Страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите значение выражения:

6.19

$\frac{2 - a}{5} + \left(\frac{1}{1 - 2a}\right)^2 : \left(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}\right)$

при $a = -3,2746$.

Для того чтобы найти значение данного выражения, мы сначала упростим его. Зачастую в таких задачах громоздкое выражение после упрощения принимает простой вид, не зависящий от переменной, или вид, в который легко подставить заданное значение.

Исходное выражение:

$\frac{2-a}{5} + \left(\frac{1}{1-2a}\right)^2 : \left(\frac{a+2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2-a}{1-8a^3} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}\right)$

Выполним действия по порядку. В первую очередь упростим выражение в больших скобках.

1. Упрощение выражения в скобках.

Сначала разложим на множители знаменатели дробей:

• $4a^3 - 4a^2 + a = a(4a^2 - 4a + 1) = a(2a-1)^2$
• $1-8a^3 = 1^3 - (2a)^3 = (1-2a)(1+2a+4a^2)$ (по формуле разности кубов)
• $2a^2 + a = a(2a+1)$

Теперь подставим разложенные выражения в скобки и выполним умножение:

$\frac{a+2}{a(2a-1)^2} - \frac{2-a}{(1-2a)(1+2a+4a^2)} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a+1)}$

Сокращаем $(4a^2 + 2a + 1)$ во втором слагаемом:

$\frac{a+2}{a(2a-1)^2} - \frac{2-a}{(1-2a)a(2a+1)}$

Заметим, что $(2a-1)^2 = (-(1-2a))^2 = (1-2a)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $a(1-2a)^2(2a+1)$:

$\frac{(a+2)(2a+1)}{a(1-2a)^2(2a+1)} - \frac{(2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(2a+1)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(a+2)(2a+1) - (2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(2a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a+2)(2a+1) = 2a^2+a+4a+2 = 2a^2+5a+2$

$(2-a)(1-2a) = 2-4a-a+2a^2 = 2a^2-5a+2$

Числитель дроби равен:

$(2a^2+5a+2) - (2a^2-5a+2) = 2a^2+5a+2 - 2a^2+5a-2 = 10a$

Таким образом, всё выражение в скобках равно:

$\frac{10a}{a(1-2a)^2(2a+1)} = \frac{10}{(1-2a)^2(2a+1)}$

2. Выполнение деления.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$\frac{2-a}{5} + \left(\frac{1}{1-2a}\right)^2 : \frac{10}{(1-2a)^2(2a+1)}$

Выполним деление:

$\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2 : \frac{10}{(1-2a)^2(2a+1)} = \frac{1}{(1-2a)^2} \cdot \frac{(1-2a)^2(2a+1)}{10}$

Сокращаем общий множитель $(1-2a)^2$:

$\frac{1}{\cancel{(1-2a)^2}} \cdot \frac{\cancel{(1-2a)^2}(2a+1)}{10} = \frac{2a+1}{10}$

3. Выполнение сложения.

Подставим результат деления в исходное выражение:

$\frac{2-a}{5} + \frac{2a+1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{2(2-a)}{10} + \frac{2a+1}{10} = \frac{4-2a+2a+1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0,5$

В результате упрощения мы получили число, не зависящее от переменной $a$. Это означает, что при любом допустимом значении $a$ (включая $a = -3,2746$) значение выражения будет одинаковым.

Ответ: $0,5$

6.20 $(\frac{b^2 - 2b + 4}{4b^2 - 1} \cdot \frac{2b^2 + b}{b^3 + 8} - \frac{b+2}{2b^2 - b}) : (\frac{4}{b^2 + 2b} - \frac{b+4}{3 - 6b})$

при $b = \frac{7}{275}$.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, выполняя действия в соответствии с их порядком: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), после этого деление и, наконец, последнее вычитание.

1. Умножение в скобках

Разложим числители и знаменатели дробей на множители. Для этого используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$ \frac{b^2 - 2b + 4}{4b^2 - 1} \cdot \frac{2b^2 + b}{b^3 + 8} = \frac{b^2 - 2b + 4}{(2b - 1)(2b + 1)} \cdot \frac{b(2b + 1)}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} $

Сократим общие множители $(b^2 - 2b + 4)$ и $(2b + 1)$:

$ \frac{1}{2b - 1} \cdot \frac{b}{b + 2} = \frac{b}{(2b - 1)(b + 2)} $

2. Вычитание в скобках

Теперь из результата первого действия вычтем вторую дробь. Предварительно разложим на множители знаменатель второй дроби: $2b^2 - b = b(2b - 1)$.

$ \frac{b}{(2b - 1)(b + 2)} - \frac{b + 2}{b(2b - 1)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $b(2b - 1)(b + 2)$:

$ \frac{b \cdot b}{b(2b - 1)(b + 2)} - \frac{(b + 2)(b + 2)}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{b^2 - (b + 2)^2}{b(2b - 1)(b + 2)} $

В числителе применим формулу разности квадратов или раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$ \frac{b^2 - (b^2 + 4b + 4)}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{b^2 - b^2 - 4b - 4}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{-4b - 4}{b(2b - 1)(b + 2)} = \frac{-4(b + 1)}{b(2b - 1)(b + 2)} $

3. Деление

Разделим выражение, полученное в скобках, на дробь $\frac{4}{b^2 + 2b}$. Для этого умножим на обратную дробь. Знаменатель делителя $b^2 + 2b$ разложим на множители: $b^2 + 2b = b(b+2)$.

$ \frac{-4(b + 1)}{b(2b - 1)(b + 2)} : \frac{4}{b(b+2)} = \frac{-4(b + 1)}{b(2b - 1)(b + 2)} \cdot \frac{b(b + 2)}{4} $

Сократим общие множители $4$, $b$ и $(b+2)$:

$ \frac{-(b + 1)}{2b - 1} $

4. Последнее вычитание

Из полученного результата вычтем последнюю дробь. Преобразуем ее знаменатель: $3 - 6b = 3(1 - 2b) = -3(2b - 1)$.

$ \frac{-(b + 1)}{2b - 1} - \frac{b + 4}{3 - 6b} = \frac{-(b + 1)}{2b - 1} - \frac{b + 4}{-3(2b - 1)} = \frac{-(b + 1)}{2b - 1} + \frac{b + 4}{3(2b - 1)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $3(2b - 1)$:

$ \frac{-3(b + 1)}{3(2b - 1)} + \frac{b + 4}{3(2b - 1)} = \frac{-3(b + 1) + b + 4}{3(2b - 1)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-3b - 3 + b + 4}{3(2b - 1)} = \frac{-2b + 1}{3(2b - 1)} $

Вынесем $-1$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-(2b - 1)}{3(2b - 1)} = -\frac{1}{3} $

5. Вычисление значения выражения

В результате упрощения мы получили числовое значение $-\frac{1}{3}$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от переменной $b$ (для всех допустимых значений $b$).

Значение $b = \frac{7}{275}$ является допустимым, так как оно не обращает в ноль ни один из знаменателей в исходном выражении.

Следовательно, при $b = \frac{7}{275}$ значение выражения равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $

6.21 $\left(\frac{1}{2x+1} - \frac{3}{8x^3+1} + \frac{3}{4x^2-2x+1}\right) \cdot \left(2 - \frac{4x-1}{2x+1}\right)$

при $x = -2,123$.

6.21

Для решения данной задачи сначала упростим исходное выражение, а затем подставим в него заданное значение $x$. Выражение состоит из двух множителей, упростим каждый по отдельности.

1. Упрощение первого множителя: $ \left(\frac{1}{2x+1} - \frac{3}{8x^3+1} + \frac{3}{4x^2-2x+1}\right) $

Для приведения дробей к общему знаменателю разложим знаменатель $8x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$8x^3+1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x+1)( (2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2 ) = (2x+1)(4x^2-2x+1)$

Как видим, этот знаменатель является общим для всех трех дробей. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (4x^2-2x+1)}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} - \frac{3}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} + \frac{3 \cdot (2x+1)}{(4x^2-2x+1)(2x+1)} $

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{(4x^2-2x+1) - 3 + 3(2x+1)}{8x^3+1} = \frac{4x^2-2x+1-3+6x+3}{8x^3+1} = \frac{4x^2+4x+1}{8x^3+1} $

Числитель $4x^2+4x+1$ является полным квадратом по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$4x^2+4x+1 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x+1)^2$

Подставим это обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(2x+1)^2}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} = \frac{2x+1}{4x^2-2x+1} $

2. Упрощение второго множителя: $ \left(2 - \frac{4x-1}{2x+1}\right) $

Приведем к общему знаменателю $2x+1$:

$ \frac{2(2x+1)}{2x+1} - \frac{4x-1}{2x+1} = \frac{2(2x+1) - (4x-1)}{2x+1} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{4x+2 - 4x + 1}{2x+1} = \frac{3}{2x+1} $

3. Перемножение упрощенных выражений

Теперь перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$ \left(\frac{2x+1}{4x^2-2x+1}\right) \cdot \left(\frac{3}{2x+1}\right) = \frac{3(2x+1)}{(4x^2-2x+1)(2x+1)} $

Сокращаем одинаковые множители $(2x+1)$ в числителе и знаменателе (при условии $2x+1 \neq 0$, что выполняется для $x = -2.123$):

$ \frac{3}{4x^2-2x+1} $

4. Вычисление значения выражения при $x = -2.123$

Подставим значение $x = -2.123$ в итоговое упрощенное выражение:

$ \frac{3}{4(-2.123)^2 - 2(-2.123) + 1} $

Вычислим знаменатель:

$ 4(-2.123)^2 - 2(-2.123) + 1 = 4(4.507129) + 4.246 + 1 = 18.028516 + 4.246 + 1 = 23.274516 $

Тогда значение выражения равно:

$ \frac{3}{23.274516} $

Чтобы получить точный ответ в виде обыкновенной дроби, представим $x$ как дробь: $x = -2.123 = -\frac{2123}{1000}$.

Знаменатель: $4(-\frac{2123}{1000})^2 - 2(-\frac{2123}{1000}) + 1 = 4(\frac{4507129}{1000000}) + \frac{4246}{1000} + 1 = \frac{18028516}{1000000} + \frac{4246000}{1000000} + \frac{1000000}{1000000} = \frac{18028516 + 4246000 + 1000000}{1000000} = \frac{23274516}{1000000}$

Итоговое значение:

$ \frac{3}{\frac{23274516}{1000000}} = \frac{3 \cdot 1000000}{23274516} = \frac{3000000}{23274516} $

Сократим полученную дробь. Сумма цифр знаменателя $2+3+2+7+4+5+1+6=30$, значит, он делится на 3. Также оба числа делятся на 4.

$ \frac{3000000 \div 12}{23274516 \div 12} = \frac{250000}{1939543} $

Ответ: $ \frac{250000}{1939543} $

6.22 Выполните подстановку и упростите выражение

$\frac{ax}{a+x} + \frac{bx}{x-b}$, где $x = \frac{ab}{a-b}$.

Дано выражение $\frac{ax}{a+x} + \frac{bx}{x-b}$ и значение $x = \frac{ab}{a-b}$.

Для решения задачи необходимо подставить значение $x$ в выражение и упростить его. Удобнее сначала вычислить значения знаменателей $a+x$ и $x-b$.

1. Вычислим значение выражения $a+x$:

$a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2 - ab + ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b}$

2. Вычислим значение выражения $x-b$:

$x-b = \frac{ab}{a-b} - b = \frac{ab}{a-b} - \frac{b(a-b)}{a-b} = \frac{ab - (ab - b^2)}{a-b} = \frac{ab - ab + b^2}{a-b} = \frac{b^2}{a-b}$

Теперь подставим полученные выражения для знаменателей, а также значение $x$ в числители исходного выражения:

$\frac{a \cdot (\frac{ab}{a-b})}{(\frac{a^2}{a-b})} + \frac{b \cdot (\frac{ab}{a-b})}{(\frac{b^2}{a-b})}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое:

$\frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b$

Второе слагаемое:

$\frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{b^2}{a-b}} = \frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{b^2} = a$

Сложим полученные результаты:

$b + a$

Ответ: $a+b$

6.23 Докажите, что при любых значениях $x > 2$ значение выражения

$(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2) : \frac{x+1}{x+3} - \frac{x^2-5x+3}{2x}$

является отрицательным числом.

Для того чтобы доказать данное утверждение, необходимо упростить исходное алгебраическое выражение. Упрощение будем производить в соответствии с порядком математических операций: сначала выполним действие в скобках, затем деление и в конце — вычитание.

1. Упрощение выражения в скобках:

Выполним сложение и вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $2x(x+3)$.

$\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2 = \frac{(x+1)(x+3)}{2x(x+3)} + \frac{4 \cdot 2x}{2x(x+3)} - \frac{2 \cdot 2x(x+3)}{2x(x+3)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(x^2+3x+x+3) + 8x - (4x^2+12x)}{2x(x+3)} = \frac{x^2+4x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+3)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-3x^2+3}{2x(x+3)} = \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)}$

2. Выполнение деления:

Разделим результат, полученный в первом шаге, на дробь $\frac{x+1}{x+3}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} : \frac{x+1}{x+3} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1}$

Поскольку по условию $x > 2$, то выражения $x+1$ и $x+3$ не равны нулю, поэтому мы можем сократить дробь на эти множители:

$\frac{-3(x-1)}{2x}$

3. Выполнение вычитания:

Теперь из результата второго действия вычтем последнюю дробь из исходного выражения.

$\frac{-3(x-1)}{2x} - \frac{x^2-5x+3}{2x}$

Так как у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители:

$\frac{-3(x-1) - (x^2-5x+3)}{2x} = \frac{-3x+3 - x^2+5x-3}{2x}$

Снова приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-x^2+2x}{2x} = \frac{x(-x+2)}{2x}$

Так как $x > 2$, то $x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $x$:

$\frac{-x+2}{2} = \frac{-(x-2)}{2}$

4. Анализ знака итогового выражения:

В результате упрощения мы получили выражение $\frac{-(x-2)}{2}$. Теперь проанализируем его знак при заданном условии $x > 2$.

Из условия $x > 2$ следует, что разность $x-2$ всегда является положительным числом: $x-2 > 0$.

Числитель итоговой дроби, $-(x-2)$, является произведением отрицательного числа $(-1)$ на положительное число $(x-2)$, следовательно, числитель всегда будет отрицательным.

Знаменатель дроби, $2$, является положительным числом.

Деление отрицательного числа на положительное всегда дает в результате отрицательное число.

Таким образом, мы доказали, что при любых значениях $x > 2$ значение исходного выражения является отрицательным числом.

Ответ: Утверждение доказано, так как после упрощения выражение принимает вид $\frac{-(x-2)}{2}$, которое всегда отрицательно при $x > 2$.

6.24 Докажите, что выражение

$\frac{12a - 4a^2}{2a + 3} + \frac{1}{2a - 3} : \left( \frac{4}{4a^2 - 9} - \frac{6a - 9}{8a^3 + 27} \right)$

при любых допустимых значениях переменной a принимает одно и то же значение.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной a, необходимо его упростить. Будем выполнять действия в соответствии с их порядком.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{4}{4a^2 - 9} - \frac{6a - 9}{8a^3 + 27}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ и суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2 = (2a - 3)(2a + 3)$

$8a^3 + 27 = (2a)^3 + 3^3 = (2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)$

Теперь подставим разложенные знаменатели обратно в выражение и приведем дроби к общему знаменателю $(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)$:

$\frac{4}{(2a - 3)(2a + 3)} - \frac{6a - 9}{(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{4(4a^2 - 6a + 9) - (6a - 9)(2a - 3)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Раскроем скобки в числителе. Для этого сначала вынесем общий множитель в выражении $(6a - 9) = 3(2a - 3)$.

$\frac{4(4a^2 - 6a + 9) - 3(2a - 3)(2a - 3)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{16a^2 - 24a + 36 - 3(4a^2 - 12a + 9)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{16a^2 - 24a + 36 - 12a^2 + 36a - 27}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{(16a^2 - 12a^2) + (-24a + 36a) + (36 - 27)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{4a^2 + 12a + 9}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Числитель $4a^2 + 12a + 9$ является полным квадратом $(2a + 3)^2$. Подставим его и сократим дробь:

$\frac{(2a + 3)^2}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{2a + 3}{(2a - 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

2. Выполним деление: $\frac{1}{2a - 3} : \frac{2a + 3}{(2a - 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{1}{2a - 3} \cdot \frac{(2a - 3)(4a^2 - 6a + 9)}{2a + 3}$

Сократим общий множитель $(2a - 3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4a^2 - 6a + 9}{2a + 3}$

3. Выполним сложение: $\frac{12a - 4a^2}{2a + 3} + \frac{4a^2 - 6a + 9}{2a + 3}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$\frac{(12a - 4a^2) + (4a^2 - 6a + 9)}{2a + 3} = \frac{12a - 4a^2 + 4a^2 - 6a + 9}{2a + 3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6a + 9}{2a + 3}$

Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:

$\frac{3(2a + 3)}{2a + 3}$

Сократим дробь на $(2a + 3)$:

$3$

Мы упростили исходное выражение и получили число 3. Это означает, что при любых допустимых значениях переменной a (то есть таких, при которых знаменатели не обращаются в ноль и делитель не равен нулю), значение выражения будет постоянным и равным 3, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате упрощения выражение равно 3, что является постоянным значением, не зависящим от переменной a.

При каком значении переменной равна нулю алгебраическая дробь:

7.1

а) $ \frac{7x - 21}{3} $;

б) $ \frac{x + 1}{x^2 + 1} $;

в) $ \frac{3x + 12}{4} $;

г) $ \frac{2x}{x^2 + 2} $?

Алгебраическая дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля.

а) Рассмотрим дробь $\frac{7x - 21}{3}$.
Чтобы найти значение переменной, при котором дробь равна нулю, приравняем ее числитель к нулю:
$7x - 21 = 0$
Перенесем 21 в правую часть уравнения:
$7x = 21$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{21}{7}$
$x = 3$
Знаменатель дроби равен 3, что не равно нулю ($3 \neq 0$), поэтому условие, при котором дробь имеет смысл, выполнено.
Ответ: при $x = 3$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{x + 1}{x^2 + 1}$.
Приравняем числитель к нулю:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Теперь необходимо проверить, не обращается ли знаменатель в нуль при найденном значении $x$. Подставим $x = -1$ в знаменатель:
$(-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
Поскольку знаменатель $2 \neq 0$, то дробь равна нулю при $x = -1$.
Ответ: при $x = -1$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{3x + 12}{4}$.
Приравняем числитель к нулю:
$3x + 12 = 0$
$3x = -12$
$x = \frac{-12}{3}$
$x = -4$
Знаменатель дроби равен 4, он не равен нулю ($4 \neq 0$), следовательно, дробь равна нулю при $x = -4$.
Ответ: при $x = -4$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{2x}{x^2 + 2}$.
Приравняем числитель к нулю:
$2x = 0$
$x = 0$
Проверим значение знаменателя при $x = 0$:
$0^2 + 2 = 0 + 2 = 2$
Так как знаменатель $2 \neq 0$, дробь равна нулю при $x=0$.
Ответ: при $x = 0$.