+3)}{z}$

б)

Исходное выражение: $\frac{5p^2 - 5q^2}{5p - 10q} \cdot \frac{p^2 - 2pq}{(q - p)^2}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$5p^2 - 5q^2 = 5(p^2 - q^2) = 5(p-q)(p+q)$

$5p - 10q = 5(p - 2q)$

$p^2 - 2pq = p(p-2q)$

$(q - p)^2 = (-(p-q))^2 = (p-q)^2$

Подставим разложенные выражения и сократим:

$\frac{5(p-q)(p+q)}{5(p - 2q)} \cdot \frac{p(p-2q)}{(p-q)^2} = \frac{\cancel{5}\cancel{(p-q)}(p+q)}{\cancel{5}\cancel{(p - 2q)}} \cdot \frac{p\cancel{(p-2q)}}{(p-q)^{\cancel{2}}}$

После сокращения получаем:

$\frac{p+q}{1} \cdot \frac{p}{p-q} = \frac{p(p+q)}{p-q}$

Ответ: $\frac{p(p+q)}{p-q}$

в)

Исходное выражение: $\frac{6d - 6c}{c + p} \cdot \frac{c^2 + cp}{c^2 - d^2}$.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$6d - 6c = 6(d-c) = -6(c-d)$

$c + p$ - уже простое выражение

$c^2 + cp = c(c+p)$

$c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$

Подставим разложенные выражения и сократим:

$\frac{-6(c-d)}{c + p} \cdot \frac{c(c+p)}{(c-d)(c+d)} = \frac{-6\cancel{(c-d)}}{\cancel{c + p}} \cdot \frac{c\cancel{(c+p)}}{\cancel{(c-d)}(c+d)}$

После сокращения получаем:

$\frac{-6}{1} \cdot \frac{c}{c+d} = -\frac{6c}{c+d}$

Ответ: $-\frac{6c}{c+d}$

г)

Исходное выражение: $\frac{3x^2 - 3y^2}{xy + 3y^2} : \frac{(y - x)^2}{9y + 3x}$.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{3x^2 - 3y^2}{xy + 3y^2} \cdot \frac{9y + 3x}{(y - x)^2}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x-y)(x+y)$

$xy + 3y^2 = y(x+3y)$

$9y + 3x = 3(3y+x) = 3(x+3y)$

$(y - x)^2 = (x-y)^2$

Подставим разложенные выражения и сократим:

$\frac{3(x-y)(x+y)}{y(x+3y)} \cdot \frac{3(x+3y)}{(x-y)^2} = \frac{3\cancel{(x-y)}(x+y)}{y\cancel{(x+3y)}} \cdot \frac{3\cancel{(x+3y)}}{(x-y)^{\cancel{2}}}$

После сокращения получаем:

$\frac{3(x+y)}{y} \cdot \frac{3}{x-y} = \frac{9(x+y)}{y(x-y)}$

Ответ: $\frac{9(x+y)}{y(x-y)}$

5.37 a) $\frac{x^2 - 6x + 9}{9x^3} : \frac{x^2 - 9}{9x}$;

б) $\frac{4c^2 + 4c + 1}{c^2d - cd^2} \cdot \frac{2d - 2c}{4c^2 - 1}$;

в) $\frac{25 - y^2}{25y} \cdot \frac{10y^2}{y^2 - 10y + 25}$;

г) $\frac{3 - 6a}{1 - 6a + 9a^2} : \frac{2a^2 - a}{1 - 9a^2}$.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2 - 6x + 9}{9x^3} : \frac{x^2 - 9}{9x} = \frac{x^2 - 6x + 9}{9x^3} \cdot \frac{9x}{x^2 - 9}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Числитель $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$. Знаменатель $x^2 - 9$ является разностью квадратов $(x-3)(x+3)$.

$\frac{(x-3)^2}{9x^3} \cdot \frac{9x}{(x-3)(x+3)}$

Сократим общие множители $9x$ и $(x-3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{9x^3}_{x^2}} \cdot \frac{\cancel{9x}}{\cancel{(x-3)}(x+3)} = \frac{x-3}{x^2(x+3)}$

Ответ: $\frac{x-3}{x^2(x+3)}$

б)

Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{4c^2 + 4c + 1}{c^2d - cd^2} \cdot \frac{2d - 2c}{4c^2 - 1}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
$4c^2 + 4c + 1 = (2c+1)^2$ (квадрат суммы).
$c^2d - cd^2 = cd(c-d)$ (вынесение общего множителя).
$2d - 2c = 2(d-c) = -2(c-d)$ (вынесение общего множителя).
$4c^2 - 1 = (2c-1)(2c+1)$ (разность квадратов).

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(2c+1)^2}{cd(c-d)} \cdot \frac{-2(c-d)}{(2c-1)(2c+1)}$

Сократим общие множители $(2c+1)$ и $(c-d)$:

$\frac{(2c+1)^{\cancel{2}}}{cd\cancel{(c-d)}} \cdot \frac{-2\cancel{(c-d)}}{(2c-1)\cancel{(2c+1)}} = \frac{(2c+1)(-2)}{cd(2c-1)} = -\frac{2(2c+1)}{cd(2c-1)}$

Ответ: $-\frac{2(2c+1)}{cd(2c-1)}$

в)

Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{25 - y^2}{25y} \cdot \frac{10y^2}{y^2 - 10y + 25}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
$25 - y^2 = (5-y)(5+y)$ (разность квадратов).
$y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$ (квадрат разности).

Подставим разложенные выражения. Заметим, что $5-y = -(y-5)$.

$\frac{(5-y)(5+y)}{25y} \cdot \frac{10y^2}{(y-5)^2} = \frac{-(y-5)(y+5)}{25y} \cdot \frac{10y^2}{(y-5)^2}$

Сократим общие множители $(y-5)$, $y$ и числовые коэффициенты $10$ и $25$ (на $5$):

$\frac{-\cancel{(y-5)}(y+5)}{\cancel{25}_5 \cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{10}_2 y^{\cancel{2}}}{(y-5)^{\cancel{2}}} = \frac{-(y+5) \cdot 2y}{5(y-5)} = -\frac{2y(y+5)}{5(y-5)}$

Ответ: $-\frac{2y(y+5)}{5(y-5)}$

г)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{3 - 6a}{1 - 6a + 9a^2} : \frac{2a^2 - a}{1 - 9a^2} = \frac{3 - 6a}{1 - 6a + 9a^2} \cdot \frac{1 - 9a^2}{2a^2 - a}$

Разложим на множители числители и знаменатели.
$3 - 6a = 3(1-2a)$.
$1 - 6a + 9a^2 = (1-3a)^2$ (квадрат разности).
$1 - 9a^2 = (1-3a)(1+3a)$ (разность квадратов).
$2a^2 - a = a(2a-1) = -a(1-2a)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{3(1-2a)}{(1-3a)^2} \cdot \frac{(1-3a)(1+3a)}{-a(1-2a)}$

Сократим общие множители $(1-2a)$ и $(1-3a)$:

$\frac{3\cancel{(1-2a)}}{(1-3a)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(1-3a)}(1+3a)}{-a\cancel{(1-2a)}} = \frac{3(1+3a)}{(1-3a)(-a)} = -\frac{3(1+3a)}{a(1-3a)}$

Ответ: $-\frac{3(1+3a)}{a(1-3a)}$

5.38 a) $ \frac{a^3 + b^3}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a - b}{a + b}; $

б) $ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} : (x^3 - 27); $

в) $ \frac{2x^2 + 4x}{x^3 - 8} : \frac{x + 2}{x - 2}; $

г) $ (x^3 + y^3) \cdot \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}. $

а) $ \frac{a^3 + b^3}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a - b}{a + b} $

1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $ab$ за скобки: $a^2b - ab^2 = ab(a - b)$.
3. Подставим разложенные выражения в исходное: $ \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{ab(a - b)} \cdot \frac{a - b}{a + b} $
4. Сократим общие множители $(a + b)$ и $(a - b)$ в числителях и знаменателях.
$ \frac{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)}{ab\cancel{(a - b)}} \cdot \frac{\cancel{a - b}}{\cancel{a + b}} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab} $
Упрощение справедливо при условиях $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$.

Ответ: $ \frac{a^2 - ab + b^2}{ab} $

б) $ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} : (x^3 - 27) $

1. Заменим деление на умножение на обратное выражение: $x^3 - 27 = \frac{x^3 - 27}{1}$.
$ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} \cdot \frac{1}{x^3 - 27} $
2. Разложим на множители выражение $x^3 - 27$, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$ x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) $
3. Подставим разложенное выражение в пример:
$ \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3} \cdot \frac{1}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} $
4. Сократим общий множитель $(x^2 + 3x + 9)$ в числителе и знаменателе. (Выражение $x^2 + 3x + 9 > 0$ для всех действительных $x$).
$ \frac{\cancel{x^2 + 3x + 9}}{x + 3} \cdot \frac{1}{(x - 3)\cancel{(x^2 + 3x + 9)}} = \frac{1}{(x + 3)(x - 3)} $
5. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ к знаменателю.
$ \frac{1}{x^2 - 3^2} = \frac{1}{x^2 - 9} $
Упрощение справедливо при условиях $x \neq 3, x \neq -3$.

Ответ: $ \frac{1}{x^2 - 9} $

в) $ \frac{2x^2 + 4x}{x^3 - 8} : \frac{x + 2}{x - 2} $

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{2x^2 + 4x}{x^3 - 8} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} $
2. Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:
$ 2x^2 + 4x = 2x(x + 2) $
3. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $
4. Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{2x(x + 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} $
5. Сократим общие множители $(x + 2)$ и $(x - 2)$ в числителях и знаменателях.
$ \frac{2x\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x - 2)}(x^2 + 2x + 4)} \cdot \frac{\cancel{x - 2}}{\cancel{x + 2}} = \frac{2x}{x^2 + 2x + 4} $
Упрощение справедливо при условиях $x \neq 2, x \neq -2$.

Ответ: $ \frac{2x}{x^2 + 2x + 4} $

г) $ (x^3 + y^3) \cdot \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2} $

1. Разложим на множители первый сомножитель $(x^3 + y^3)$, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $
2. Подставим разложенное выражение в исходный пример:
$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) \cdot \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2} $
3. Сократим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$ (он не равен нулю, кроме случая $x=y=0$):
$ (x + y)\cancel{(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{x + y}{\cancel{x^2 - xy + y^2}} $
4. Перемножим оставшиеся множители:
$ (x + y) \cdot (x + y) = (x + y)^2 $
Упрощение справедливо при условии, что $x^2 - xy + y^2 \neq 0$.

Ответ: $ (x + y)^2 $